[课程]不同定义下辅角主值与反三角函数正切的关系

[课程]不同定义下辅角主值与反三角函数正切的关系 不同定义下辅角主值与反三角函数正切的关系 黄小琳 (安康学院数学系 陕西 安康 725000) 摘 要: 非零复数有三种示方法:代数形式、三角形式、指数形式。这几Z 种表示方法可以相互转换，以适应讨论不同问题的需要，且用起来各有其便。 在将复数转化成三角形式时，由于任意非零复数有无穷多个辅角，故因规定的取Z 值范围的不同，将会产生不同的主辅角。本文将在不同定义一下，探讨辅角主值与反三角函数正切的关系。 关键字:主辅角;反正切;关系; 预备知识:1.复数Z的辅角:实轴正向到非零复数所对应的向量Z,x，iy y,间的夹角合于tan,称为复数的Z辅角，记为.OZ,,ArgZx ZZ 2. 复数的主辅角:复数的辅角在某一特定范围内的一个特定值称为的主值，即Z的主辅角，记为。 ArgZargZ 对于一个复数我们可以借助于平面上横坐标为,纵坐标为的yxZ,x，iy 点来表示，于是能够建立平面上全部的点合全体复数的一一对应关系。当然我们 ,Z也可以用极坐标与来确定复数在平面中的位置:用向量来表示复数OZr x,yy，其中顺次等于沿轴与轴的分量。则向量的长度称为复OZOZxZ,x，iy ,数的模，用表示;实轴正向与非零向量间的夹角记为，对于每一确定的OZr Z都有唯一的复数与之对应。 (r,,) ,Z 我们定义为复数的辅角，显然对于任意复数有无穷多个辅角。于是有 ZZ规定在某一特定范围内复数的辅角的一个特定值为的主辅角。然而在不同定 Z,0义范围内，辅角主值与反三角函数正切又有不同的关系。(注意:当时，辅角无意义。) Z,x，iy,,,argZ,,1. 对于任意非零复数 ，当 时，主辅角与反正切argZ yArctan的关系 x OZ 当向量在平面第一，四象限时 y,,,,,,,,？ arctan,,,arg,,,,,,,x2222,,,, y ？arctan,argZx 当向量在平面第二象限时，如图: OZ argZ yarctan x y,,,，,, ？,arctan,,,0arg,,,,,,x22,，,, y？argZ,arctan，, x OZ 当向量在平面第三象限时，如图: yarctan x argZ y,,, ，, arg,,,,0？arctan,0,,,x2,, y？argZ,arctan,, x ,,0,,,OZOZxx 当指向轴正向时，;当指向轴负向时，; ,,,,yy2OZOZ,,当指向轴正向时，;当指向轴负向时，,;2 y,，，arctanx,0,y,,,0;,x,,,，，x,0,y,0;,2,argZ,y,,，， arctan，x,0,y,0;,，，Z,0x, y,,，，arctan,x,0,y,0;,x,,,，，,x,0,y,0.,2, Z,x，iy2. 对于任意非零复数 ，当 时，主辅角与反正切0,arg,2,argZ yArctan的关系 x y,，，arctanx,0,y,0;,x,,,，，x,0,y,0;,2,argZ,y,,，，arctan，x,0,y,,0; ,，，Z,0x, y,,，，arctan，2x,0,y,0;,x,,3,，，x,0,y,0.,2, argz,zi,,,32例1 设，且，则_________________.，,argZ,,,,, 2223arctan,,arctan，,arctanarctanA) B) C) D) 3233 Z,,3,2iOZ 由题我们可判断出复数所形成的向量在平面的第三象限，又 yargZ,arctan,,，,因为argZ,,,,,，由1的图表可得，故选C.x yarctan,，例2 设argZ,0,2,复数Z,3,4i,且,argZ与的关系为 _________;x yarctan，,argZ,,,,,若，那么argZ与的关系又为_________。x Z,3,4iOZ由题我们可判断出复数所形成的向量在平面的第四象限，又因 y为，由2的图表可得则;当，由argZ,arctan，,,，，,argZ,0,2,argZ,,,,,x yargZ,arctan1的图表可得. x 参考文献: [1]王彩凤. 多值函数单值连续分支的研究[J]. 运城学院学报 , 2004,(02) [2]刘宅成. 辐角函数与复多值函数[J]. 泰安师专学报 , 1996,(06) [3]钟玉泉.复变函数论[M].北京:高等教育出版社,2000. [4]谢娟,邱剑锋.复变函数与积分变换教学改革研究与实践[J].合肥师范学院学 报,2009. [5]张元林.积分变换[M].第四版.北京:高等教育出版社,2006. [6]麻桂英.用Matlab 提高复变函数教学质量[J].阴山学刊,2009. [7]韩流冰. 关于复变函数几个问题的师生讨论[J]. 大学数学 , 1993, (S2)