焦点三角形内心和旁心轨迹

焦点三角形内心和旁心轨迹 焦点三角形内心和旁心轨迹 云南广南一L}l玉叶 最近笔者对椭圆和双曲线作了些研究, 得到两个重要的有趣的结论,现说明如下. 定义以椭圆或双曲线上的一点和两个 焦点组成的三角形叫做焦点三角形. 定理1椭圆焦点三角形的内心轨迹仍为 椭圆,且此椭圆与原椭圆的长轴之比为e,短 轴之比为e/(1+e)(e是原椭圆的离心率). ‘. 2,,2 证明不妨设椭圆方程为+=1 a’b’ >b>0)尸是椭圆上任一点,E,F是左,右焦 点,c,e是半焦距和离心率,A(x,Y)是?阳F 的内心,交X轴于点,如下图,由三角形内 角平分线性质定理知 :: IPIIIII :!!: I咫I+II2d 由定比分点公式知 一一 Y一Y口–一=—=—— APYP—Y :二: YP—Y’ yIl //,P J 0BE/,,, 故得YP=YA(1+e)/e.? 又由上述证明知 IPFI=II/e=(一XB)/e = fc—xn)/e=a—xB/e. 另一方面,由椭圆焦半径公式知lPFl=a — e3f.F,,)(d+c—日+c) a+Ca+C 2c…… =>0,故知c>u_. a+Cl+e 从而知c为长轴长,eb/(1+e)为短轴 长,从而知三:P,— eb — /(1 _ +e): . abl+e 定理2双曲线焦点三角形的旁心轨迹仍 为双曲线,且此双曲线与原双曲线的实轴之 比为e,虚轴之比为e/(1+e)(e是原双曲线的 离心率). 证明不妨设双曲线方程为Xz一 yZ :1 (a>O,b>0),E,F是左,右焦点,P是双曲线 上任一点,c,e是半焦距和离心率,旁心A(x, J,)是/_PEF的内角平分线,ZEPF和ZPFE 的外角平分线的交点,交轴于点B,如下 图,由三角形内~-;1z分线性质定理知 II—I肋I—I船I IPIIIII IFBl IEBI— Il_II = 2c/(2a1:e. 由此,仿椭圆的证明 I 一匕 E?0 xF,:一 x , YeYe:兰y,将它们代入双曲线一,——J,,行r匕1IJ代八枞线 一: 1得轨迹为双曲线 a’b’ 一 :.:1 c(eb/(1+P))一 显然有三:P. — eb/(1— +e): .