第一课时　函数奇偶性的定义与判定

第一课时　函数奇偶性的定义与判定 1.3.2 奇偶性 第一课时 函数奇偶性的定义与判定 【选明细】 知识点、 题号 奇偶性概念 1 奇偶函数的图象特征 2、4、6、11 奇偶性的判定 3、10、12 奇偶性的应用 5、7、8、9、13 基础巩固 1.设f(x)是定义在R上的偶函数,下列结论中正确的是( B ) (A)f(-x)+f(x)=0 (B)f(-x)-f(x)=0 (C)f(x)?f(-x)<0 (D)f(0)=0 解析:由偶函数的定义知f(-x)=f(x), 所以f(-x)-f(x)=0,f(-x)+f(x)=0不一定成立. 2f(-x)?f(x)=[f(x)]?0, 即f(0)=0不一定成立.故选B. 2.下列图象表示的函数具有奇偶性的是( B ) 解析:选项A中的图象不关于原点对称,也不关于y轴对称,故排除;选项C,D中函数的定义域不关于原点对称,也排除.选项B中的函数图象关于y轴对称,是偶函数,故选B. 3.(2015云南师范大学五华区实验中学期中)下列函数中既是奇函数又是偶函数的是( A ) (A)f(x)=- (B)f(x)=+ (C)f(x)= (D)f(x)= 解析:选项A中定义域为{-1,1},函数解析式为y=0,所以函数既是奇函数又是偶函数,选项B为偶函数,选项C为偶函数,选项D为非奇非偶函数,故选A. 4.下列结论中正确的是( B ) (A)偶函数的图象一定与y轴相交 (B)奇函数y=f(x)在x=0处有定义,则f(0)=0 (C)奇函数y=f(x)的图象一定过原点 (D)图象过原点的奇函数必是单调函数 解析:A项中若定义域不含0,则图象与y轴不相交,C项中若定义域不含0,则图象不过原点,D项中奇函数不一定单调,故选B. 5.若函数f(x)=为奇函数,则a等于( A ) (A) (B) (C) (D)1 解析:因为f(x)为奇函数,所以f(-x)=-f(x), 所以=-, 即(2x-1)(x+a)=(2x+1)(x-a)恒成立, 整理得(2a-1)x=0, 所以必有2a-1=0,所以a=.故选A. 6.如图,给出奇函数y=f(x)的局部图象,则f(-2)+f(-1)的值为( A ) (A)-2 (B)2 (C)1 (D)0 解析:由图知f(1)=,f(2)=, 又f(x)为奇函数,所以f(-2)+f(-1)=-f(2)-f(1)=--=-2.故选A. 7.已知偶函数f(x)的定义域为[t-6,2t],则t= . 解析:由偶函数的定义域关于原点对称可知,t-6+2t=0,解得t=2. :2 8.若f(x)为偶函数,则f(+1)-f()= . 解析:因f(x)为偶函数, 所以f()=f(-(1+))=f(1+), 故f(+1)-f()=0. 答案:0 9.已知函数f(x)=是奇函数,则实数b= . 解析:法一(定义法) 因为f(x)为奇函数, 所以f(-x)=-f(x), 即=-, 整理得=-, 所以-x+b=-(x+b),即2b=0, 解得b=0. 法二(赋值法) 因为f(x)为奇函数, 所以f(-1)=-f(1), 即=-, 即=-, 解得b=0. 法三(赋值法) 因为f(x)为奇函数,且函数的定义域为R, 所以f(0)=0,即=0, 解得b=0. 答案:0 能力提升 10.设函数y=f(x)在区间D上是奇函数,函数y=g(x)在区间D上是偶函数,则函数H(x)=f(x)?g(x)在区间D上是( B ) (A)偶函数 (B)奇函数 (C)既奇又偶函数 (D)非奇非偶函数 解析:由已知得区间D关于原点对称,且f(-x)=-f(x), g(-x)=g(x), 所以H(-x)=f(-x)?g(-x)=(-f(x))?g(x) =-f(x)?g(x)=-H(x). 所以函数f(x)为奇函数,故选B. 11.函数y=x|x|的图象大致是( C ) 解析:记f(x)=y=x|x|, 则f(-x)=-x?|-x|=-x?|x|=-f(x), 所以f(x)为奇函数,图象关于坐标原点对称, 2又当x>0时,y=x?|x|=x.故选C. 12.判断函数f(x)=的奇偶性. 解:函数f(x)的定义域是(-?,0)?(0,+?),关于原点对称. ?当x>0时,-x<0,则 323232f(-x)=(-x)+3(-x)-1=-x+3x-1=-(x-3x+1)=-f(x). ?当x<0时,-x>0,则 323232f(-x)=(-x)-3(-x)+1=-x-3x+1=-(x+3x-1)=-f(x). 由??知,当x?(-?,0)?(0,+?)时, 都有f(-x)=-f(x),所以f(x)为奇函数. 探究创新 13.定义域为R的单调函数f(x)满足f(x+y)=f(x)+f(y)(x,y?R),且f(3)=6, (1)求f(0),f(1); (2)判断函数f(x)的奇偶性,并; 2(3)若对于任意x?[,3]都有f(kx)+f(2x-1)<0成立,求实数k的取值范围. 解:(1)f(0)=0,f(1)=2. (2)函数f(x)是奇函数. 证明:由(1)f(0)=0, 所以f(0)=f(x)+f(-x)=0, 即f(-x)=-f(x), 所以f(x)为奇函数. 2(3)因为f(x)是奇函数,且f(kx)+f(2x-1)<0在x?[,3]上恒成立, 2所以f(kx)