[中考数学]2011中考数学真题解析101 与圆有关的综合题含答案

[中考数学]2011中考数学解析101 与圆有关的综合题含 (2012年1月最新最细)2011全国中考真题解析120考点汇编 与圆有关的综合题 一、选择题 1. (2011山东日照，11，4分)已知AC?BC于C，BC=a，CA=b，AB=c，下列选项中?O ab的半径为的是( ) a，b A( B( C( D( 考点:三角形的内切圆与内心;解一元一次方程;正方形的判定与性质;切线的性质;相似三角形的判定与性质。 专题:计算题。 分析:连接OE、OD，根据AC、BC分别切圆O于E、D，得到?OEC=?ODC=?C=90?， OEAE证出正方形OECD，设圆O的半径是r，证?ODB??AEO，得出，代入即可,BDOD ab求出r=;设圆的半径是x，圆切AC于E，切BC于D，且AB于F，同样得到正方形a，b OECD，根据a,x+b,x=c，求出x即可;设圆切AB于F，圆的半径是y，连接OF，则 OFAO?BCA??OFA得出，代入求出y即可( ,BCAB 解答:解:C、连接OE、OD， ?AC、BC分别切圆O于E、D， ??OEC=?ODC=?C=90?， ?OE=OD， ?四边形OECD是正方形， ?OE=EC=CD=OD， 设圆O的半径是r， ?OE?BC，??AOE=?B， 第1页 ??AEO=?ODB， ??ODB??AEO， OEAE?, ,BDOD rb,r,， a,rr ab解得:r=，故本选项正确; a，b A、设圆的半径是x，圆切AC于E，切BC于D，且AB于F，如图(1)同样得到正方形 a，b,cOECD，AE=AF，BD=BF，则a,x+b,x=c，求出x=，故本选项错误; 2 OFAOB、设圆切AB于F，圆的半径是y，连接OF，如图(2)，则?BCA??OFA，? ，,BCAB yb,yab,?，解得:y=，故本选项错误; a，bac abD、求不出圆的半径等于，故本选项错误; a，b 故选C( 点评:本题主要考查对正方形的性质和判定，切线的性质，全等三角形的性质和判定，三角形的内切圆与内心，解一元一次方程等的理解和掌握，能根据这些性质求出圆的半径是解此题的关键( 2. (2011•台湾24，4分)如图，?ABC的外接圆上，AB，BC，CA三弧的度数比为12:13:11(自BC上取一点D，过D分别作直线AC，直线AB的并行线，且交于E，F两点，则?EDF的度数为( ) A、55? B、60? C、65? D、70? 考点:圆心角、弧、弦的关系;平行线的性质。 第2页 专题:探究型。 分析:先根据AB，BC，CA三弧的度数比为12:13:11求出、的度数，再根据其度数即可求出?ACB及?ABC的度数，由平行线的性质即可求出?FED及?EFD的度数，由三角形内角和定理即可求出?EDF的度数( 解答:解:?AB，BC，CA三弧的度数比为12:13:11， =×360?=120?， ? =×360?=110?， ??ACB=×120?=60?， ?ABC=×110?=55?， ?AC?ED，AB?DF， ??FED=?ABC=55?， ?EFD=?ACB=60?， ??EDF=180?,60?,55?=65?( 故选C( 点评:本题考查的是圆心角、弧、弦的关系及平行线的性质，能根据AB，BC，CA三弧的度数比为12:13:11求出?ABC及?ACB的度数是解答此题的关键( 3. (2011•台湾32，4分)如图中，CA，CD分别切圆O于A，D两点，CB、CE分别切圆1 O于B，E两点(若?1=60?，?2=65?，判断AB、CD、CE的长度，下列关系何者正确( ) 2 A、AB,CE,CE B、AB=CE,CD C、AB,CD,CE D、AB=CD=CE 考点:切线长定理;三角形三边关系;三角形内角和定理。 专题:计算题。 第3页 分析:根据?1=60?，?2=65?，利用三角形内角和定理求出?ABC的度数，然后可得AB,BC,AC，由切线长定理得AC=CD，BC=CE，利用等量代换求得AB,CE,CD即可( 解答:解:??1=60?，?2=65?， ??ABC=180?,?1,?2=180?,60?,65?=55?， ??2,?ABC,?1， ?AB,BC,AC， ?CA，CD分别切圆O于A，D两点，CB、CE分别切圆O于B，E两点， 12 ?AC=CD，BC=CE， ?AB,CE,CD( 故选A( 点评:此题主要考查切线长定理和三角形三边关系，三角形内角和定理等知识点，解答此题的关键是利用三角形内角和定理求出?ABC的度数( 4. (2011台湾，16，4分)如图，BD为圆O的直径，直线ED为圆O的切线，A(C两点在圆上，AC平分?BAD且交BD于F点(若?ADE,19?，则?AFB的度数为何,( ) A(97? B(104? C(116? D(142? 考点:弦切角定理;圆周角定理。 分析:先根据直径所对的圆周角为直角得出角BAD的度数，根据角平分线的定义得出角BAF的的度数，再根据弦切角等于它所夹弧对的圆周角，得出角ABD的度数，最后利用三角形内角和定理即可求出角AFB的度数( 解答:解:?BD是圆O的直径， ??BAD,90?， 又?AC平分?BAD， ??BAF,?DAF,45?， ?直线ED为圆O的切线， ??ADE,?ABD,19?， 第4页 ??AFB,180?,?BAF,?ABD,180?,45?,19?,116?( 故选C( 点评:此题考查圆周角定理以及弦切角定理的灵活运用，是一道在圆中求角度数的综合题( 5. (2011，台湾省，12,5分)如图平面上有两个全等的正十边形ABCDEFGHIJ、 BAJ′的度数为何,( ) A′B′C′D′E′F′G′H′I′J′，其中A点与A′点重合，C点与C′点重合(求? 96 B、108 C、118 D、126 A、 考点:正多边形和圆;多边形内角与外角;菱形的性质。 专题:计算题。 分析:利用正多边形的性质可以得到四边形ABCB′为菱形，计算其内角后，用多边形的内角减去即可得到答案( 解答:解题技巧:(1)正n边形每一个内角度数=，(2)菱形的邻角互补 [解析]?两个图形为全等的正十边形， ?ABCB′为菱形， 又?ABC=?AB′C==144? ??BAB′=180?,144?=36?， ??BAJ′=?B′AJ′,?BAB′ =144?,36? =108?( 故选B( 点评:本题考查了正多边形与圆的计算，解题的关键是利用正多边形的性质判定菱形( 6.(2011山东滨州，8，3分)如图,在平面直角坐标系中,正方形ABCD的顶点A、C分别在 y轴、x轴上,以AB为弦的?M与x轴相切.若点A的坐标为(0,8),则圆心M的坐标为( ) A.(-4,5) B.(-5,4) C.(5,-4) D.(4,-5) 第5页 【考点】垂径定理;坐标与图形性质;勾股定理;正方形的性质( 【专题】证明题( 【分析】过点M作MD?AB于D，连接AM(设?M的半径为R，因为四边形OABC为正方形，顶点A，C在坐标轴上，以边AB为弦的?M与x轴相切，若点A的坐标 1为(0，8)，所以DA= AB=4，DM=8-R，AM=R，又因?ADM是直角三角形，利用2 勾股定理即可得到关于R的方程，解之即可( 【解答】解:过点M作MD?AB于D，交OC于点E(连接AM，设?M的半径为R( ?以边AB为弦的?M与x轴相切，AB?OC， ?DE?CO， ?DE是?M直径的一部分; ?四边形OABC为正方形，顶点A，C在坐标轴上，点A的坐标为(0，8)， ?OA=AB=CB=OC=8，DM=8-R; ?AD=BD=4(垂径定理); 在Rt?ADM中， 222根据勾股定理可得AM=DM+AD， 222?R=(8-R)+4，?R=5( ?M(-4，5)( 故选D( 【点评】本题考查了垂径定理、坐标与图形性质、勾股定理及正方形的性质(解题时，需仔 细分析题意及图形，利用勾股定理来解决问题( 第6页 37. (2011年山东省东营市，12，3分)如图，直线与x轴、y轴分别相交于yx,，33A，B两点，圆心P的坐标为(1，0)，圆P与y轴相切于点O(若将圆P沿x轴向左移动， 当圆P与该直线相交时，横坐标为整数的点P的个数是( ) A、2 B、3 C、4 D、5 考点:直线与圆的位置关系;一次函数综合题( 分析:根据直线与坐标轴的交点，得出A，B的坐标，再利用三角形相似得出圆与直线相切 时的坐标，进而得出相交时的坐标( 3解答:解:?直线与x轴、y轴分别相交yx,，33于A，B两点， 圆心P的坐标为(1，0)， 3?A点的坐标为:0= x+ ， 33 x=-3，A(-3，0)， B点的坐标为:(0，)， 3 ?AB=2 ， 3 将圆P沿x轴向左移动，当圆P与该直线相切与C时，PC=1， 111根据?APC??ABO， 11 1APAP11?,,， AB323 ?AP=2， 1 ?P的坐标为:(-1，0)， 1 将圆P沿x轴向左移动，当圆P与该直线相切与C时，PC=1， 222 第7页 根据?APC??ABO， 22 1APAP22?， ,,AB323 ?AP=2， 2 P的坐标为:(-5，0)， 2 从-1到-5，整数点有-2，-3，-4，故横坐标为整数的点P的个数是3个( 故选B( 点评:此题主要考查了直线与坐标轴的求法，以及相似三角形的判定，题目综合性较强，注意特殊点的求法是解决问题的关键( 2011黑龙江鸡西，8，3分)如图，A、B、C、D是?O上的四个点，AB=AC，AD交8. ( BC于点E，AE=3，ED=4，则AB的长为 ( ) A .3 B .2 C. D .3 3521 第8题图 考点:圆周角定理;相似三角形的判定与性质. 分析:根据圆周角定理可得?ACB=?ABC=?D，再利用三角形相似?ABD??AEB，即可得出答案( 解答:解:?AB=AC，??ACB=?ABC=?D， ABAD2??BAD=?BAD，??ABD??AEB，?，?AB=3×7=21，?AB=( ,21AEAB 故选C( 点评:此题主要考查了圆周角定理以及相似三角形的判定与性质，根据题意得出?ABD??AEB是解决问题的关键( 第8页 二、填空题 1. (2011•贵港)如图所示，在?ABC中，AC=BC=4，?C=90?，O是AB的中点，?O与AC、BC分别相切于点D、E，点F是?O与AB的一个交点，连接DF并延长交CB的延长线于点G，则BG的长是 2,2 ( 考点:切线的性质;相似三角形的判定与性质。 专题:综合题。 分析:连接OD，由AC为圆O的切线，根据切线的性质得到OD与AC垂直，又AC=BC，且?C=90?，得到三角形ABC为等腰直角三角形，得到?A=45?，在直角三角形ABC中，由AC与BC的长，根据勾股定理求出AB的长，又O为AB的中点，从而得到AO等于BO都等于AB的一半，求出AO与BO的长，再由OB,OF求出FB的长，同时由OD和GC都与AC垂直，得到OD与GC平行，得到一对内错角相等，再加上对顶角相等，由两对对应角相等的两三角形相似得到三角形ODF与三角形GBF相似，由相似得比例，把OD，OF及FB的长代入即可求出GB的长( 解答: 解:连接OD( ?AC为圆O的切线，?OD?AC， 又AC=BC=4，?C=90?，??A=45?， 根据勾股定理得:AB==4， 又O为AB的中点，?AO=BO=AB=2， ?圆的半径DO=FO=AOsinA=2×=2， ?BF=OB,OF=2,2( 第9页 ?GC?AC，OD?AC， ?OD?CG， G，又?OFD=?BFG， ??ODF=? ??ODF??BGF， ?=，即=， ?BG=2,2( 故答案为:2,2( 点评:此题考查了切线的性质以及相似三角形的判定与性质(在运用切线的性质时，若已知切点，连接切点和圆心，得垂直;若不知切点，则过圆心向切线作垂直，即―知切点连半径，无切点作垂直‖(圆与相似三角形，及三角函数相融合的解答题、与切线有关的性质与判定有关的证明题是近几年中考的热点，故要求学生把所学知识融汇贯穿，灵活运用( 2. (2011年四川省绵阳市，16，4分)如图，将正六边形ABCDEF放在直角坐标系中，中心与坐标原点重合，若A点的坐标为(-1，0)，则点C的坐标为(1，- )( 3考点:正多边形和圆;坐标与图形性质( 专题:计算题( 先连接OE，由于正六边形是轴对称图形，并设EF交Y轴于G，那么?GOE=30?;分析: 在Rt?GOE中，则GE=1，OG= (E的坐标为(1，)，和E关于Y轴对称的F点33 的坐标就是(-1，)，其他坐标类似可求出( 3 解答:解:连接OE，由正六边形是轴对称图形知: 在Rt?OEG中，?GOE=30?，OE=2( 第10页 ?GE=1，OG= ( 3 ?A(-2，0)B(-1，- ) 3 C(1，- )D(2，0) 3 E(1，)F(-1，)( 33 故答案为:(1，- ) 3 本题利用了正六边形的对称性，直角三角形30?的角所对的边等于斜边的一半，勾股点评: 定理等知识( 3.(2011广西百色，20，3分)如图，点C是?O优弧ACB上的中点，弦AB=6cm，E为OC上任意一点，动点F从点A出发，以每秒1cm的速度沿AB方向向点B匀速运动，若 22y=AE,EF，则y与动点F的运动时间x(0?x?6)秒的函数关系式为 _ ____ ( 考点:垂径定理;勾股定理( 分析:首先延长CO交AB于G，根据垂径定理的知识，可得CO?AB，并可求得AG的值， 22222222由勾股定理可得AE=AG+EG，EF=FG+EG，即可求得y=AG,FG，即可求得函数关系式( 解答:解:延长CO交AB于G， 第11页 ?点C是?O优弧ACB上的中点， 11?CO?AB，AG=AB=×6=3(cm)， 22 222222?AE=AG+EG，EF=FG+EG， 当0?x?3时，AF=xcm，FG=(3,x)cm， 2222222222?y=AE,EF=AG+EG,FG,EG=AG,FG=9,(3,x)=6x,x; 当3,x?6时，AF=xcm，FG=(x,3)cm， 2222222222?y=AE,EF=AG+EG,FG,EG=AG,FG=9,(x,3)=6x,x( 2故答案为:y=6x,x( 点评:此题考查了垂径定理与勾股定理的应用(此题难度适中，解题的关键是注意辅助线的作法与数形结合思想，分类讨论思想的应用( 4.(2011广西防城港 18，3分)如图，AB是半圆O的直径，以OA为直径的半圆O′与弦 AC交于点D，O′E?AC，并交OC于点E(则下列四个结论: 1?点D为AC的中点;?S,S;?;?四边形O′DEO是菱形(其?O′OE?AOC2 中正确的结论是 ((把所有正确的结论的序号都填上) C DE B/AOO 考点:圆周角定理;平行线的性质;菱形的判定;圆心角、弧、弦的关系 专题:圆的综合题 分析:(1)如图，连接OD，则由AO是?O′的直径，得?ADO,90?，即OD?弦AC，故由垂径定理可知点D为弦AC的中点，从而?正确( 第12页 C DE B/AOO ,SOO1,2,OOE(2)由O′E?AC，得?O O′E??OAC，从而,,，从而S,()?O′OE4SOA,OAC 1S，故?错误( ?AOC4 (3)如图，连接OD、O′D，由OA,OC，OD?AC，得?AOC,2?AOD;又?A O′D nOA,,,2?AOD，故?A O′D ,?AOC,n?;又OA,2O′A，由弧长可知:l，,弧AC180 ,nOA,,l，故(因此?正确( ,弧AD180 (4)易知O′E?AD，O′E,AD，故四边形O′DEO是平行四边形，但AD?A O′，从而四边形O′DEO不是菱形，故?错误( 解答:?? 点评:此题主要考查相似三角形的判定与性质，圆心角、弧、弦的关系，圆周角定理，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识点的灵活运用，此题步骤繁琐，但相对而言，难易程度适中，很适合学生的训练是一道典型的题目( 5. 如图，点E(0，4)，O(0，0)，C(5，0)在?A上，BE是?A上的一条弦(则tan?OBE=( 考点:圆周角定理;坐标与图形性质;锐角三角函数的定义。 分析:根据同弧所对的圆周角相等，可证?ECO=?OBE(由锐角三角函数可求 44tan?ECO=，即tan?OBE=( 55 解答:解:连接EC( 根据圆周角定理?ECO=?OBE( 在Rt?EOC中，OE=4，OC=5， 4则tan?ECO=( 5 第13页 4故tan?OBE=( 5 点评:本题重点考查了同弧所对的圆周角相等及解直角三角形的知识( 注意锐角三角函数的概念:在直角三角形中，正弦等于对比斜;余弦等于邻比斜;正切等于对比邻( 6. (2011河北，16，3分)如图，点0为优弧ACB所在圆的圆心，?AOC,108?，点D在AB延长线上，BD,BC，则?D, ( 考点:圆周角定理;三角形的外角性质;等腰三角形的性质。 专题:计算题。 分析:根据圆周角定理，可得出?ABC的度数，再根据BD,BC，即可得出答案( 解答:解:??AOC,108?，??ABC,54?， 1?BD,BC，??D,?BCD,?ABC,27?， 2 故答案为27?( 点评:本题考查了圆周角定理(三角形外角的性质以及等腰三角形的性质，是基础知识比较简单( 7. 2011黑龙江省黑河， 8，3分)如图，A、B、C、D是?O上的四个点，AB=AC，AD交 BC于点E，AE=3，ED=4，则AB的长为( 21 【考点】相似三角形的判定与性质;圆周角定理;相交弦定理。 【专题】计算题。 第14页 ABAE【分析】可证明?ABE??ADB，则=，则AB2=AD•AE，由AE=3，ED=4，ADAB 即可求得AB( 【解答】解:?AB=AC，??ABE=?ADB， ABAE??ABE??ADB，则= ADAB 即AB2=AD•AE， ?AE=3，ED=4， ?AB=( AEDEAE，,,，,7321，， 【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质以及圆周角定理以及相交线定理，是基础知识要熟练掌握( 8. (2011湖北十堰，15，3分)如图，一个半径为的圆经过一个半径为4的圆的圆心，22 则图中阴影部分的面积为 . 考点:相交两圆的性质;扇形面积的计算。 专题:计算题;数形结合。 分析:连接OO，OA，OB，OA，OB，由勾股定理得逆定理得?OOA=?OOB=90?，2121121122 则点A、O、B在同一条直线上，则AB是圆O的直径，从的得出阴影部分的面积11 11S=S,S=S,(S,S)( 阴影弓形扇形?1AO1B?1AO2B?AO2B22 解答:解:连接OO，OA，OB，OA，OB，?OO=OA=2，OA=4，21211221212 222?OO+OA=OA，??OOA=90?，同理?OOB=90?，?点A、O、B在同一121221211 11条直线上，并且?AOB=90?，?AB是圆O的直径，?S=S,S=S阴影弓形21?1AO1B?122 11122,(S,S)=π(2),π×4+×4×4=8 2扇形AO2B?AO2B242 故答案为8( 第15页 点评:本题考查了扇形面积的计算、勾股定理和相交两圆的性质，解题的关键是发现阴影部 分的面积的计算方法( 9. (2011湖南衡阳，16，3分)如图，?O的直径CD过弦EF的中点G，?EOD=40?，则?FCD的度数为 20? ( 考点:圆周角定理;垂径定理。 专题:几何图形问题。 分析:根据垂径定理得出弧DE等于弧DF，再利用圆周角定理得出?FCD=20?( ??O的直径CD过弦EF的中点G， 解答:解: ?， DEDF, 1??DCF=?EOD， 2 ??EOD=40?， ??FCD=20?， 故答案为:20?( 点评:此题主要考查了垂径定理以及圆周角定理的推论，灵活应用相关定理是解决问题的关键( 10 2( 【考点】两点间的距离( 【分析】根据AB=12，AC=8，求出BC的长，再根据点D是线段BC的中点，得出CD=BD即可得出答案( 第16页 【解答】解:?AB=12，AC=8， ?BC=4， ?点C是线段AB上的点，点D是线段BC的中点， ?CD=BD=2， 故答案为:2( 【点评】此题主要考查了两点距离求法，根据已知求出BC=4是解决问题的关键( 16、如图，?ABC内接于?O，已知?A=55?，则?BOC= 110?( 【考点】圆周角定理( 【分析】直接利用圆周角定理同弧所对的圆周角是圆心角的一半，直接得出答案( 【解答】解:??ABC内接于?O，已知?A=55?， ??BOC=110?， 故答案为:110?( 【点评】此题主要考查了圆周角定理，熟练应用圆周角定理是解决问题的关键( 三、解答题 1. (2011江苏南京，26，8分)如图，在Rt?ABC中，?ACB=90?，AC=6cm，BC=8cm(P为BC的中点，动点Q从点P出发，沿射线PC方向以2cm/s的速度运动，以P为圆心，PQ长为半径作圆(设点Q运动的时间为t s( (1)当t=1.2时，判断直线AB与?P的位置关系，并说明理由; (2)已知?O为?ABC的外接圆(若?P与?O相切，求t的值( 第17页 考点:圆与圆的位置关系;勾股定理;直线与圆的位置关系;相似三角形的判定与性质。 专题:几何综合题;动点型。 分析:(1)根据已知求出AB=10cm，进而得出?PBD??ABC，利用相似三角形的性质得出 圆心P到直线AB的距离等于?P的半径，即可得出直线AB与?P相切; 1(2)根据BO=AB=5cm，得出?P与?O只能内切，进而求出?P与?O相切时，t的值( 2 ?P相切， 解答:解:(1)直线AB与 如图，过P作PD?AB，垂足为D， 在Rt?ABC中，?ACB=90?， ?AB=6cm，BC=8cm， ?AB=10cm， ?P为BC中点， ?PB=4cm， ??PDB=?ACB=90?， ?PBD=?ABC， ??PBD??ABC， PDPB?， ,ACAB PD4即， ,610 ?PD=2.4(cm)， 当t=1.2时，PQ=2t=2.4(cm)， ?PD=PQ，即圆心P到直线AB的距离等于?P的半径， ?直线AB与?P相切; (2)??ACB=90?， ?AB为?ABC的外接圆的直径， 1?BO=AB=5cm， 2 第18页 连接OP， 1?P为BC中点，?PO=AC=3cm， 2 ?点P在?O内部，??P与?O只能内切， ?5,2t=3，或2t,5=3， ?t=1或4， ??P与?O相切时，t的值为1或4( 点评:此题主要考查了相似三角形的性质与判定以及直线与圆的位置关系和圆与圆的位置关系，正确判定直线与圆的位置关系是重点知识同学们应重点复习( 2. (2011江苏苏州，26，8分)如图，已知AB是?O的弦，OB=2，?B=30?，C是弦AB上的任意一点 (不与点A、B重合)，连接CO并延长CO交?O于点D，连接AD( (1)弦长等于________(结果保留根号); (2)当?D=20?时，求?BOD的度数; (3)当AC的长度为多少时，以A、C、D为顶点的三角形与以B、C、0为顶点的三角形相似,请写出解答过程( 圆周角定理;垂径定理;相似三角形的判定与性质;解直角三角形( 考点: 专题:几何综合题;数形结合( 分析:(1)过点O作OE?AB于E，由垂径定理即可求得AB的长; (2)连接OA，由OA=OB，OA=OD，可得?BAO=?B，?DAO=?D，则可求得?DAB的度数，又由圆周角等于同弧所对圆心角的一半，即可求得?DOB的度数; (3)由?BCO=?A+?D，可得要使?DAC与?BOC相似，只能?DCA=?BCO=90?，然 第19页 后由相似三角形的性质即可求得答案( 解:过点O作OE?AB于E， 解答: 1 2则AE=BE= AB，?OEB=90?， ?OB=2，?B=30?， 3 2?BE=OB•cos?B=2× = ， 23?AB=; 23故答案为:; (2)连接OA， ?OA=OB，OA=OD， ??BAO=?B，?DAO=?D， ??DAB=?BAO+?DAO=?B+?D， 又??B=30?，?D=20?， ??DAB=50?， ??BOD=2?DAB=100?; (3)??BCO=?A+?D， ??BCO,?A，?BCO,?D， ?要使?DAC与?BOC相似，只能?DCA=?BCO=90?， 此时?BOC=60?，?BOD=120?， 第20页 ??DAC=60?， ??DAC??BOC， ??BCO=90?， 即OC?AB， 1 32?AC= AB= ( 此题考查了垂径定理，圆周角的性质以及相似三角形的判定与性质等知识(题目综合点评: 性较强，解题时要注意数形结合思想的应用( 3. (2011•江苏宿迁，26，10)如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，P是反比例函 6数y,(x,0)图象上的任意一点，以P为圆心，PO为半径的圆与x、y轴分别交于点A、x B( (1)判断P是否在线段AB上，并说明理由; (2)求?AOB的面积; 6(3)Q是反比例函数y,(x,0)图象上异于点P的另一点，请以Q为圆心，QO半径x 画圆与x、y轴分别交于点M、N，连接AN、MB(求证:AN?MB( 考点:相似三角形的判定与性质;反比例函数图象上点的坐标特征;三角形中位线定理;圆周角定理。 专题:综合题;动点型。 分析:(1)点P在线段AB上，由O在?P上，且?AOB=90?得到AB是?P的直径，由此即可证明点P在线段AB上; (2)如图，过点P作PP?x轴，PP?y轴，由题意可知PP、PP是?AOB的中位线，1212 116故S,OA×OB,×2 PP×PP，而P是反比例函数y,(x,0)图象上的任意一?AOB1222x点，由此即可求出PP×PP=6，代入前面的等式即可求出S; 12?AOB 第21页 (3)如图，连接MN，根据(1)(2)则得到MN过点Q，且S=S=12，然后利?MON?AOB用三角形的面积公式得到OA•OB=OM•ON，然后证明?AON??MOB，最后利用相似三角 形的性质即可解决问题( 解答:解:(1)点P在线段AB上，理由如下: ?点O在?P上，且?AOB=90? ?AB是?P的直径 ?点P在线段AB上( (2)过点P作PP?x轴，PP?y轴，由题意可知PP、PP 1212 11是?AOB的中位线，故S,OA×OB,×2 PP×PP ?AOB1222 6?P是反比例函数y,(x,0)图象上的任意一点 x 11?S,OA×OB,×2 PP×2PP,2 PP×PP,12( ?AOB121222 (3)如图，连接MN，则MN过点Q，且S,S,12( ?MON?AOB?OA?OB,OM?ON OAON? ,OMOB ??AON,?MOB ??AON??MOB 第22页 ??OAN,?OMB ?AN?MB( 点评:此题分别考查了反比例函数图象上点的坐标特点、相似三角形的性质与判定、三角形的中位线定理及圆周角定理，综合性比较强，要求学生熟练掌握这些基础知识才能很好解决这类综合性的问题( 4. (2011•泰州，26，10分)如图，以点O为圆心的两个同心圆中，矩形ABCD的边BC为大圆的弦，边AD与小圆相切于点M，OM的延长线与BC相交于点N( )点N是线段BC的中点吗,为什么, (1 (2)若圆环的宽度(两圆半径之差)为6cm，AB=5cm，BC=10cm，求小圆的半径( 考点:垂径定理;勾股定理;矩形的性质。 专题:几何综合题;探究型。 分析:(1)由AD是小圆的切线可知OM?AD，再由四边形ABCD是矩形可知，AD?BC， AB=CD，故ON?BC，由垂径定理即可得出结论; (2)延长ON交大圆于点E，由于圆环的宽度(两圆半径之差)为6cm，AB=5cm可 知ME=6cm，在Rt?OBE中，利用勾股定理即可求出OM的长( 解答:解:(1)?AD是小圆的切线，M为切点， ?OM?AD， ?四边形ABCD是矩形， ?AD?BC，AB=CD， ?ON?BC，BE=BC=5cm， ?N是BC的中点; (2)延长ON交大圆于点E， ?圆环的宽度(两圆半径之差)为6cm，AB=5cm， ?ME=6cm， 第23页 在Rt?OBE中，设OM=r 222222OB=BC+(OM+MN)，即(r+6)=5+(r+5)，解得r=7cm， 故小圆半径为7cm( 点评:本题考查的是垂径定理，涉及到切线的性质及勾股定理、矩形的性质，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键( 5. (2011盐城，25，10分)如图，在?ABC中，?C=90?，以AB上一点O为圆心，OA长为半径的圆与BC相切于点D，分别交AC、AB于点E、F( (1)若AC=6，AB=10，求?O的半径; (2)连接OE、ED、DF、EF(若四边形BDEF是平行四边形，试判断四边形OFDE的形状，并说明理由( 考点:切线的性质;勾股定理;平行四边形的性质;圆周角定理;相似三角形的判定与性质. 专题:计算题. ODOB分析:(1)连接OD，设?O的半径为r，可证出?BOD??BAC，则,，从而求ACAB得r; 1(2)由四边形BDEF是平行四边形，得?DEF=?B，再由圆周角定理可得，?B=?DOB，2则?ODE是等边三角形，先得出四边形OFDE是平行四边形( 再根据OE=OF，则平行四边形OFDE是菱形( 解答:解:(1)连接OD(设?O的半径为r(?BC切?O于点D，?OD?BC( 第24页 ODOB??C=90?，?OD?AC，??OBD??ABC(?，即10r=6(10,r)( ,ACAB 1515解得r=，??O的半径为( 44 (2)四边形OFDE是菱形( ?四边形BDEF是平行四边形，??DEF=?B( 11??DEF=?DOB，??B=?DOB( 22 ??ODB=90?，??DOB+?B=90?，??DOB=60?( AB，??ODE=60?( ?DE? ?OD=OE，?OD=DE(?OD=OF，?DE=OF(?四边形OFDE是平行四边形( ?OE=OF， ?平行四边形OFDE是菱形( 点评:本题考查了切线的性质、勾股定理、圆周角定理、平行四边形的判定和性质以及相似三角形的判定和性质，是一个综合题，难度中等( 6.(2011江苏扬州，26，10分)已知，如图，在Rt?ABC中，?C=90º，?BAC的角平分线AD交BC边于D。 (1)以AB边上一点O为圆心，过A，D两点作?O(不写作法，保留作图痕迹)，再判断 直线BC与?O的位置关系，并说明理由; )若(1)中的?O与AB边的另一个交点为E，AB=6，BD=2, 求线段BD、BE(23 与劣弧DE所围成的图形面积。(结果保留根号和π) 考点:切线的判定与性质;勾股定理;扇形面积的计算;作图—复杂作图;相似三角形的判 定与性质。 第25页 分析:(1)根据题意得:O点应该是AD垂直平分线与AB的交点;由?BAC的角平分线 AD交BC边于D，与圆的性质可证得AC?OD，又由?C=90?，则问题得证;(2)过 点D作DM?AB于M，由角平分线的性质可证得DM=CD，又由?BDM??BAC，根 据相似三角形的对应边成比例，即可证得CD:AC=:3，可得?DOB=60?，则问题3 得解( 解答:解:(1)如图:连接OD， ?OA=OD， ??OAD=?ADO， ??BAC的角平分线AD交BC边于D， ??CAD=?OAD， ??CAD=?ADO， ?AC?OD， ??C=90?， ??ODB=90?， ?OD?BC， 即直线BC与?O的切线， ?直线BC与?O的位置关系为相切; )过点D作DM?AB于M， (2 ??DMB=?C=90?， ??B=?B， ??BDM??BAC， ?， 第26页 ?AD是?CAB的平分线， ?CD=DM， ?， ??CAD=30?， ??DAB=30?，?B=30?， ??DOB=60?， ?OD=2， 11?S==π，S=OD•BD=×2×2=2 33扇形ODE?ODB22 ?线段BD、BE与劣弧DE所围成的图形面积为:S,S=2,π( 3扇形?ODBODE 点评:此题考查了切线的判定与性质，相似三角形的判定与性质以及扇形面积与三角形面积的求解方法等知识(此题综合性很强，解题的关键是注意数形结合思想的应用( 7. (2011南昌，22，7分)如图，已知?O的半径为2，弦BC的长为，点A为弦BC23 所对优弧上任意一点(B，C两点除外)( (1)求?BAC的度数; (2)求?ABC面积的最大值( 333(参考数据:sin60?=，cos30?=，tan30?=() 223 第27页 考点:垂径定理;圆周角定理;解直角三角形. 专题:几何综合题. 分析:(1)连接OB、OC，作OE?BC于点E，由垂径定理可得出BE=EC=，在Rt?OBE3中利用锐角三角函数的定义及特殊角的三角函数值可求出?BOE的度数，再由圆周角定理即可求解; 2)因为?ABC的边BC的长不变，所以当BC边上的高最大时，?ABC的面积最大，( 此时点A应落在优弧BC的中点处，过OE?BC与点E，延长EO交?O于点A，则A为优弧BC的中点，连接AB，AC，则AB=AC，由圆周角定理可求出?BAE的度数，在Rt?ABE中，利用锐角三角函数的定义及特殊角的三角函数值可求出AE的长，由三角形的面积公式即可解答( 解答:解:(1)解法一:连接OB，OC，过O作OE?BC于点E(?OE?BC，BC=，23 BE3sin，BOE,,?(在Rt?OBE中，OB=2，?，??BOE=60?，BE,EC,3OB2 1??BOC=120?，?( ，BAC,，BOC,60:2 解法二:连接BO并延长，交?O于点D，连接CD.?BD是直径，?BD=4，?DCB=90?( 第28页 BC233在Rt?DBC中，，??BDC=60?，??BAC=?BDC=60?( sin，BDC,,,BD42 (2)解法一:因为?ABC的边BC的长不变，所以当BC边上的高最大时，?ABC的面积最大，此时点A落在优弧BC的中点处((5分) 过O作OE?BC于E，延长EO交?O于点A，则A为优弧BC的中点(连接AB，AC，则 1AB=AC，(在Rt?ABE中，?，，，BAE,，BAC,30:BE,3，BAE,30:2 1BE3?，?S=. AE,,,3，23，3,33?ABCtan30:23 3 答:?ABC面积的最大值是( 33 解法二:因为?ABC的边BC的长不变，所以当BC边上的高最大时，?ABC的面积最大，此时点A落在优弧BC的中点处((5分) 过O作OE?BC于E，延长EO交?O于点A，则A为优弧BC的中点(连接AB，AC，则AB=AC(??BAC=60?，??ABC是等边三角形(在Rt?ABE中，?，， BE,3，BAE,30: 1BE3?，?S=. AE,,,3，23，3,33?ABCtan30:23 3 答:?ABC面积的最大值是( 33 点评:本题考查的是垂径定理、圆圆周角定理及解直角三角形，能根据题意作出辅助线是解答此题的关键( 8. (2011内蒙古呼和浩特，24，8)如图所示，AC为?O的直径且PA?AC，BC是?O的 DBDC2一条弦，直线PB交直线AC于点D，( ,,DPDO3 第29页 (1)求证:直线PB是?O的切线; (2)求cos?BCA的值( 考点:切线的判定与性质;全等三角形的判定与性质;相似三角形的判定与性质;锐角三角 函数的定义( 专题:综合题( DBDC2分析:(1)连接OB、OP，由，且?D=?D，根据三,,DPDO3 角形相似的判定得到?BDC??PDO，可得到BC?OP，易证得?BOP??AOP，则?PBO=?PAO=90?; (2)设PB=a，则BD=2a，根据切线长定理得到PA=PB=a，根据勾股定理得到AD=2a，又BC?OP，得到DC=2CO，得到2 12DC=CA=×2a=a，则OA=a，利用勾股定理求出OP，然后根据余弦函数的定义2222 即可求出cos?BCA=cos?POA的值( 解答:(1)证明:连接OB、OP，如图， DBDC2?，且?D=?D， ,,DPDO3 ??BDC??PDO， ??DBC=?DPO， ?BC?OP， ??BCO=?POA，?CBO=?BOP 而OB=OC ??OCB=?CBO ??BOP=?POA 又?OB=OA，OP=OP ??BOP??AOP ??PBO=?PAO 第30页 又?PA?AC ??PBO=90? ?直线PB是?O的切线; (2)由(1)知?BCO=?POA， 设PB=a，则BD=2a 又?PA=PB=a 22?AD=a， DPPA,,22 又?BC?OP ?DC=2CO， 1?DC=CA= ×2a=a， 222 2?OA=a， 2 26a2222?OP= ， OAPAaa，,，,()22 OA3?cos?BCA=cos?POA= ( ,OP3 点评:本题考查了圆的切线的性质和判定:圆的切线垂直于过切点的半径;过半径的外端点与半径垂直的直线为圆的切线(也考查了三角形相似和全等的判定与性质以及三角函数的定义( 9.如图，点C、D分别在扇形AOB的半径OA、OB的延长线上，且OA=3，AC=2，CD平 行于AB，并与弧AB相交于点M、N( (1)求线段OD的长; (2)若 ，求弦MN的长( 考点:垂径定理;勾股定理;相似三角形的判定与性质;解直角三角形( 专题:几何图形问题;探究型( 第31页 分析:(1)根据CD?AB可知，?OAB??OCD，再根据相似三角形的对应边成比例即可求出OD的长; (2)过O作OE?CD，连接OM，由垂径定理可知ME= MN，再根据tan?C= 可求出OE的长，利用勾股定理即可求出ME的长，进而求出答案( 解答:解:(1)?CD?AB，OA=3，AC=2， ??OAB??OCD， ? = ，即 = ， ?OD=5; (2)过O作OE?CD，连接OM，则ME= MN， ?tan?C= ， ?设OE=x，则CE=2x， 222222在Rt?OEC中，OC=OE+CE，即5=x+(2x)，解得x= ， 222222在Rt?OME中，OM=OE+ME，即3=( )+ME，解得ME=2( 故答案为:5;2( 点评:本题考查的是垂径定理，涉及到锐角三角函数的定义、相似三角形的判定与性质及勾股定理，根据题意作出辅助线是解答此题的关键( 10. (2011四川广安，29，10分)如图所示(P是?O外一点(PA是?O的切线(A是切点(B是?O上一点(且PA,PB，连接AO、BO、AB，并延长BO与切线PA相交于点Q( 1)求证:PB是O的切线; (? (2)求证: AQ?PQ, OQ?BQ; 4(3)设?AOQ,(若cos,(OQ, 15(求AB的长 ,,5 第32页 考点:直线与圆的位置关系，切线，切线长，相似，解直角三角形，综合题( 专题:圆、相似 分析:(1)要证PB是?O的切线，只要证明?PBO,90?即可，根据已知条件可考虑连接PO，通过证明?APO??BPO来说明?PBO,?PAO,90?( PQBQ(2)要证明AQ?PQ, OQ?BQ，只需证明即可，为此需要证明,OQAQ ?QPB?QOA( , (3)根据已知条件解Rt?AOQ可得AQ与OA的长，则BQ的长可求，利用(2)中证得的?QPB?QOA，根据相似三角形的性质可求得PB的长，利用勾股定理可得PO的长，, 在Rt?AOB中，利用面积等积式可求得AB的一半的长，则AB的长可知( 解答:(1)证明:如图所示，连结OP，交AB于点C( ?PA,PB，AO,BO，PO,PO ??APO??BPO( ??PBO,?PAO,90? 又?PA是?O的切线 ?PA?OA，即?PAO,90?( ??PBO,?PAO,90?( ?PB是?O的切线( (2)证明:??OAQ,?PBQ,90?，?Q为公共角， ,??QPB?QOA( 第33页 PQBQ?，即AQ?PQ, OQ?BQ( ,OQAQ OA444(3)在Rt?AOQ中，，?( ,,,cosOAOQ,,，,1512OQ555 2222，BQ,BO，OQ,AO，OQ,12，15,27( ?AQOQOA,,,,,15129 OAQA129由(2)知?QPB?QOA，?，即，解得PB,36( ,,,PBQBPB27 PA、PB都是?O的切线，PA,PB， ? ??APC,?BPC，?PC?AB，即OC?AB( 2222?AB,2BC，( POPBOB,，,，,36121210 11?， SPBOBPOBC,,RtPOB,22 PBOB36121810，?( BC,,,PO51210 3610?( ABBC,,25 点评:(1)要证明一条直线是圆的切线，如果在已知条件中已知直线和圆已有一个公共点，那么常连接这个公共点和圆心(本题中OB已连接)，再说明这条半径和直线垂直，简称―连半径证垂直‖( (2)等积式的证明经常需转化成比例式来证明，而证明比例式成立的首选方法是利用相似，根据相似三角形对应边成比例的性质建立比例式( (3)在直角三角形中，经常利用面积等积式来求有关线段的长( 另外，本题前两问比较简单，易于寻找解题思路，而第(3)问综合性巧强，用到的知识较多，所要求的线段的长较多，许多同学会不能顺利做解( 11. (2011四川凉山，27，8分)如图，已知，以为直径，为圆心的半圆交?ABCBCOAC E于点F，点为弧CF的中点，连接BE交于点M，AD为?ABC的角平分线，AC 且ADBE,，垂足为点H. AB(1)求证:是半圆的切线; O (2)若，，求BE的长. AB,3BC,4 第34页 A FEA A HM A A B CDO A A A 考点:切线的判定与性质;勾股定理;圆周角定理;相似三角形的判定与性质( 专题:综合题( 分析:(1)连接EC，AD为?ABC的角平分线，得?1,?2，又AD?BE，可证?3,?4，由对顶角相等得?4,?5，即?3,?5，由E为弧CF的中点，得?6,?7，由BC为直径得 ?E,90?，即?5，?6,90?，由AD?CE可证?2,?6，从而有?3，?7,90?，证明结论; (2)在Rt?ABC中，由勾股定理可求AC,5，由?3,?4得AM,AB,3，则CM,AC,AM,2，由(1)可证?CME??BCE，利用相似比可得EB,2EC，在Rt?BCE 222222中，根据BE，CE,BC，得BE，( ),4，可求BE( 解答:(1)证明:连接EC， ?AD?BE于H，?1,?2， ??3,?4 ??4,?5,?3， 又?E为弧CF中点， ??6,?7， ?BC是直径， ??E,90?， ??5，?6,90?， 又??AHM,?E,90?， ?AD?CE， ??2,?6,?1， ??3，?7,90?， 又?BC是直径， ?AB是半圆O的切线; (2)?，。 AB,3BC,4 由(1)知，，?. ，,ABC90AC,5 ADBM,HAD在中，于，平分， ?ABM，BAC ?，?. AMAB,,3CM,2 ECMC1由?，得. ?CME?BCE,,EBCB2 第35页 ?， EBEC,2 8? BE,55 点评:本题考查了切线的判定与性质，相似三角形的判定与性质，圆周角定理，勾股定理的运用(关键是由已知条件推出相等角，构造互余关系的角推出切线，利用相等角推出相似三角形，由相似比得出边长的关系，由勾股定理求解( 12. (2011天津，22， 分)已知AB与?O相切于点C，OA=OB，OA、OB与?O分别交于点D、E( (I)如图?，若?O的直径为8，AB=10，求OA的长(结果保留根号); OD(II)如图?，连接CD、CE，若四边形ODCE为菱形，求的OA值( 考点:切线的性质;含30度角的直角三角形;勾股定理;菱形的性质。 专题:几何图形问题。 分析:(1)连接OC，根据切线的性质得出OC?AB，再由勾股定理求得OA即可; (2)根据菱形的性质，求得OD=CD，则?ODC为等边三角形，可得出?A=30?，即可求OD得的值( OA 解答:解:(1)如图?，连接OC，则OC=4， ?AB与?O相切于点C，?OC?AB， 1?在?OAB中，由AO=OB，AB=10m，得AC=AB=5( 2 2222在Rt?AOC中，由勾股定理得OA= OC，AC,4，5,41 第36页 (2)如图?，连接OC，则OC=OD， ?四边形ODCE为菱形，?OD=CD， ??ODC为等边三角形，有?AOC=60?( 由(1)知，?OCA=90?，??A=30?， 1OD1?OC=OA，?=( 2OA2 点评:本题考查了切线的性质和勾股定理以及直角三角形、菱形的性质，是一道综合题，要熟练掌握( 13. (2011湖北潜江，20，8分)如图，BD是?O的直径，A、C是?O上的两点，且AB,AC，AD与BC的延长线交于点E( (1)求证:?ABD??AEB; (2)若AD,1，DE,3，求BD的长( 考点:相似三角形的判定与性质;勾股定理;圆周角定理。 专题:几何证明和计算题 分析:(1)结合已知条件就可以推出?ABC,?ADB，再加上公共角就可以推出结论; (2)由(1)的结论就可以推出AB的长度，规矩勾股定理即可推出BD的长度( 第37页 解答:(1)证明:?AB,AC， ?弧AB,弧AC ( ?ADB((2分) ??ABC, 又?BAE,?DAB， ??ABD??AEB((4分) (2)解:??ABD??AEB， ABAD?( ,AEAB ?AD,1，DE,3， ?AE,4( 2?AB,AD•AE,1×4,4( ?AB,2((6分) O的直径， ?BD是? ??DAB,90?( 22222在Rt?ABD中，BD,AB，AD,2，1,5， ?BD,((8分) 5 点评:本题主要考查了勾股定理、相似三角形的判定和性质、圆周角定理，解题的关键在于 找到?ABC,?ADB，求证三角形相似( 14. 如图，在圆内接四边形ABCD中，CD为?BCA的外角的平分线，F为 AD弧上一点， BC=AF，延长DF与BA的延长线交于E( (1)求证:?ABD为等腰三角形( (2)求证:AC•AF=DF•FE( 考点:圆周角定理;全等三角形的判定与性质;圆内接四边形的性质;相似三角形的判 定与性质( 专题:证明题( 第38页 分析:(1)CD为?BCA的外角的平分线得到?MCD=?ACD，求出?MCD=?DAB 推出?DBA=?DAB即可; (2)由BC=AF推出CD=DF和?CDB=?ADF，证?CDA??FDB，得到AC=BF，根 据C D F B四点共圆和A F D B四点共圆，推出?FAE=?BDF和?EFA=?DFB，证 ?DBF??AEF，得到 AFDF= EFBF即可推出答案( 解答:(1)证明:?CD为?BCA的外角的平分线， ??MCD=?ACD， ?A、B、C、D四点共圆， ??MCD=?DAB， ??DCA=?DBA， ??DBA=?DAB， ?BD=AD， ??ABD是等腰三角形( (2)证明:?BC=AF， ?弧BC=弧AF， ?AD=BD， ?弧AD=弧BD， ?弧CD=弧DF， ?CD=DF， ?弧BC=弧DF， ??CDB=?ADF， ??CDA=?FDB， ?AD=BD，CD=DF， ??CDA??FDB， ?AC=BF， ?C D F B四点共圆，A F D B四点共圆， ??FAE=?BDF，?MCD=?DFB，?EFA=?DBA=?DCA， ??MCD=?DCA， ??EFA=?DFB， 第39页 ??DBF??AEF， ? AFDF= EFBF， ?AF•BF=DF•EF， ?AC•AF=DF•FE( 本题主要考查对圆内接四边形，全等三角形的性质和判定，相似三角形的性质和判定，点评: 圆周角定理等知识点的理解和掌握，能综合运用这些性质进行推理是证此题的关键( 15. (2011•贵港)如图所示，在以O为圆心的两个同心圆中，小圆的半径为1，AB与小圆相切于点A，与大圆相交于点B，大圆的弦BC?AB于点B，过点C作大圆的切线CD交AB的延长线于点D，连接OC交小圆于点E，连接BE、BO( )求证:?AOB??BDC; (1 (2)设大圆的半径为x，CD的长为y: ?求y与x之间的函数关系式; ?当BE与小圆相切时，求x的值( 考点:切线的性质;勾股定理;垂径定理;相似三角形的判定与性质。 专题:综合题。 分析:(1)由AB与小圆相切，CD与大圆相切，根据切线性质可得?OAB与?OCD相等，都为直角，又BC与AB垂直，根据垂直定义得到?CBA与?CBD都为直角，则?1+?OBC与?2+?OCB和都为90?，由OC=OB，根据―等边对等角‖得到?OBC=?OCB，根据等角的余角相等，得到?1=?2，由两对对应角相等的两三角形相似得证; (2)?过O作OF垂直于BC，由三个角都为直角的四边形为矩形得到ABOF为矩形，根据矩形的对边相等，得到FB=OA，由OA的长得到FB的长，又BC为大圆的弦，利用垂径定理得到BC=2BF，从而求出BC的长，在直角三角形OAB中，由OA=1，OB=x，利用勾股定理示出AB，由(1)得到的三角形相似得比例，把相应的值代入即可得到y与x的关系式; ?当BE与小圆相切时，根据切线性质得到OE与BE垂直，由OE和OC表示出EC的长，根据切线长定理得到BE=BA，表示出EB，在直角三角形ECB中，由EC，EB及BC的长， 第40页 利用勾股定理列出关于x的方程，求出方程的解即可得到x的值( 解答:(1)证明:?AB与小圆相切于点A，CD与大圆相切于点C， ??OAB=?OCD=90?， ?BC?AB， ??CBA=?CBD=90?，(1分) ??1+?OBC=90?，?2+?OCB=90?， 又?OC=OB， ??OBC=?OCB， ??1=?2，(2分) BDC;(3分) ??AOB?? (2)解:?过点O作OF?BC于点F，则四边形OABF是矩形(4分) ?BF=OA=1， 由垂径定理，得BC=2BF=2，(5分) 在Rt?AOB中，OA=1，OB=x ?AB==，(6分) 由(1)得?AOB??BDC ?=，即=， ?y=;(7分) ?当BE与小圆相切时，OE?BE， ?OE=1，OC=x， ?EC=x,1，BE=AB=，(8分) 222在Rt?BCE中，根据勾股定理得:EC+BE=BC， 第41页 222即(x,1)+()=2，(9分) 解得:x=2，x=,1(舍去)，(10分) 12 ?当BE与小圆相切时，x=2((11分) 点评:此题考查了切线的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理及垂径定理(遇到切线，连接圆心与切点，是常常连接的辅助线，借助图形，由切线的性质构造直角三角形，然后利用勾股定理解决问题(熟练掌握切线的性质是解本题的关键( 16.(2011•菏泽)如图，BD为?O的直径，AB=AC，AD交BC于点E，AE=2，ED=4， (1)求证:?ABE??ADB; (2)求AB的长; (3)延长DB到F，使得BF=BO，连接FA，试判断直线FA与?O的位置关系，并说明理由( 考点:相似三角形的判定与性质;勾股定理;圆周角定理;切线的判定。 专题:计算题;证明题。 分析:(1)根据AB=AC，可得?ABC=?C，利用等量代换可得?ABC=?D然后即可证明?ABE??ADB( (2)根据?ABE??ADB，利用其对应边成比例，将已知数值代入即可求得AB的长( (3)连接OA，根据BD为?O的直径可得?BAD=90?，利用勾股定理求得BD，然后再求证?OAF=90?即可( 解答:解:(1)证明: ?AB=AC， ??ABC=?C， 第42页 ??C=?D， ??ABC=?D， 又??BAE=?EAB， ??ABE??ADB， (2)??ABE??ADB， ?， 2?AB=AD•AE=(AE+ED)•AE=(2+4)×2=12， ( ?AB= (3)直线FA与?O相切，理由如下: 连接OA，?BD为?O的直径， ??BAD=90?， ?， BF=BO=， ?AB=， ?BF=BO=AB， ??OAF=90?， ?O相切( ?直线FA与 点评:此题主要考查相似三角形的判定与性质，勾股定理，圆周角定理，切线的判定等知识 点，有一定的拔高难度，属于难题( 17. (2011•青海)已知:如图，AB是?O的直径，AC是弦，直线EF是过点C的?O的 切线，AD?EF于点D( (1)求证:?BAC=?CAD; 第43页 (2)若?B=30?，AB=12，求的长( 考点:切线的性质;圆周角定理;弧长的计算。 专题:综合题。 分析:(1)连接OC，由EF为圆O的切线，根据切线性质得到OC与EF垂直，又AD与EF垂直，得到AD与OC平行，根据两直线平行得到内错角?OCA=?CAD，由OA=OC，根据―等边对等角‖得到?OCA=?OAC，等量代换得证; (2)由OA=OB，根据―等边对等角‖得到?B=?OCB=30?，又?AOC为?BOC的外角，根据三角形外角性质求出?AOC的度数，即为弧AC所对的圆心角的度数，然后由直径AB的长，求出半径的长，利用弧长公式即可求出的长( 解答:(1)证明:连接OC， ?EF是过点C的?O的切线( ?OC?EF，又AD?EF， ?OC?AD， ??OCA=?CAD， 又?OA=OC， ??OCA=?BAC， ??BAC=?CAD; (2)解:?OB=OC，??B=?OCB=30?， 又?AOC是?BOC的外角， ??AOC=?B+?OCB=60?， ?AB=12， 第44页 ?半径OA=AB=6， ?的长l==2π( 点评:此题考查了切线的性质，等腰三角形的性质，以及弧长公式(遇到直线与圆相切，连接圆心与切点，是常常连接的辅助线，然后构造直角三角形来解决问题(要求学生掌握切线的性质，三角形的外角性质以及弧长公式l=(n为弧所对的圆心角度数，r表示圆的半径)( 18. (2011山东滨州，22，8分)如图，直线PM切?O于点M,直线PO交?O于AB两、 点，弦ACPM, 连接OMBC. ?、 求证:(1)?ABC??POM; 2(2). 2OAOPBC, 【考点】切线的性质;相似三角形的判定与性质( 【分析】(1)M切?O于点M，所以?PMO=90?，又因为弦AB是直径，所以 ?ACB=?PMO=90?，再有条件弦AC?PM，可证得?CAB=?P，进而可证得 ABBC?ABC??POM;(2)有(1)可得 ，又因为AB=2OA，OA=OM;所以,POOM 22OA=OP•BC( 【解答】证明:(1)?直线PM切?O于点M， ??PMO=90?， ?弦AB是直径， 第45页 ??ACB=90?， ??ACB=?PMO， ?AC?PM， ??CAB=?P， ??ABC??POM; (2)??ABC??POM， ABBC?， ,POOM 又AB=2OA，OA=OM， 2OABC?， ,POOA 2?2OA=OP•BC( 【点评】本题考查了切线的性质:?圆的切线垂直于经过切点的半径;?经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点;?经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心和相似和圆有关的知识，具有一定的综合性( 19. (2011年山东省东营市，21，9分)如图，已知点A、B、C、D均在已知圆上，AD?BC，BD平分?ABC，?BAD=120?，四边形ABCD的周长为15( (1)求此圆的半径; (2)求图中阴影部分的面积( 考点:扇形面积的计算;圆心角、弧、弦的关系;圆周角定理( 专题:几何图形问题( 分析:(1)根据条件可以证得四边形ABCD是等腰梯形，且AB=AD=DC，?DBC=90?，在直角?BDC中，BC是圆的直径，BC=2DC，根据四边形ABCD的周长为15，即可求得BC，即可得到圆的半径; (2)根据S=S-S即可求解( 阴影扇形AOD?AOD 第46页 解答:解:(1)?AD?BC，?BAD=120?(??ABC=60?( 又?BD平分?ABC， ??ABD=?DBC=?ADB=30? ? = = ，?BCD=60? ?AB=AD=DC，?DBC=90? 又在直角?BDC中，BC是圆的直径，BC=2DC( 3?BC+ BC=15 2 ?BC=6 ?此圆的半径为3( (2)设BC的中点为O，由(1)可知O即为圆心( 连接OA，OD，过O作OE?AD于E( 在直角?AOE中，?AOE=30? 33?OE=OA•cos30?= 2 33931S= ×3×= ( ?AOD224 26039，，,396-93,,,S,,S-S-3-3=阴影扇形AODAOD2443604? 点评:本题主要考查了扇形的面积的计算，正确证得四边形ABCD是等腰梯形，是解题的关键( 20. (2011山东菏泽，18，12分)如图，BD为?O的直径，AB=AC，AD交BC于点E，AE=2，ED=4， (1)求证:?ABE??ADB; (2)求AB的长; (3)延长DB到F，使得BF=BO，连接FA，试判断直线FA与?O的位置关系，并说明理由( 第47页 考点:相似三角形的判定与性质;勾股定理;圆周角定理;切线的判定( 专题:计算题;证明题( 分析:(1)根据AB=AC，可得?ABC=?C，利用等量代换可得?ABC=?D然后即可证明?ABE??ADB( (2)根据?ABE??ADB，利用其对应边成比例，将已知数值代入即可求得AB的长( (3)连接OA，根据BD为?O的直径可得?BAD=90?，利用勾股定理求得BD，然后再求证?OAF=90?即可( 解答:解:(1)证明: ?AB=AC， ??ABC=?C， ??C=?D， ??ABC=?D， 又??BAE=?EAB， ??ABE??ADB， (2)??ABE??ADB， ABAE?， ,ADAB 2?AB=AD•AE=(AE+ED)•AE=(2+4)×2=12， ?AB=( 23 (3)直线FA与?O相切，理由如下: 连接OA，?BD为?O的直径， ??BAD=90?， 222?BDABAD,，,，，,122443 ，， ， 第48页 1BF=BO=， BD,232 ?AB=， 23 ?BF=BO=AB， ??OAF=90?， ?O相切( ?直线FA与 点评:此题主要考查相似三角形的判定与性质，勾股定理，圆周角定理，切线的判定等知识点，有一定的拔高难度，属于难题( 21. (2011•莱芜)如图，AB是?O的直径，弦DE垂直平分半径OA，C为垂足，DE=3，连接BD，过点E作EM?BD，交BA的延长线于点M( (1)求?O的半径; (2)求证:EM是?O的切线; (3)若弦DF与直径AB相交于点P，当?APD=45?时，求图中阴影部分的面积( 考点:切线的判定与性质;圆周角定理;扇形面积的计算;解直角三角形。 分析:(1)首先连接OE，由弦DE垂直平分半径OA，根据垂径定理可求得OC与OE的关系，求得CE的长，然后根据直角三角形的性质，求得?OEC=30?，根据三角函数的性质，则可求得?O的半径; (2)由垂径定理，可得AE =AD ，根据在等圆或同圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于所对圆心角的一半，即可求得?B的度数，即可求得?EDB的度数，又由EM?BD，可求得?MED的度数，继而求得?MEO=90?，即可证得EM是?O的切线; (3)由?APD=45?，根据在等圆或同圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于所对圆心角的一半，即可求得?EOF的度数，然后根据S=S,S，即可求得答案( 阴影扇形EOF?EOF 解答:解:连接OE( ?DE垂直平分半径OA， 1113?OC=OA=OE，CE=DE=， 2222 ??OEC=30?， 第49页 3 EC2?OE=; ,,3cos30:3 2 )由(1)知:?AOE=60?，AE =AD， (2 1??B=?AOE=30?， 2 ??BDE=60? ?BD?ME， ??MED=?BDE=60?， ??MEO=?MED+?OEC=60?+30?=90?， ?OE?EM， ?EM是?O的切线; (3)连接OF( ??DPA=45?， ??DCB=90?， ??CDP=45?， ??EOF=2?EDF=90?， 2903133,，，，，-S33?( S,S,,，，,,,,阴影扇形EOFEOF360242 点评:此题考查了垂径定理，圆周角的性质，切线的判定，直角三角形的性质，以及平行线的性质等知识，此题综合性很强，难度适中，解题的关键是注意数形结合思想的应用，注意辅助线的作法( 22. (2011山东省潍坊， 23，11分) 如图(AB是半圆O的直径(AB=2(射线AM、BN为半圆O的切线(在AM上取一点D(连接BD交半圆于点C(连接AC，过O点作BC的垂线OF(垂足为点E(与BN相交于点F。过D点作半圆O的切线DP，切点为P，与BN相交于点 Q。 第50页 (I) 求证:?ABC'??OFB; (2) 当?ABD与?BFO的面积相等时，求BQ的长; (3) 求证:当D在AM上移动时(A点除外)，点Q始终是线段BF的中点。 【考点】切线的性质;全等三角形的判定与性质;勾股定理;圆周角定理;相似三角形的判定与性质( 【专题】证明题;几何综合题( 【分析】(1)根据OE?AC，得出?BAC=?FOB，进而得出?BCA=?FBO=90?，从而证明结论; (2)根据?ACB??OBF得出?ABD??BFO，从而得出DQ?AB，即可得出BQ=AD; 222(3)首先得出AD=DP，QB=BQ，进而得出DQ=QK+DK，得出BF=2BQ，即可得出Q为BF的中点( 【解答】证明:(1)?AB为直径， ??ACB=90?，即:AC?BC， 又OE?BC， ?OE?AC， ??BAC=?FOB， ?BN是半圆的切线， ??BCA=?FBO=90?， ??ACB??OBF( 解:(2)由?ACB??OBF得，?OFB=?DBA，?DAB=?OBF=90?， ??ABD??BFO， 当?ABD与?BFO的面积相等时，?ABD??BFO， ?AD=1， 第51页 又DPQ是半圆O的切线， ?OP=1，且OP?DP， ?DQ?AB， ?BQ=AD=1， (3)由(2)知，?ABD??BFO， BFAB? ， ,OBAD 2?BF= ， AD ?DPQ是半圆O的切线， ?AD=DP，QB=BQ， 过Q点作AM的垂线QK，垂足为K，在直角三角形DQK中， 222DQ=QK+DK， 222?(AD+BQ)=(AD-BQ)+2( 1?BQ=， AD ?BF=2BQ， ?Q为BF的中点( 【点评】此题主要考查了切线的性质以及全等三角形的判定和相似三角形的判定等知识，熟练利用相似三角形的判定是解决问题的关键( 23.(2011山东烟台，25，12分) 已知:AB是?O的直径，弦CD?AB于点G，E是直线AB上一动点(不与点A、B、G重合)，直线DE交?O于点F，直线CF交直线AB于点P.设?O的半径为r. 2(1)如图1，当点E在直径AB上时，试证明:OE?OP,r (2)当点E在AB(或BA)的延长线上时，以如图2点E的位置为例，请你画出符合题意的图形，标注上字母，(1)中的结论是否成立,请说明理由. 第52页 C C F . A . . A G O P B E E B G O D D (图1) (图2) 考点:相似三角形的判定与性质;垂径定理;圆周角定理. 分析:(1)如图，连接FO并延长交?O于Q，连接DQ(由FQ是?O直径得到?QFD+?Q=90?，又由CD?AB得到?P+?C=90?，然后利用已知条件即可得到 P，然后即可证明?FOE??POF，最后利用相似三角形的性质即可解决问题; ?QFD=? (2)(1)中的结论成立( 如图2，依题意画出图形，连接FO并延长交?O于M，连接CM(由FM是?O直径得到?M+?CFM=90?，又由CD?AB，得到?E+?D=90?，接着利用已知条件即可证明?CFM=?E，然后利用已知条件证明?POF??FOE，最后利用相似三角形的性质即可证明题目的结论( 解答:(1)证明:连接FO并延长交?O于Q，连接DQ( ?FQ是?O直径，??FDQ=90?(??QFD+?Q=90?( ?CD?AB，??P+?C=90?( ??Q=?C，??QFD=?P( OEOF22??FOE=?POF，??FOE??POF(?(?OE•OP=OF=r( ,OFOP (2)解:(1)中的结论成立( 理由:如图2，依题意画出图形，连接FO并延长交?O于M，连接CM( ?FM是?O直径，??FCM=90?，??M+?CFM=90?( ?CD?AB，??E+?D=90?( ??M=?D，??CFM=?E( 第53页 OPOF22??POF=?FOE，??POF??FOE(?，?OE•OP=OF=r( ,OFOE 点评:此题分别考查了相似三角形的性质与判定、垂径定理及圆周角定理，同时也考查了简单的作图问题，解题的关键是充分利用相似三角形的性质证明题目的结论( 24. (2011•山西)如图，?ABC是直角三角形，?ACB=90?( (1)实践与操作:利用尺规按下列要求作图，并在图中标明相应的字母(保留作图痕迹，不写作法)( ?ABC的外接圆，圆心为O; ?作 ?以线段AC为一边，在AC的右侧作等边?ACD; ?连接BD，交O于点F，连接AF， ? (2)综合与运用:在你所作的图中，若AB=4，BC=2，则: ?AD与?O的位置关系是 ( ?线段AE的长为 ( 考点:作图—复杂作图;直线与圆的位置关系。 专题:作图题。 分析:(1)?以AB为直径作圆O即可; ?分别以A、B为半径作弧交于点D连接AD，CD即可; ?根据题意连接，找到交点即可( (2)?可证?BAD=90?，由切线的判定得出AD与?O的位置关系( ?根据三角形的面积公式即可求出线段AE的长( 解答:解:评分说明:第?小题(2分)，第?小题(2分)，第?小题(1分)( (1)如图(若考生作两条边或三条边的垂直平分线不扣分( (2)??AB=4，BC=2，?ACD是等边三角形， ??BAD=?BAC+?CAD=30?+60?=90?， ?AD与?O的位置关系是 相切( 第54页 3?AD=AC=AB•=2， 32 22BD==2， 7ABAD， 114AE=AB•AD?(BD)=( 21227 4故线段AE的长为( 217 4故答案为:相切(( 217 点评:考查了直角三角形的外接圆，等边三角形的作法，切线的判定，勾股定理及三角形面积公式，综合性较强( 25.(2011四川攀枝花，23)如图(?)，在平面直角坐标系中，?O′是以点O′(2，,2) 为圆心，半径为2的圆，?O″是以点O″(0，4)为圆心，半径为2的圆( (1)将?O′竖直向上平移2个单位，得到?O，将?O″水平向左平移1个单位，得到?O12 如图(?)，分别求出?O和?O的圆心坐标( 12 (2)两圆平移后，?O与y轴交于A、B两点，过A、B两点分别作?O的切线，交x轴22 与C、D两点，求?OAC和?OBD的面积( 22 考点:切线的性质;坐标与图形变化-平移。 专题:综合题。 分析:(1)根据―左减右加，下减上加‖的规律对点O′，O″的坐标进行平移即可得到点O，1 O的坐标;(2)先求出点A、B的坐标，然后连接OA，OB，根据直角三角形30222 度角所对的直角边等于斜边的一半得出?OAB=?OBA=30?，又AC与BD是圆的切22 第55页 线，然后求出?OAC=?OBD=60?，利用特殊角的三角函数与点A，B的坐标即可求 出AC、BD的长，最后代入三角形的面积公式进行计算即可( 解答:解:(1)?,2+2=0，?点O的坐标为:(2，0)， 1 ?0,1=,1，?点O的坐标为:(,1，4); 2 (2)如图，连接OA，OB，??O的半径为2，圆心O到y轴的距离是1， 2222 ??OAB=?OBA=30?，?AB=2×2cos30?=2， 322 ?点A、B的坐标分别为A(0，4,)，B(0，4+)， 33 ?AC，BD都是?O的切线， 2 ??OAC=180?,90?,30?=60?，?OBD=90?,30?=60?， ?AC=(4,)?cos60?=8,2，BD=(4+)?cos60?=8+2， 3333 1111S=×AC×OA=×(8,2)×2=8,2，S=×BD×OB=×?33?O2AC2?O2BD22222 (8+2)×2=8+2(故答案为:8,2，8+2( 3333 点评:本题主要考查了切线的性质与坐标的平移，利用数据的特点求出30度角是解题的关键，也是解答本题的难点与突破口，本题难度适中，有一定的综合性( 26. 2011四川泸州，26，7分)如图，点P为等边?ABC外接圆劣弧BC上一点( (1)求?BPC的度数; (2)求证:PA=PB+PC; (3)设PA，BC交于点M，若AB=4，PC=2，求CM的长度( 考点:相似三角形的判定与性质;全等三角形的判定与性质;等边三角形的性质;圆周 第56页 角定理( 分析:(1)由圆周角定理得?BPC与?BAC互补; (2)在PA上截取PD=PC，可证明?ACD??BCP，则AD=PB，从而得出PA=PB+PC; (3)容易得到?CDM??ACM，所以CM:AM=DM:MC=DC:AC=2:4=1:2，设DM=x，则CM=2x，BM=4-2x，PM=2-x，AM=4x，?BPM??ACM，所以BP:AC=PM:CM，即3x:4=(2-x):2x，解此方式方程求出x( 解答:解:(1)??ABC为等边三角形，??BAC=60?， 弧BC上一点，??BPC+?BAC=180?，??BPC=120?， ?点P为等边?ABC外接圆劣 (2)在PA上截取PD=PC， APC=60?，??PCD为等边三角形，??ADC=120?， ?AB=AC=BC，??APB=? ??ACD??BCP，?AD=PB，?PA=PB+PC; (3)??CDM??ACM，?CM:AM=DM:MC=DC:AC=2:4=1:2， 设DM=x，则CM=2x，BM=4-2x，PM=2-x，AM=4x，??BPM??ACM，?BP:AC=PM:CM， ,2，213,1,13,1，13即3x:4=(2-x):2x，解得，x=(舍去负号)，则x=，?CM= ( 333 点评:本题考查了相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、圆周角定理以及等边三角形的性质，是一个综合题，难度较大( 27. (2011襄阳，23，7分)如图，在?O中，弦BC垂直于半径OA，垂足为E，D是优弧BC上一点，连接 BD，AD，OC，?ADB,30?( (1)求?AOC的度数; (2))若弦BC,6cm，求图中阴影部分的面积( 考点:垂径定理;勾股定理;圆周角定理;扇形面积的计算。 专题:几何图形问题;探究型。 分析:(1)先根据垂径定理得出BE,CE，弧AB,弧AC，再根据圆周角定理即可得出?AOC 第57页 的度数; (2)先根据勾股定理得出OE的长，再连接OB，求出?BOC的度数，再根据S,S阴影扇形,S计算即可( OBC?OBC 解答:解:(1)?BC?OA， ?BE,CE，弧AB,弧AC， 又??ADB,30?， ??AOC,60?; )?BC,6， (2 1?CE,BC,3， 2 CE在Rt?OCE中，OC,， ,23sin60: 22?OE,， OC,CE,4，3,9,3 连接OB， ?弧AB,弧AC， ??BOC,2?AOC,120?， ?S,S,S 阴影扇形OBC?OBC 12012,×π×(2),×6× 333602 ,4π,3( 3 点评:本题考查的是垂径定理，涉及到圆周角定理及扇形面积的计算，勾股定理，熟知以上知识是解答此题的关键( AB28. (2011湖北孝感，23，10分)如图，等边?ABC内接于?O，P是上任一点(点P不与点A(B重合)，连AP(BP，过点C作CM?BP交PA的延长线于点M( (1)填空:?APC= 60 度，?BPC= 60 度; (2)求证:?ACM??BCP; 第58页 (3)若PA=1，PB=2，求梯形PBCM的面积( 考点:圆周角定理;全等三角形的判定与性质;等边三角形的性质;梯形。 专题:综合题。 分析:(1)利用同弧所对的圆周角相等即可求得题目中的未知角; (2)利用上题中得到的相等的角和等边三角形中相等的线段证得两三角形全等即可; (3)利用上题证得的两三角形全等判定?PCM为等边三角形，进而求得PH的长，利用梯形的面积公式计算梯形的面积即可( 解答:解:(1)?APC=60?，?BPC=60?; (2)?CM?BP， ??BPM+?M=180?， BPC=60?， ?PCM=? ??M=180?,?BPM,(?APC+?BPC)=180?,120?=60?， ??M=?BPC=60; (3)??ACM??BCP， ?CM=CP AM=BP， 又?M=60?， ??PCM为等边三角形， ?CM=CP=PM=1+2=3， 作PH?CM于H， 在Rt?PMH中，?MPH=30?， 第59页 3?PH=， 32 113315?梯形PBCM的面积为:(PB+CM)×PH=×(2+3)×, 32224 点评:本题考查了圆周角定理(等边三角形的判定(全等三角形的性质及梯形的面积计算方法，是一道比较复杂的几何综合题( 29. (2011湖南常德，25，10分)已知 ?ABC，分别以AC和BC为直径作半圆、POO,12 是AB的中点. (1)如图1，若?ABC是等腰三角形，且AC=BC，在上分别取点E、F，使ACBC, 则有结论??EOP??POF?四边形是菱形.请给出结论?，,，AOEBOF,POCO121212 的证明; (2)如图2，若(1)中?ABC是任意三角形，其它条件不变，则(1)中的两个结论还成立吗,若成立，请给出证明; 222(3)如图3，若PC是的切线，求证: OABBCAC,，31 考点:切线的性质;全等三角形的判定;勾股定理;三角形中位线定理;菱形的判定。 分析:(1)可证明?APO与?BPO全等，则?AOP=?BOP，再根据已知可得出EO=FO，121212PO=PO，则?POE??FOP，可先证明四边形POCO是平行四边形，再证明CO=CO，12121212即可得出四边形POCO是菱形; 12 (2)由已知得出?成立，而?只是平行四边形; 222222(3)直角三角形APC中，设AP=c，AC=a，PC=b，则c=a+b2;AB=4c=4(a+b)，过 222点B作AC的垂线，交AC的延长线于D点(则CD=a，BD=2b(BC=a+4b，由此得证( 解答:(1)?BC是?O2直径，则O2是BC的中点 又P是AB的中点.，?P O2是?ABC的中位线 1?P O2 =AC 2 第60页 又AC是?O1直径 1?P O2= O1C=AC 2 1同理P O1= O2C =BC 2 ?AC =BC ?P O2= O1C=P O1= O2C ?四边形是菱形 POCO12 2)结论??POE??POF成立，结论?不成立 (12 11证明:在(1)中已证PO2=AC，又O1E=AC 22 ?PO2=O1E 同理可得PO1=O2F ?PO2是?ABC的中位线 ?PO2?AC ??PO2B=?ACB 同理?P O1A=?ACB ??PO2B=?P O1A ??AO1E =?BO2F ??P O1A+?AO1E =?PO2B+?BO2F 即?P O1E =?F O2 P ??EOP??POF; 12 (3)延长AC交?O2于点D，连接BD. ?BC是?O2的直径，则?D=90?， 又PC是O的切线，则?ACP=90?， 1 ??ACP=?D 又?PAC=?BAD ??APC??BAD 又P是AB的中点 ACAP1? ,,ADAB2 ?AC=CD 第61页 2222?在Rt?BCD中， BCCDBDACBD,，,，? 222在Rt?ABD中， ABADBD,， 222222? ABACBDACBDAC,，,，，43，， 222? ABBCAC,，3 点评:本题综合考查了圆与全等的有关知识;利用中位线定理及构造三角形全等，利用全等的性质解决相关问题是解决本题的关键( 30.(2011湖南长沙，22，8分)如图，在?O中，直径AB与弦CD相交于点P，?CAB, 40?，?APD,65?( (1)求?B的大小: (2)已知圆心O到BD的距离为3，求AD的长( BC O P AD 考点:圆周角，三角形的中位线的性质 三角形的外角性质 垂径定理 专题:圆 分析:(1)由于?CAB,40?，?APD,65?可得?C,?APD,?CAB,25?，而?C与?B是同一弧所对的圆周角，故?B,25?( (2)过点O作OE?BD于点E，由AB是?O的直径，得?OEB,?ADB,90?，而OA,OB，从而ED,EB，这样OE就是?ABD的中位线，故AD,2OE,6( 解答:(1)??CAB,40?，?APD,65? ??C,?APD,?CAB,25? ??B,?C,25?( (2)如下图，过O作OE?BD于点E，则EB,ED，且OE,3( ?OA,OB，EB,ED ?AD,2OE,6( 第62页 BC OEP AD 点评:本题的解法不唯一，如分析中用的是直径所对的圆周角是直角，加上作的垂线， ADAB得到OE?AD，此时可以得到?BOE??BAD，从而，故AD,2OE,6;而,,2OEOB ?ABD的中位线来解决问题(从这里可以看到，一解答中用的垂径定理，直接得到OE就是 个题目所考查的知识点还是很多，关键看你从哪个角度去切入，还是你的知识储备与运用如何( 31.(2011清远，22，8分)如图，AB是?O的直径，AC与?O相切，切点为A、D为?O上一点，AD与OC相交于点E，且?DAB=?C (1)求证:OC?BD; (2)若AO=5，AD=8，求线段CE的长( 考点:切线的性质;勾股定理;圆周角定理;相似三角形的判定与性质. 分析:(1)证得?CAO??ADB后得到?COA,?B，即可证得两线段平行; (2)利用相似三角形得到比例式，根据DB的长即可求得OE的长( 解答:(1)证明:?AC与?O相切，切点为A，??CAB,90?.?AB是?O的直径，??D,90?， ??CAB,?D，??DAB,?C，??COA=?B，?OC?BD; 1(2)?AO,5，AD,8，?BD,6，?OC?BD，AO,BO，?OE,BD,3，?CE,CO2 ,OE,10,3,7( 点评:本题考查了圆的切线性质，及解直角三角形的知识(运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题( 32. (2011广东深圳，20，8分)如图1，已知在?O中，点C为劣弧AB上的中点，连接AC并延长至D， 第63页 使CD=CA，连接DB并延长DB交?O于点E，连接AE( (1)求证:AE是?O的直径; (2)如图2，连接EC，?O半径为5，AC的长为4，求阴影部分的面积之和((结果保留π与根号) 扇形面积的计算;勾股定理;圆周角定理( 考点: 专题:证明题;几何综合题( 分析:(1)连接CE，由点C为劣弧AB上的中点，可得出CE平分?AED，再根据CD=CA，得?ADE为等腰三角形，则CE?AD，从而证出AE是?O的直径; (2)由(1)得?ACE为直角三角形，根据勾股定理得出CE的长，阴影部分的面积等于半圆面积减去三角形ACE的面积( 解答:解:(1)连接CE， ?点C为劣弧AB上的中点，?CE平分?AED， ?CD=CA，??ADE为等腰三角形，?CE?AD， ?AE是?O的直径; (2)?AE是?O的直径，??ACE=90?， 2222?AE=10，AC=4，?， CEAEAC,,,,,104221 125,1?S,S,S, 阴影，,,,25421421,?O?ACE222 点评:本题考查了扇形面积的计算、勾股定理以及圆周角定理，是基础知识要熟练掌握( 33. (2011广东湛江,27,12分)如图，在Rt?ABC中，?C=90?，点D是AC的中点，且 第64页 ?A+?CDB=90?，过点A，D作?O，使圆心O在AB上，?O与AB交于点E( (1)求证:直线BD与?O相切; (2)若AD:AE=4:5，BC=6，求?O的直径( 切线的判定与性质;勾股定理;三角形中位线定理;圆周角定理( 考点: 专题:计算题;证明题( (1)连接OD，由?A=?ADO，进而证得?ADO+?CDB=90?，而证得BD?OD((2)分析: 连接DE，证得?ADE=90?，?ADE=?C，而得DE?BC，所以?ADE??ACB，设AC=4x， AB=5x，那么BC=3x，而求得( 解答:解:(1)证明:连接OD， ?OA=OD， ??A=?ADO， 又??A+?CDB=90?， ??ADO+?CDB=90?， ??ODB=180?-(?ADO+?CDB)=90?， ?BD?OD， ?BD是?O切线; (2)连接DE， ?AE是直径， ??ADE=90?， 又??C=90?， ??ADE=?C， ?DE?BC， 第65页 又?D是AC中点， ?AD=CD， ?AD:CD=AE:BE， ?AE=BE， ?DE?BC， ??ADE??ACB， ?AD:AE=AC:AB， ?AC:AB=4:5， 设AC=4x，AB=5x，那么BC=3x， ?BC:AB=3:5， ?BC=6， ?AB=10， 1?AE= AB=10( 2 点评:本题考查了切线的判定和性质、平行线的判定和性质、平行线分线段成比例定理以及推论、勾股定理、相似三角形的判定和性质(解题的关键是连接OD、DE，证明DE?BC( 34.(2011广东珠海，21，9分)已知:如图，锐角三角形ABC内接于?O，?ABC,45?; 点D是?O上一点，过点D的切线DE交AC的延长线于点E，且DE?BC;连结AD、 BD、BE，AD的垂线AF与DC的延长线交于点F( (1)求证:?ABD??ADE; (2)记?DAF、?BAE的面积分别为S、S， ?DAF?BAE 求证:S,S(?DAF?BAE A F O CB E D 考点:圆的切线 相似三角形 三角形面积 专题:圆的综合题 分析:(1)判断?ABD??ADE，根据题意，需找出两组对应角相等，由DE?BC，可知?ACB,?AED，根据同弧所对的圆周角相等可得?ADB,?ACB，因此有?ADB, 第66页 ?AED;连接OD，因为DE是?O的切线，所以OD?DE，于是OD平分弧BC，所以?BAD ,?EAD，两三角形相似可证( (2)比较面积的大小，实际上是比较线段的大小(高或底)，过B作BG?AE于G， ADAB12由(1)得,，即AD,AB?AE;S,AE?BG，由?ABC,45?，AD?AF，?ABEADAE2 12得?ADF为等腰三角形(因此S,AD,?ADF2 1AAB?AE ，在Rt?ABG中，AB,BG，因此S,S( (?DAF?BAE2F 解答:证明:(1)连结OD( GO?DE是?O的切线 C?OD?DE( B E?弧BD,弧CD D ??BAD,?DAE ?DE?BC ??ACB,?AED ??ADB,?ACB ??AED,?ADB ??ABD??ADE( ABAD2(2)过B作BG?AE于G，由(1)得,， 即AD,AB?AE ADAE ??ABC,45?，AD?AF ?得?ADF为等腰直角三角形 112?S,AD,AB?AE ?ADF22 1又?S,AE?BG，而在Rt?ABG中，AB,BG ?ABE2 ?S,S( (?DAF?BAE A F GO CB E D 第67页 点评:在圆中遇到有切线的问题，一般先连接切点和圆心;判断相似三角形应认真阅读题目，找出适合的判定方法(在比较三角形面积大小的时候，应考虑的是比较三角形中对应的底或高的大小，解决问题的关键是找到能够相互转化的线段( 35.(2011广西百色，26，分)已知AB为?O直径，以OA为直径作?M(过B作?M得切线BC，切点为C，交?O于E( (1)在图中过点B作?M作另一条切线BD，切点为点D(用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法，不用证明); (2)证明:?EAC=?OCB; (3)若AB=4，在图2中过O作OP?AB交?O于P，交?M的切线BD于N，求BN的值( 考点:切线的性质;圆周角定理;相似三角形的判定与性质( 分析:(1)以MB为直径作圆，与?M相交于点D，直线BD即为另一条切线( (2)根据BC切圆与点C，得到?OCB=?OAC(?ECA=?COA;再根据OA(AB分别为?M(?O的直径得到?AEC=?ACO=90?，从而得到?EAC=?OAC=OCB; (3)连接DM，则可以得到?BDM=90?，然后利用?BON??BDM列出比例式求得BN的长即可( 解答:(1)解:以MB为直径作圆，与?M相交于点D，直线BD即为另一条切线( 第68页 (2)证明:?BC切圆与点C， ??OCB=?OAC，?ECA=?COA; ?OA(AB分别为?M(?O的直径 ??AEC=?ACO=90?， ??EAC+?ECA=90?，?OAC+?COA=90?， ??EAC=?OAC=OCB (3)连接DM，则?BDM=90?在Rt?BDM中，BD=( 10??BON??BDM BNBO? ,BMBD BN2,? 3210 310?BN=( 10 点评:本题考查了切线的性质(圆周角定理及相似三角形的判定及性质，比较复杂，是一道 难题( 36.(2011湖北黄石，24,9分)已知?O与?O相交于A、B两点，点O在?O上，C为1212 ?O上一点(不与A，B，O重合)，直线CB与?O交于另一点D( 112 (1)如图(1)，若AC是?O的直径，求证:AC=CD; 2 (2)如图(2)，若C是?O外一点，求证:OC丄AD; 11(3)如图(3)，若C是?O内的一点，判断(2)中的结论足否成1 立( 考点:相交两圆的性质;圆周角定理。 专题:证明题。 第69页 分析:(1)连接AB，OO，得到OO?AB，根据AC是圆O的直径，推出?ABC=90?，12122 得出OO?BC，根据三角形的中位线定理推出?ADC=?DAC即可得出AC=DC; 12 (2)根据线段的垂直平分线定理得到C在AD的垂直平分线上、O在AD的垂直平分线上，1 即可得到答案; (3)根据线段的垂直平分线定理得到C在AD的垂直平分线上、O在AD的垂直平分线上，1 进一步推出结论( 解答:(1)证明:连接AB，OO， 12??O与?O相交于A、B两点， 12 ?OO?AB，， 12 ?AC是圆O的直径， 2 ??ABC=90?， ?OO?BC， 12 ??D=?AOO， 12 ?AC是直径， ??AOC=90?， 1 ?O是AC的中点， 2 ?OO=OA， 122 ??AOO=?0AC， 121 ??ADC=?DAC， ?AC=DC; (2)证明:由(1)得:AC=DC， ?C在AD的垂直平分线上， ?OA=OD， 11 ?O在AD的垂直平分线上， 1 ?OC?AD; 1 (3)证明:?AC=CD， 第70页 ?C在AD的垂直平分线上， ?OA=OD， 11 ?O在AD的垂直平分线上， 1 ?OC?AD( 1 点评:此题主要考查了圆周角定理以及相交两圆的性质，根据相交两圆的连心线垂直平分两圆公共弦，以及垂直平分线的性质是解决问题的关键( 37. (2011•随州)如图，在圆内接四边形ABCD中，CD为?BCA的外角的平分线，F为上一点，BC=AF，延长DF与BA的延长线交于E( )求证:?ABD为等腰三角形( (1 (2)求证:AC•AF=DF•FE( 考点:圆周角定理;全等三角形的判定与性质;圆内接四边形的性质;相似三角形的判定与性质。 专题:证明题。 分析:(1)CD为?BCA的外角的平分线得到?MCD=?ACD，求出?MCD=?DAB推出?DBA=?DAB即可; (2)由BC=AF推出CD=DF和?CDB=?ADF，证?CDA??FDB，得到AC=BF，根据C D F B四点共圆和A F D B四点共圆，推出?FAE=?BDF和?EFA=?DFB，证?DBF??AEF，得到=即可推出答案( 解答:(1)证法一:连CF、BF， ?ACD=?MCD=?CDB+?CBD=?CFB+?CFD=?DFB， 而?ACD=?DFB=?DAB又?ACD=?DBA， ??DAB=?DBA， ??ABD为等腰三角形( 第71页 证法二:由题意有?MCD=?ACD=?DBA， 又?MCD+?BCD=?DAB+?BCD=180?， ??MCD=?DAB， ??DAB=?DBA即?( ABD为等腰三角形( (2)由(1)知AD=BD，BC=AF，则弧AFD=弧BCD，弧AF=弧BC， ?弧CD=弧DF…? ?弧CD=弧DF， 又BC=AF，??BDC=?ADF，?BDC+?BDA=?ADF+?BDA，即?CDA=?BDF， FAE+?BAF=?BDF+?BAF=180?，??FAE=?BDF=?CDA， 而? 同理?DCA=?AFE ?在?CDA与?FDE中，?CDA=?FAE，?DCA=?AFE， ??CDA??FAE， ?，即CD•EF=AC•AF，又由?有AC•AF=DF•EF命题即证 点评:本题主要考查对圆内接四边形，全等三角形的性质和判定，相似三角形的性质和判定，圆周角定理等知识点的理解和掌握，能综合运用这些性质进行推理是证此题的关键( 38. (2011梧州，25，10分)如图，AB是?O的直径，CD是?O的切线，切点为C(延长AB交CD于点E(连接AC，作?DAC=?ACD，作AF?ED于点F，交?O于点G( (1)求证:AD是?O的切线; (2)如果?O的半径是6cm，EC=8cm，求GF的长( 考点:切线的判定与性质;勾股定理;圆周角定理;相似三角形的判定与性质。 专题:证明题。 分析:(1)连接OC(欲证AD是?O的切线，只需证明OA?AD即可; (2)连接BG(在Rt?CEO中利用勾股定理求得OE=10，从而求得AE=13;然后由相似三角形Rt?AEF?Rt?OEC的对应边成比例求得AF=9.6，再利用圆周角定理证得 第72页 Rt?ABG?Rt?AEF，根据相似三角形的对应边成比例求得AG=7.2，所以GF=AF,AG=9.6 ,7.2=2.4( 1)证明:连接OC( 解答:( ?CD是?O的切线， ??OCD=90?( ??OCA+?ACD=90?( ?OA=OC， OAC( ??OCA=? ??DAC=?ACD， CAD=90?( ??0AC+? ??OAD=90?( ?AD是?O的切线( (2)解:连接BG; ?OC=6cm，EC=8cm， 22?在Rt?CEO中，OE=OC+EC=10( ?AE=OE+OA=13( ?AF?ED， ??AFE=?OCE=90?，?E=?E( ?Rt?AEF?Rt?OEC( ?=( 即:=( ?AF=9.6( ?AB是?O的直径， ??AGB=90?( ??AGB=?AFE( ??BAG=?EAF， ?Rt?ABG?Rt?AEF( 第73页 ?=( 即:=( ?AG=7.2( ?GF=AF,AG=9.6,7.2=2.4(cm)( 点评:本题综合考查了圆周角定理、切线的判定与性质、相似三角形的判定与性质以及勾股定理的应用(要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点(即为半径)，再证垂直即可( 39. (2011•安顺，26，9分)已知:如图，在?ABC中，BC=AC，以BC为直径的?O与边AB相交于点D，DE?AC，垂足为点E( (1)求证:点D是AB的中点; (2)判断DE与?O的位置关系，并证明你的结论; 1(3)若?O的直径为18，cosB=，求DE的长( 3 考点:切线的判定与性质;勾股定理;圆周角定理;解直角三角形。 分析:(1)连接CD，由BC为直径可知CD?AB，又BC=AC，由等腰三角形的底边―三线合一‖证明结论; (2)连接OD，则OD为?ABC的中位线，OD?AC，已知DE?AC，可证DE?OC，证 第74页 明结论; 1(3)结论CD，在Rt?BCD中，已知BC=18，cosB=，求得BD=6，则AD=BD=6，在3 1Rt?ADE中，已知AD=6，cosA=cosB=，可求AE，利用勾股定理求DE( 3 解答:解:(1)证明:连接CD，则CD?AB， 又?AC=BC， ?AD=BD，即点D是AB的中点( (2)DE是?O的切线( 理由是:连接OD，则DO是?ABC的中位线， ?DO?AC， 又?DE?AC， ?DE?DO即DE是?O的切线; (3)连接CD， ?AC=BC，??B=?A， 1?cos?B=cos?A=， 3 BD1?cos?B==，BC=18， BC3 ?BD=6， ?AD=6， AE1?cos?A==， AD3 ?AE=2， 22在Rt?AED中，DE=( AD,AE,42 第75页 点评:本题考查了切线的判定与性质，勾股定理，圆周角定理，解直角三角形的运用，关键是作辅助线，将问题转化为直角三角形，等腰三角形解题( 40. (2011黔南，24，12分)如图，点A，B，C，D在?O上，AB=AC，AD与BC相交 11于点E，AE=ED，延长DB到点F，使FB=BD，连接AF( 22 (1)证明:?BDE??FDA; (2)试判断直线AF与?O的位置关系，并给出证明( 考点:切线的判定;三角形的角平分线、中线和高;相似三角形的判定与性质。 专题:证明题;探究型。 分析:(1)因为?BDE公共，夹此角的两边BD:DF=ED:AD=2:3，由相似三角形的判定，可知?BDE??FDA( (2)连接OA、OB、OC，证明?OAB?OAC，得出AO?BC(再由?BDE?FDA，得出?EBD=?AFD，则BE?FA，从而AO?FA，得出直线AF与?O相切( 解答:证明:(1)在?BDE和?FDA中， 11?FB=BD，AE=ED， 22 BDED2,,?，(3分) FDAD3 又??BDE=?FDA， ??BDE??FDA((5分) )直线AF与?O相切((6分) (2 证明:连接OA，OB，OC， ?AB=AC，BO=CO，OA=OA，(7分) ??OAB?OAC， ??OAB=?OAC， ?AO是等腰三角形ABC顶角?BAC的平分线， 第76页 ?AO?BC， ??BDE?FDA，得?EBD=?AFD， ?BE?FA， ?AO?BE知，AO?FA， ?直线AF与?O相切( 点评:本题考查相似三角形的判定和切线的判定( 41. (2011•铜仁地区23,12分)如图，AB是?O的直径，BC?AB于点B，连接OC交?O于点E，弦AD?OC( (1)求证:; (2)求证:CD是?O的切线( 考点:切线的判定;圆心角、弧、弦的关系;圆周角定理。 分析:(1)连接OD，由平行可得?DAO=?COB，?ADO=?DOC;再由OA=OD，可得出，?DAO=?ADO，则?COB=?COD，从而证出=; (2)由(1)得，?COD??COB，则?CDO=?B(又BC?AB，则?CDO=?B=90?，从而得出CD是?O的切线( 解答:(1)证明:连接OD((1分) ?AD?OC， 第77页 ??DAO=?COB?ADO=?DOC，(2分) 又?OA=OD， ??DAO=?ADO，(4分) ??COB=?COD，(5分) ?=;(6分) (2)解:由(1)知?DOE=?BOE，(7分) 在?COD和?COB中， CO=CO， ?DOC=?BOC， OD=OB， ??COD??COB，(9分) ??CDO=?B((10分) 又?BC?AB， ??CDO=?B=90?((11分) 即CD是?O的切线((12分) 点评:本题考查了切线的判定和圆周角定理以及圆心角、弧、弦之间的关系，注:在同圆或等圆中，圆心角、圆周角、弧、弦中有一组量相等，其余各组量也相等( 42.(2011河北，25，10分)如图1至图4中，两平行线AB(CD间的距离均为6，点M为AB上一定点( 思考 如图1，圆心为0的半圆形纸片在AB，CD之间(包括AB，CD)，其直径MN在AB上，MN,8，点P为半圆上一点，设?MOP,α( 第78页 当α, 度时，点P到CD的距离最小，最小值为 ( 探究一 在图1的基础上，以点M为旋转中心，在AB，CD 之间顺时针旋转该半圆形纸片，直到不能再转动为止，如图2，得到最大旋转角?BMO, 度，此时点N到CD的距离是 ( 探究二 将如图1中的扇形纸片NOP按下面对α的要求剪掉，使扇形纸片MOP绕点M在AB，CD之间顺时针旋转( (1)如图3，当α,60?时，求在旋转过程中，点P到CD的最小距离，并请指出旋转角?BMO的最大值; )如图4，在扇形纸片MOP旋转过程中，要保证点P能落在直线CD上，请确定α的取(2 值范围( 333(参考数椐:sin49?,，cos41?,，tan37?,() 444 考点:直线与圆的位置关系;点到直线的距离;平行线之间的距离;旋转的性质;解直角三 第79页 角形。 分析:思考:根据两平行线之间垂线段最短，以及切线的性质定理，直接得出答案; 探究一:根据由MN,8，MO,4，OY,4，得出UO,2，即可得出得到最大旋转角?BMO,30度，此时点N到CD的距离是 2; 探究二:(1)由已知得出M与P的距离为4，PM?AB时，点MP到AB的最大距离是4，从而点P到CD的最小距离为6,4,2，即可得出?BMO的最大值; (2)分别求出α最大值为?OMH，?OHM,30?，90?以及最小值α,2?MOH，即可得出α的取值范围( 解答:解:思考:根据两平行线之间垂线段最短，直接得出答案，当α,90度时，点P到CD的距离最小， 8， ?MN, ?OP,4， ?点P到CD的距离最小值为:6,4,2( 故答案为:90，2; 探究一:?以点M为旋转中心，在AB，CD 之间顺时针旋转该半圆形纸片，直到不能再转动为止，如图2， ?MN,8，MO,4，OY,4， ?UO,2， ?得到最大旋转角?BMO,30度，此时点N到CD的距离是 2; 探究二 (1)由已知得出M与P的距离为4， ?PM?AB时，点MP到AB的最大距离是4，从而点P到CD的最小距离为6,4,2， 当扇形MOP在AB，CD之间旋转到不能再转时，弧MP与AB相切， 此时旋转角最大，?BMO的最大值为90?; 第80页 (2)如图3，由探究一可知，点P是弧MP与CD的切线时，α大到最大，即OP?CD，此时延长PO交AB于点H，α最大值为?OMH，?OHM,30?，90?,120?， 如图4，当点P在CD上且与AB距离最小时，MP?CD，α达到最小， 连接MP，作HO?MP于点H，由垂径定理，得出MH,3，在Rt?MOH中，MO,4， MH3?sin?MOH,， ,4DM ??MOH,49?， ?α,2?MOH， ?α最小为98?， ?α的取值范围为:98??α?120?( 点评:此题主要考查了切线的性质定理以及平行线之间的关系和解直角三角形等知识，根据切线的性质求解是初中阶段的重点题型，此题考查知识较多综合性较强，注意认真分析( 43.(2011•湖南张家界，24，8)如图，在?O中，直径AB的两侧有定点C和动点P，点P在弧AB上运动(不与A、B重合)，过点C作CP的垂线，与PB的延长线交于点Q( (1)试猜想:?PCQ与?ACB具有何种关系,(不要求证明); (2)当点P运动到什么位置时，?ABC??PCB，并给出证明( 第81页 考点:相似三角形的判定与性质;全等三角形的判定。 分析:(1)由CP?CQ，AB是?O的直径，易得?PCQ=?ACB=90?，又由同弧所对的圆周角相等，即可得?A=?P，根据有两角对应相等的三角形相似，即可证得?PCQ??ACB; (2)由?PCQ??ACB，只要AB=PC即可，又由AB是直径，则可得当PC过圆心时，?ABC??PCB( 解答:解:(1)?PCQ??ACB; 理由:?CP?CQ，AB是?O的直径， ??PCQ=?ACB=90?， ??A=?P， ??PCQ??ACB; (2)当PC过圆心时，?ABC??PCB((4分) 证明:?PC和AB都是?O的直径， ??ACB=?PBC=90?，(5分) 且AB=PC，(6分) 又?A=?P((7分) ??ABC??PCB((8分) 点评:此题考查了圆的性质，相似三角形的判定，全等三角形的判定的知识(此题难度不大，解题的关键是注意数形结合思想的应用( 44.(2011湖南湘潭市，26，10分)已知，AB是?O的直径，AB=8，点C在?O的半径OA上运动，PC?AB，垂足为C，PC=5，PT为?O的切线，切点为T( (1)如图(1)，当C点运动到O点时，求PT的长; (2)如图(2)，当C点运动到A点时，连接PO、BT，求证:PO?BT; 第82页 2(3)如图(3)，设PT=y，AC=x，求y与x的函数关系式及y的最小值( 切线的性质;二次函数的最值;勾股定理( 考点: 专题:计算题( (1)连接OT，根据题意，由勾股定理可得出PT的长; 分析: (2)连接OT，则OP平分劣弧AT，则?AOP=?B，从而证出结论; (3)设PC交?O于点D，延长线交?O于点E，由相交线定理，可得出CD的长，再由切 割线定理可得出y与x之间的关系式，进而求得y的最小值( 解答:解:(1)连接OT ?PC=5，OT=4， 22?由勾股定理得，PT= = 3; PCCT, (2)证明:连接OT，?PT，PC为?O的切线， ?OP平分劣弧AT， ??POA=?POT， ??AOT=2?B， ??AOP=?B， ?PO?BT; (3)设PC交?O于点D，延长线交?O于点E， 2由相交线定理，得CD=AC•BC， 第83页 ?AC=x，?BC=8-x， ?CD= ， xx(8), 2?由切割线定理，得PT=PD•PE， 2?PT=y，PC-5， ?y=[5- ][5+ ]， xx(8),xx(8), 2?y=25-x(8-x)=x-8x+25， 10064,?y==9( 最小4 点评:本题是一道综合题，考查了切线的性质、二次函数的最值以及勾股定理的内容，是中考压轴题，难度较大( 45.(2011•江西，22，9)如图，将?ABC的顶点A放在?O上，现从AC与?O相切于点A(如图1)的位置开始，将?ABC绕着点A顺时针旋转，设旋转角为α(0?,α,120?)，旋转后AC，AB分别与?O交于点E，F，连接EF(如图2)(已知?BAC=60?，?C=90?，AC=8，?O的直径为8( EF(1)在旋转过程中，有以下几个量:?弦EF的长;?的长;??AFE的度数;?点O到EF的距离(其中不变的量是 (填序号); (2)当BC与?O相切时，请直接写出α的值，并求此时?AEF的面积( 考点:旋转的性质;勾股定理;圆周角定理;切线的性质;弧长的计算。 分析:(1)在整个旋转过程中，?A为弦切角或圆周角，且大小不变，所以其所对的弦、弧不变; (2)当BC与?O相切时，即AC为直径，点E与C重合，所以α=90?;?AEF为直角三角形，运用三角函数求边长然后计算面积( 解答:解:(1)?，?( (多填或填错得0分，少填酌情给分)(3分) 第84页 (2)α=90?( (5分) 依题意可知，?ACB旋转90?后AC为?O直径， 且点C与点E重合， 因此?AFE=90?( (6分) ?AC=8，?BAC=60?， 1?AF=,EF=, (8分) 43AC,42 1?S=. (9分) ，，,44383?AEF2 点评:此题综合考查了旋转的性质及切线和圆的有关性质，难度较大( 46. 21、(2011年江西省，21，8分)如图，已知?O的半径为2，弦BC的长为2 3，点A为弦BC所对优弧上任意一点(B，C两点除外)( (1)求?BAC的度数; (2)求?ABC面积的最大值( 333(参考数据:sin60?=，cos30?= ，tan30?= () 223 考点:垂径定理;圆周角定理;解直角三角形( 专题:几何综合题( 分析:(1)连接OB.OC，作OE?BC于点E，由垂径定理可得出BE=EC= ，在Rt?OBE中利用锐角三角函数的定义及特殊角的三角函数值可求出?BOE的度数，再由圆周角定理即可求解; (2))因为?ABC的边BC的长不变，所以当BC边上的高最大时，?ABC的面积最大， 第85页 此时点A应落在优弧BC的中点处，过OE?BC与点E，延长EO交?O于点A，则A为优弧BC的中点，连接AB，AC，则AB=AC，由圆周角定理可求出?BAE的度数，在Rt?ABE中，利用锐角三角函数的定义及特殊角的三角函数值可求出AE的长，由三角形的面积公式即可解答( 解答:解:(1)解法一 连接OB，OC，过O作OE?BC于点E( ?OE?BC，BC= ， 23 ?((1分) 3BEEC,, BE3在Rt?OBE中，OB=2，? ， sin，,,BCEOB2 ??BOE=60?，??BOC=120?， 1? 度((4分) ，,，,BACBOC602 解法二 连接BO并延长，交?O于点D，连接CD( ?BD是直径，?BD=4，?DCB=90?( BC233在Rt?DBC中，sin?BDC ， ,,BD42 ??BDC=60?，??BAC=?BDC=60?((4分) (2)解法一 因为?ABC的边BC的长不变，所以当BC边上的高最大时，?ABC的面积最大，此时点 第86页 A落在优弧BC的中点处((5分) 过O作OE?BC于E，延长EO交?O于点A，则A为优弧BC的中点(连接AB，AC， 1则AB=AC，( 度 ，,，,BAEBAC302 在Rt?ABE中，? ， BE3， AE,,,30tan303 3 1?S= ( ，，,23333?ABC2 答:?ABC面积的最大值是 ((7分) 33 解法二 因为?ABC的边BC的长不变，所以当BC边上的高最大时，?ABC的面积最大，此时点A落在优弧BC的中点处((5分) 过O作OE?BC于E，延长EO交?O于点A，则A为优弧BC的中点(连接AB，AC，则AB=AC( ??BAC=60?，??ABC是等边三角形( 在Rt?ABE中，? ， ? ， ?S= ( ?ABC 答:?ABC面积的最大值是 ((7分) 点评:本题考查的是垂径定理、圆圆周角定理及解直角三角形，能根据题意作出辅助线是解答此题的关键( 47.(2011辽宁本溪，22，10分)如图，?O的直径AB与弦CD(不是直径)相交于点E，且CE=DE，过点B作CD得平行线AD延长线于点F( (1)求证:BF是?O的切线; 第87页 3(2)连接BC，若?O的半径为4，，求CD的长, sin，,BCD4 考点:切线的判定与性质;勾股定理;圆周角定理;解直角三角形。 专题:计算题。 分析:(1)由AB是?O的直径，CE=DE，得?AED=90?，再由CD?BF，得?ABF=?AED=90?，从而得出BF是?O的切线; (2)连接BD，因为AB是?O的切线，则?ADB=90?，再由SiN?BAD=，求得AD，根据三角形的面积得DE的长，从而得出CD( 解答:解:(1)证明:?AB是?O的直径，CE=DE， ?AB?CD，??AED=90?， ?CD?BF，??ABF=?AED=90?， ?BF是?O的切线; (2)连接BD， ?AB是?O的切线，??ADB=90?， 3? BDABBADBCD,，,，,，,sinsin864 22?AD=， ABBD,,27 11? SABDEADBD,,22 ADBD37? DE,,AB2 ? CDDE,,237 点评:本题考查了切线的判定和性质，勾股定理、圆周角定理以及解直角三角形，是一道综合题，难度不大( 第88页 48.如图，AB是?O的直径，CD是?O的切线，切点为C，BE?CD，垂足为E，连接AC、 BC( (1)?ABC的形状是 直角三角形 ，理由是 直径所对的圆周角是直角 ; (2)求证:BC平分?ABE; (3)若?A=60?，OA=2，求CE的长( 考点:切线的性质;圆周角定理;解直角三角形( 专题:计算题( 分析:(1)?ABC是直角三角形，直径所对的圆周角是直角( (2)由?ACB是直角，BE?CD，且OC=OB，可证BC平分?ABE; (3)?A=60?，可得?ABC=?CBE=30?，OA=2，所以，BC=2 ，所以在直角三角 形CBE中，CE= BC= ( 解答:解:(1)根据圆周角定理，可得，?ABC是直角三角形，因为直径所对的圆周角是直角( (2)??ACB是直角，BE?CD， ??OCB=?EBC， 又?且OC=OB， BC平分?ABE; ??OCB=?EBC; (3)?A=60?，OA=2， 3?BC=2， 第89页 ?CE=( 3 故答案为:(1)直角三角形;直径所对的圆周角是直角((3)CE等于 ( 49.(2011•丹东，22，10分)己知:如图，在Rt?ACB中，?ACB=90?，以AC为直径作?0交AB于点D( 3(1)若tan?ABC=，AC=6，求线段BD的长( 4 (2)若点E为线段BC的中点，连接DE(求证:DE是00的切线( 考点:切线的判定;等腰三角形的性质;直角三角形斜边上的中线;勾股定理;圆周角定理;锐角三角函数的定义;解直角三角形。 专题:计算题;证明题。 分析:(1)根据锐角三角函数和勾股定理求出BC、AB，根据切割线定理求出BD即可; (2)连接OD、CD，根据圆周角定理求出?CDA=?BDC=90?，根据直角三角形的性质和等腰三角形的性质求出?ECD=?EDC，?OCD=?ODC即可( 3解答:(1)解:?tan?ABC=，AC=6， 4 ?BC=8， 由勾股定理得:AB=10， ??ACB=90?，AC为直径， ?BC是圆O的切线， ?BDA是圆的割线， 2?BC=BD×AB， ?BD=6.4， 答:线段BD的长是6.4( 第90页 (2)证明:连接OD、CD， ?AC为圆O的直径， ??CDA=90?， ??BDC=180?,90?=90?， ?E为BC的中点， 1?DE=BC=CE， 2 ??ECD=?EDC， ?OD=OC， ??OCD=?ODC， ??ECD+?DCO=90?， ??EDC+?ODC=90?， ??ODE=90?， ?DE是圆0的切线( 点评:本题主要考查对勾股定理，等腰三角形的性质，直角三角形斜边上的中线的性质，切线的判定，圆周角定理，锐角三角函数等知识点的理解和掌握，能综合运用这些性质进行推理是解此题的关键( 50.(2011辽宁阜新,21,12分)如图，?ABC内接于?O，AB为?O直径，AC=CD，连接AD交BC于点M，延长MC到N，使CN=CM( (1)判断直线AN是否为?O的切线，并说明理由; 3(2)若AC=10，tan?CAD=，求AD的长( 4 第91页 :切线的判定与性质;圆周角定理;解直角三角形。 考点 专题:证明题。 分析:(1)由MC=CN，且得出AC垂直于MN，则?AMC是等腰三角形，所以 DAC，再由AC=DC，则?D=?DAC，根据同弧所对的圆周角相等得出?B=?D，?CAN=? 从而得出?B=?NAC，即可得出?BAN=90?; 2)等腰三角形ACD中，两腰AC=CD=10，且已知底角正切值，过点C作CE?AD，( 底边长AD可以求出来( 解答:解:(1)直线AN是?O的切线，理由是: ?AB为?O直径， ??ACB=90?， ?AC?BC， ?CN=CM， ??CAN=?DAC， ?AC=CD， ??D=?DAC， ??B=?D， ??B=?NAC， ??B+?BAC=90?， ??NAC+?BAC=90?， ?OA?AN， ?直线AN是?O的切线; (2)过点C作CE?AD， 第92页 3?tan?CAD=， 4 CE3?， ,AE4 ?AC=10， ?设CE=3x，则AE=4x， 22?(3x)+(4x)=100， 解得x=2， ?AE=8， ?AC=CD， ?AD=2AE=2×8=16( 点评:本题考查了切线的判定和性质，圆周角定理以及解直角三角形，是基础知识比较简单( 51.(2011巴彦淖尔，22，9分)如图，等圆?O和?O相交于A，B两点，?O经过?O1221的圆心O，两圆的连心线交?O于点M，交AB于点N，连接BM，已知AB=2。 311 (1)求证:BM是?O的切线; 2 ?(2)求AM 的长( 第93页 考点:切线的判定与性质;相交两圆的性质;弧长的计算。 专题:计算题。 分析:(1)连接OB，由MO是?O的直径，得出?MBO=90?从而得出结论:BM是?O22122的切线; (2)根据OB=OB=OO，则?OOB=60?，再由已知得出BN与OB，从而计算出弧AM1212122 的长度( 解答:解:(1)连接OB， 2 ?MO是?O的直径， 21 ??MBO=90?， 2 ?BM是?O的切线; 2 (2)?OB=OB=OO， 1212 ??OOB=60?， 12 ?AB=2?BN=， 33 ?OB=2， 2 ???AM= BM= =( 点评:本题考查了切线的判定和性质、弧长的计算以及相交两圆的性质，是基础知识要熟练掌握( 52.(2011•包头，25，12分)如图，已知?ABC=90?，AB=BC(直线l与以BC为直径的圆O相切于点C(点F是圆O上异于B、C的动点，直线BF与l相交于点E，过点F作AF的垂线交直线BC与点D( (1)如果BE=15，CE=9，求EF的长; (2)证明:??CDF??BAF;?CD=CE; (3)探求动点F在什么位置时，相应的点D位于线段BC的延长线上，且使BC=CD，3请说明你的理由( 第94页 A l E F B C ? D O 考点:相似三角形的判定与性质;勾股定理;圆周角定理;切线的性质;解直角三角形。 分析:(1)由直线l与以BC为直径的圆O相切于点C，即可得?BCE=90?，?BFC=?CFE=90?，则可证得?CEF??BEC，然后根据相似三角形的对应边成比例，即可求得EF的长; (2)?由?FCD+?FBC=90?，?ABF+?FBC=90?，根据同角的余角相等，即可得?ABF=?FCD，同理可得?AFB=?CFD，则可证得?CDF??BAF; ?由?CDF??BAF与?CEF??BCF，根据相似三角形的对应边成比例，易证得CDCE，又由AB=BC，即可证得CD=CE; ,BABC (3)由CE=CD，可得BC=CD=CE，然后在Rt?BCE中，求得tan?CBE的值，即33 2??可求得?CBE的度数，则可得F在?O的下半圆上，且=( BFBC3 解答:解:(1)?直线l与以BC为直径的圆O相切于点C( ??BCE=90?， 又?BC为直径， ??BFC=?CFE=90?， ??FEC=?CEB， ??CEF??BEC， CEEF,?， BEEC ?BE=15，CE=9， 9EF,即:， 159 27解得:EF=; 5 (2)证明:???FCD+?FBC=90?，?ABF+?FBC=90?， 第95页 ??ABF=?FCD， 同理:?AFB=?CFD， ??CDF??BAF; ???CDF??BAF， CFCD?， ,BFBA CEF??BCF， 又?? CFCE?， ,BFBC CDCE?， ,BABC 又?AB=BC， ?CE=CD; (3)?CE=CD， ?BC=CD=CE， 33 CE1,在Rt?BCE中，tan?CBE=， BC3 ??CBE=30?， ?故为60?， CF 2???F在?O的下半圆上，且( =BFBC3 点评:此题考查了相似三角形的判定与性质，圆的切线的性质，圆周角的性质以及三角函数的性质等知识(此题综合性很强，解题的关键是方程思想与数形结合思想的应用( 53. (2011浙江金华，21，8分)(本题8分) 如图，射线PG平分?EPF，O为射线PG上一点，以O为圆心，10为半径作?O，分别与 ?EPF两边相交于A、B和C、D，连结OA，此时有OA?PE. (1)求证:AP,AO; (2)若弦AB,12，求tan?OPB的值; (3)若以图中已标明的点(即P、A、B、C、D、O)构造四边形，则能构成菱形的四个点 为 ，能构成等腰梯形的四个点为 或 或 . 第96页 ED C OPG A BF 考点:垂径定理;勾股定理;菱形的判定;等 腰梯形的判定;锐角三角函数的定义。 专题:证明题。 分析:(1)由已知条件―射线PG平分?EPF‖求得?DPO=?BPO;然后根据平行线的性质， 两直线OA?PE，内错角?DPO=?POA;最后由等量代换知?BPO=?POA，从而根据 等角对等边证明AP=AO; (2)设OH=x，则PH=2x(作辅助线OH(―过点O作OH?AB于点H‖)，根据垂径定理知 AH=HB=AB;又有已知条件―tan?OPB=‖求得PH=2OH;然后利用(1)的结果及勾 股定理列出关于x的一元二次方程，解方程即可; (3)根据菱形的性质、等腰梯形的判定定理填空( 【解】(1)解答:(1)?PG平分?EPF， ??DPO=?BPO， ?OA?PE， ??DPO=?POA， ??BPO=?POA， ?PA=OA;(2分) 第97页 (2)过点O作OH?AB于点H，则AH=HB=AB，(1分) ?tan?OPB=，?PH=2OH，(1分) 设OH=x，则PH=2x， 由(1)可知PA=OA=10，?AH=PH,PA=2x,10， 222222?AH+OH=OA，?(2x,10)+x=10，(1分) 解得x=0(不合题意，舍去)，x=8， 12 ?AH=6，?AB=2AH=12;(1分) (3)P、A、O、C;A、B、D、C或P、A、O、D或P、C、O、B((2分) (写对1个、2个、3个得(1分)，写对4个得2分) 点评:本题综合考查了垂径定理、勾股定理、菱形的性质、等腰梯形的判定定理及锐角三角函数的定义(解此类题目要注意将圆的问题转化成三角形的问题再进行计算( 54. (2011浙江丽水，21，8分)如图，射线PG平分?EPF，O为射线PG上一点，以O为圆心，10为半径作?O，分别与?EPF的两边相交于A、B和C、D，连接OA，此时有OA?PE( (1)求证:AP=AO; (2)若tan?OPB=，求弦AB的长; (3)若以图中已标明的点(即P、A、B、C、D、O)构造四边形，则能构成菱形的四个点为 P、A、O、C ，能构成等腰梯形的四个点为 A、B、D、C 或 P、A、O、D 或 P、C、O、B ( 考点:垂径定理;勾股定理;菱形的判定;等腰梯形的判定;锐角三角函数的定义。 专题:证明题。 分析:(1)由已知条件―射线PG平分?EPF‖求得?DPO=?BPO;然后根据平行线的性质， 第98页 两直线OA?PE，内错角?DPO=?POA;最后由等量代换知?BPO=?POA，从而根据等角对等边证明AP=AO; )设OH=x，则PH=2x(作辅助线OH(―过点O作OH?AB于点H‖)，根据垂径定理知(2 AH=HB=AB;又有已知条件―tan?OPB=‖求得PH=2OH;然后利用(1)的结果及勾股定理列出关于x的一元二次方程，解方程即可; (3)根据菱形的性质、等腰梯形的判定定理填空( )?PG平分?EPF， 解答:(1 ??DPO=?BPO， PE， ?OA? ??DPO=?POA， ??BPO=?POA， ?PA=OA;(2分) (2)过点O作OH?AB于点H，则AH=HB=AB，(1分) ?tan?OPB=，?PH=2OH，(1分) 设OH=x，则PH=2x， )可知PA=OA=10，?AH=PH,PA=2x,10， 由(1 222222?AH+OH=OA，?(2x,10)+x=10，(1分) 解得x=0(不合题意，舍去)，x=8， 12 ?AH=6，?AB=2AH=12;(1分) (3)P、A、O、C;A、B、D、C或P、A、O、D或P、C、O、B((2分) 第99页 (写对1个、2个、3个得(1分)，写对4个得2分) 点评:本题综合考查了垂径定理、勾股定理、菱形的性质、等腰梯形的判定定理及锐角三角函数的定义(解此类题目要注意将圆的问题转化成三角形的问题再进行计算( 55.如图，AB是?O的直径，弦CD?AB于点E，过点B作?O的切线，交AC的延长线于点F(已知OA=3，AE=2， (1)求CD的长;(2)求BF的长( 【考点】切线的性质;勾股定理;垂径定理;相似三角形的判定与性质( 【专题】计算题( 【分析】(1)连接OC，在?OCE中用勾股定理计算求出CE的长，然后得到CD的长( (2)根据切线的性质得AB?BF，然后用?ACE??AFB，可以求出BF的长( 【解答】解:(1)如图: 连接OC，?AB是直径，弦CD?AB， ?CE=DE 222222在直角?OCE中，OC=OE+CE即3=(3-2)+CE得:，?( CE,22CD,42(2)?BF切?O于点B，??ABF=90?=?AEC 222AECE??ACE??AFB? 即: ,?BF=. ,62,6BFABBF 【点评】本题考查的是切线的性质，(1)利用垂径定理求出CD的长((2)根据切线的性质，得到两相似三角形，然后利用三角形的性质计算求出BF的长( 56. (2011浙江义乌，21，8分)如图，已知?O的直径AB与弦CD互相垂直，垂足为点E(?O 3的切线BF与弦AD的延长线相交于点F，且AD,3，cos?BCD,( 4 第100页 (1)求证:CD?BF; (2)求?O的半径; (3)求弦CD的长( 考点:切线的性质;勾股定理;垂径定理;圆周角定理;解直角三角形。 专题:证明题。 )由BF是?O的切线得到AB?BF，而AB?CD，由此即可证明CD?BF; 分析:(1 3(2)连接BD，由AB是直径得到?ADB,90?，而?BCD,?BAD，cos?BCD,，所以4 AD3cos?BCD,,，然后利用三角函数即可求出?O的半径; AB4 AE3(3)由于cos?DAE,,，而AD,3，由此求出AE，接着利用勾股定理可以求出AD4ED，也就求出了CD( 解答:证明:(1)?BF是?O的切线， ?AB?BF，(1分) ?AB?CD， ?CD?BF;(2分) (2)连接BD，?AB是直径， ??ADB,90?，(3分) 3??BCD,?BAD，cos?BCD,，(4分) 4 AD3? cos?BAD,,， AB4 又?AD,3， ?AB,4， ??O的半径为2;(5分) AE3(3)?cos?DAE,,，AD,3， AD4 9?AE,，(6分) 4 第101页 2937,,2?ED,，(7分) 3,,,,44,, 37?CD,2ED,((8分) 2 点评:本题考查了圆的切线性质，及解直角三角形的知识(运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题( 57.(2011浙江舟山，22，10分)如图，?ABC中，以BC为直径的圆交AB于点D，?ACD ABC( ,? (1)求证:CA是圆的切线; 25(2)若点E是BC上一点，已知BE,6，tan?ABC,，tan?AEC,，求圆的直径( 33 考点:切线的判定;圆周角定理;锐角三角函数的定义;解直角三角形。 专题:计算题;证明题。 分析:(1)根据圆周角定理BC得到?BDC,90?，推出?ACD，?DCB,90?，即BC?CA，即可判断CA是圆的切线; 525(2)根据锐角三角函数的定义得到tan?AEC,，tan?ABC,，推出EC,AC，BC3333,AC，代入BC,EC,BE即可求出AC，进一步求出BC即可( 2 解答:(1)证明:?BC是直径， ??BDC,90?， ??ABC，?DCB,90?， ??ACD,?ABC， ??ACD，?DCB,90?， ?BC?CA，?CA是圆的切线( 5(2)解:在Rt?AEC中，tan?AEC,， 3 第102页 AC5?,， EC3 5EC,AC， 3 2在Rt?ABC中，tan?ABC,， 3 AC2?,， BC3 3BC,AC， 2 ?BC,EC,BE，BE,6， 33?,6， AC,AC25 20解得:AC,， 3 320?BC,×,10， 23 答:圆的直径是10( 点评:本题主要考查对锐角三角函数的定义，解直角三角形，切线的判定，圆周角定理等知识点的理解和掌握，能证明是圆的切线是解此题的关键( 58. (2011安徽省芜湖市，23,12分)如图，已知直线PA交?O于A、B两点，AE是?O的直径，点C为?O上一点，且AC平分?PAE，过C作CD丄PA，垂足为D( (1)求证:CD为?O的切线; (2)若DC+DA=6，?O的直径为10，求AB的长度( 考点:切线的判定与性质;勾股定理;矩形的判定与性质;垂径定理。 专题:证明题;几何综合题。 分析:(1)连接OC，根据题意可证得?CAD+?DCA=90?，再根据角平分线的性质，得?DCO=90?，则CD为?O的切线; (2)过O作OF?AB，则OCD=?CDA=?OFD=90?，得四边形OCDF为矩形，设AD=x， 22在Rt?AOF中，由勾股定理得(5,x)+(6,x)=25，从而求得x的值，由勾股定理得 第103页 出AB的长( 解答:解:(1)证明:连接OC，?点C在?O上，OA=OC，??OCA=?OAC( ?CD?PA，??CDA=90?，有?CAD+?DCA=90?( ?AC平分?PAE，??DAC=?CAO( ??DCO=?DCA+?ACD=?DCA+CAO=?DCA+?DAC=90?( 又?点C在?O上，OC为?O的半径，?CD为?O的切线( (2)过O作OF?AB，垂足为F，??OCD=?CDA=?OFD=90?， ?OC=FD，OF=CD( ?， ?DC+DA=6，设AD=x，则OF=CD=6,x， ?DF=OC=5，?AF=5,x， ??O的直径为10， 222在Rt?AOF中，由勾股定理得AF+OF=OA( 22即(5,x)+(6,x)=25， 2化简得x,11x+18=0， 解得x=2或x=9( 由AD,DF，知0,x,5，故x=2， 从而AD=2，AF=5,2=3， ?OF?AB，由垂径定理知，F为AB的中点，?AB=2AF=6( 点评:本题考查了切线的判定和性质、勾股定理、矩形的判定和性质以及垂径定理，是基础知识要熟练掌握( 59( (2011北京，25，8分)如图，在平面直角坐标系xOy中，我把由两条射线AE，BF和以AB为直径的半圆所组成的图形叫作图形C(注:不含AB线段)(已知A(,1，0)，B(1，0)，AE?BF，且半圆与y轴的交点D在射线AE的反向延长线上( (1)求两条射线AE，BF所在直线的距离; (2)当一次函数y=x+b的图象与图形C恰好只有一个公共点时，写出b的取值范围; 第104页 当一次函数y=x+b的图象与图形C恰好只有两个公共点时，写出b的取值范围; (3)已知AMPQ(四个顶点AMPQ按顺时针方向排列)的各顶点都在图形C上，?，，， 且不都在两条射线上，求点M的横坐标x的取值范围( 考点:一次函数综合题;勾股定理;平行四边形的性质;圆周角定理。 专题:综合题;分类讨论。 分析:(1)利用直径所对的圆周角是直角，从而判定三角形ADB为等腰直角三角形，其直角边的长等于两直线间的距离; (2)利用数形结合的方法得到当直线与图形C有一个交点时自变量x的取值范围即可; (3)根据平行四边形的性质及其四个顶点均在图形C上，可能会出现四种情况，分类讨论即可( 解答:解:(1)分别连接AD、DB，则点D在直线AE上， 如图1， ?点D在以AB为直径的半圆上， ??ADB=90?， ?BD?AD， 在Rt?DOB中，由勾股定理得，BD=， 2 ?AE?BF， ?两条射线AE、BF所在直线的距离为( 2 (2)当一次函数y=x+b的图象与图形C恰好只有一个公共点时，b的取值范围是b=或2,1,b,1; 当一次函数y=x+b的图象与图形C恰好只有两个公共点时，b的取值范围是1,b, 2(3)假设存在满足题意的平行四边形AMPQ，根据点M的位置，分以下四种情况讨论: ?当点M在射线AE上时，如图2( 第105页 ?AMPQ四点按顺时针方向排列， ?直线PQ必在直线AM的上方， ?PQ两点都在弧AD上，且不与点AD重合， 、?0,PQ,( 2 ?AM?PQ且AM=PQ， ?0,AM, 2 ?,2,x,,1， ?当点M不在弧AD上时，如图3， ?点A、M、P、Q四点按顺时针方向排列， ?直线PQ必在直线AM的下方， 此时，不存在满足题意的平行四边形( ?当点M在弧BD上时， 设弧DB的中点为R，则OR?BF，当点M在弧DR上时，如图4， 过点M作OR的垂线交弧DB于点Q，垂足为点S，可得S是MQ的中点( ?四边形AMPQ为满足题意的平行四边形， 2?0?x,( 2 当点M在弧RB上时，如图5， 直线PQ必在直线AM的下方， 此时不存在满足题意的平行四边形( ?当点M在射线BF上时，如图6， 直线PQ必在直线AM的下方， 此时，不存在满足题意的平行四边形( 综上，点M的横坐标x的取值范围是 2,2,x,,1或0?x,( 2 第106页 点评:本题是一道一次函数的综合题，题目中还涉及到了勾股定理、平行四边形的性质及圆周角定理的相关知识，题目中还渗透了分类讨论思想( 060. 2011广州，25，14分)如图7，?O中AB是直径，C是?O上一点，?ABC=45，等腰直角三角形DCE中?DCE是直角，点D在线段AC上。 (1)证明:B、C、E三点共线; (2)若M是线段BE的中点，N是线段AD的中点，证明:MN=OM; 2 00(3)将?DCE绕点C逆时针旋转(0<<90)后，记为?DCE(图8)，若M,,111是线段BE的中点，N是线段AD的中点，MN=OM是否成立,若是，请证明:若2111111 不是，说明理由。 【考点】圆周角定理;全等三角形的判定与性质;等腰直角三角形;三角形中位线定理; 第107页 旋转的性质( 【专题】证明题( 【分析】(1)根据直径所对的圆周角为直角得到?BCA=90?，?DCE是直角，即可得到?BCA+?DCE=90?+90?=180?; (2)连接BD，AE，ON，延长BD交AE于F，先证明Rt?BCD?Rt?ACE，得到BD=AE，?EBD=?CAE，则?CAE+?ADF=?CBD+?BDC=90?，即BD?AE，再利用三角形的中 11位线的性质得到ON= BD，OM= AE，ON?BD，AE?OM，于是有ON=OM，ON?OM，22 即?ONM为等腰直角三角形，即可得到结论; (3)证明的方法和(2)一样( 【解答】(1)证明:?AB是直径， ??BCA=90?， 而等腰直角三角形DCE中?DCE是直角， ??BCA+?DCE=90?+90?=180?， ?B、C、E三点共线; (2)连接BD，AE，ON，延长BD交AE于F，如图， ?CB=CA，CD=CE， ?Rt?BCD?Rt?ACE， ?BD=AE，?EBD=?CAE， ??CAE+?ADF=?CBD+?BDC=90?，即BD?AE， 又?M是线段BE的中点，N是线段AD的中点，而O为AB的中点， 11 ?ON= BD，OM= AE，ON?BD，AE?OM; 22 第108页 ?ON=OM，ON?OM，即?ONM为等腰直角三角形， ?MN= OM; 2 (3)成立(理由如下: 和(2)一样，易证得Rt?BCD?Rt?ACE，同里可证BD?AE，?ONM为等腰111111 直角三角形，从而有MN= OM( 2111 【点评】本题考查了直径所对的圆周角为直角和三角形中位线的性质;也考查了三角形全等的判定与性质、等腰直角三角形的性质以及旋转的性质( 61. (2011广东省茂名，24，8分)如图，?P与y轴相切于坐标原点O(0，0)，与x轴相交于点A(5，0)，过点A的直线AB与y轴的正半轴交于点B，与?P交于点C( (1)已知AC=3，求点B的坐标; (2)若AC=a，D是OB的中点(问:点OPCD四点是否在同一圆上,请说明理由(如、、、 k果这四点在同一圆上，记这个圆的圆心为O，函数的图象经过点O，求k的值(用y,11x 含a的代数式表示)( 考点:相似三角形的判定与性质;待定系数法求反比例函数解析式;直角三角形斜边上的中线;勾股定理;圆周角定理。 专题:计算题。 分析:(1)此题有两种解法:解法一:连接OC，根据OA是?P的直径，可得OC?AB，利用勾股定理求得OC，再求证Rt?AOC?Rt?ABO，利用其对应变成比例求得OB即可; 解法二:连接OC，根据OA是?P的直径，可得?ACO=90?，利用勾股定理求得OC，过C作CE?OA于点E，分别求得CE、0E，设经过A、C两点的直线解析式为:y=kx+b( 1612把点A(5，0)、代入上式解得即可( C(,)55 1(2)连接CP、CD、DP，根据OC?AB，D为OB上的中点，可得，求CDOBOD,,2 第109页 证Rt?PDO和Rt?PDC是同以PD为斜边的直角三角形，可得PD上的中点到点O、P、C、 OPODD四点的距离相等，由上可知，经过点O、P、C、D的圆心O是DP的中点，圆心，O(,)1125 ACOA由(1)知:Rt?AOC?Rt?ABO，可得，求得:AB、OD即可( ,OAAB 解答:解:(1)解法一:连接OC， P的直径， ?OA是? ?OC?AB， 22在Rt?AOC中，， OCOAAC,,,,,2594 在Rt?AOC和Rt?ABO中， ??CAO=?OAB ?Rt?AOC?Rt?ABO， ACOA35?，即， ,,4OBCDOB 20?， OB,3 20? B(0,)3 解法二:连接OC，因为OA是?P的直径， ??ACO=90? 在Rt?AOC中，AO=5，AC=3， ?OC=4， 11过C作CE?OA于点E，则:， OACECAOC,,,22 第110页 11即:， ，，,，，534CE22 12?，(2分) CE,5 12162222?， OEOCCE,,,,,4()55 1612?， C(,)55 设经过A、C两点的直线解析式为:y=kx+b( 50kb，,,1612,把点A(5，0)、代入上式得:， C(,),161255kb，,,55, 4,k,,,,3解得:， ,20,b,,3, 420?， yx,,，33 20?点( B(0,)3 (2)点O、P、C、D四点在同一个圆上，理由如下: 连接CP、CD、DP， ?OC?AB，D为OB上的中点， 1?， CDOBOD,,2 ??3=?4， 又?OP=CP， ??1=?2， ??1+?3=?2+?4=90?， ?PC?CD，又?DO?OP， ?Rt?PDO和Rt?PDC是同以PD为斜边的直角三角形， ?PD上的中点到点O、P、C、D四点的距离相等， ?点O、P、C、D在以DP为直径的同一个圆上; 第111页 OPOD由上可知，经过点O、P、C、D的圆心O是DP的中点，圆心， O(,)1125 由(1)知:Rt?AOC?Rt?ABO， ACOA?， ,OAAB 225525,a22求得:AB=，在Rt?ABO中，， OBABOA,,,aa 21525,aOA5， OD=OP,,OB,2222a 25525,ak?，点O在函数的图象上， y,O(,)11x44a 2525,ak?， ,45a 22525,a?( k,16a 点评:此题主要考查相似三角形的判定与性质，待定系数法求反比例函数关系式，直角三角形斜边上的中线，勾股定理，圆周角定理等知识点的理解和掌握，综合性较强，有一定的把高难度，属于难题( 62. (2011成都，27，10分)已知:如图，以矩形ABCD的对角线AC的中点O为圆心，OA长为半径作?O，?O经过B、D两点，过点B作BK?AC，垂足为K(过D作DH?KB，DH分别与AC、AB(?O及CB的延长线相交于点E、F、G、H( (1)求证:AE,CK; 1(2)如果AB,a，AD,a(a为大于零的常数)，求BK的长: 3 (3)若F是EG的中点，且DE,6，求?O的半径和GH的长( 第112页 考点:相似三角形的判定与性质;全等三角形的判定与性质;三角形中位线定理;垂径定理;圆周角定理。 专题:证明题;几何综合题。 分析:(1)根据ABCD是矩形，求证?BKC??ADE即可; (2)根据勾股定理求得AC的长，再求证?BKC??ABC，利用其对应边成比例即可求得BK( (3)根据三角形中位线定理可求出EF，再利用?AFD??HBF可求出HF，然后即可求出 1GH;利用射影定理求出AE，再利?AED??HEC求证AE,AC，然后即可求得AC即可( 3 解答:(1)证明:?四边形据ABCD是矩形， ?AD,BC， ?BK?AC，DH?KB， ??BKC,?AED,90?， ??BKC??ADE， ?AE,CK; 1(2)?AB,a，AD,,BC， a3 1a2222? ()10AC,AB，BC,a，a,33 ?BK?AC， ??BKC??ABC， ACBK?,， BCAB a10a3?， ,1BKa3 第113页 ?BK,a， 10 10?BK,a( 10 (3)连接OF， ?ABCD为矩形， EFOF?， ,EDBC 11?EF,ED,×6,3， 22 ?F是EG的中点， ?GF,EF,3， ??AFD??HBF， ?HF,FE,3，6,9， ?GH,6， ?DH?KB，ABCD为矩形， 2?AE,EF•ED,3×6,18， ?AE,3， 2 ??AED??HEC， AEED1,,?， ECHE2 1?AE,AC， 3 ?AC, 92 9则AO,( 22 第114页 点评:此题主要考查相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角形中位线定理，垂径定理，圆周角定理等知识点，综合性很强，利用学生系统的掌握知识，是一道很典型的题目( 63. (2011四川达州，21，6分)如图，在?ABC中，?A=90?，?B=60?，AB=3，点D从点A以每秒1个单位长度的速度向点B运动(点D不与B重合)，过点D作DE?BC交AC于点E(以DE为直径作?O，并在?O内作内接矩形ADFE，设点D的运动时间为t秒( (1)用含t的代数式表示?DEF的面积s; )当t为何值时，?O与直线BC相切, (2 考点:切线的性质;矩形的性质;解直角三角形。 专题:综合题。 分析:(1)用t将AD和AE表示出来，利用三角形的面积计算方法列出关于t的函数关系式即可; (2)过点O作OG?BC于G，过点D作DH?BC于H，在?DBH中利用解直角三角形的知识表示出DH和OG，利用相切的定义求得t的值即可( 解答:解:(1)?DE?BC， ??ADE=?B=60?， 在?ADE中， ??A=90?， AE?， tan，,ADEAD ?AD=1×t=t， ?AE=， 3t 又?四边形ADFE是矩形， 1132?sDEF=sADE= ADAEtttt，,，,3(03)?