位移电流密度公式的一种导出方法

位移电流密度公式的一种导出方法 () 贵州师范大学学报 自然科学版第 17 卷 1999 vol . 17 第 3 期No . 3 ( )Journal of Guizhou Normal U niversity Nat ural Science Ξ 位移电流密度公式的一种导出方法 徐 梅 ()贵州省水利电力学校 贵阳 550002 9 D 位移电流密度公式 j = 的导出在大多数电磁学教材里以及有关文献中都是用平行 D 9t 板电容器的充放电过程这个特例得出全电流公式 , 并指出全电流的连续性 , 以此得出位移电流密度公式 。然而在教学中学生往往不易理解其物理含义 , 对位移电流的实质也认识不清 , 使学 生认为只有传导电流为零的地方才由位移电流“接下去”。本文从电荷运动和场的变化的整体 观念 , 运用高斯定律和电荷守恒定律来导出位移电流的密度公式 , 其推导过程本身对学生理解 全电流的概念亦有帮助 。 设 S 为空间任一闭合曲面 , 其法线向外 , 如图 1 所示 , C 为 S 上一有向闭合曲线 , 分 S 为 S 、S 两个曲面 , 按右手法则 , S 的法线将指向内部 , 而 S 的法线保持不变 。设在此空间内有1 2 1 2 稳恒电流流动 , 在某时刻穿过 S 面的电流为 I, 穿过 S 面的电流为 I, 根据电荷守恒定律 , 1 S 2 S 2 1 ( ) 不可能有电荷在 S 内积累或放出 , 所以 : I = I 1 S S1 2 而根据安培环路定律 , 有 : ( ) I= H d? r = j d? s2 c ?? c s c 这里 S 是以 C 为边界的任何曲面 , 取 S 为 S 即得电流 c C 1 I , 取 S 为 S 即得 I , 所以在恒流情况下 I= I是必然的 。 S c 2 S S S 1 2 1 2 然而并不是在所有情形下在任何时刻穿过 S 的传导电流 1 I 都与穿过 S 的传导电流 I相等 。现考虑这样一种情况 :一 S 2 S 1 2 根无限长的荷电直导线 , 以匀速 V 沿其轴向运动 , 如果导线 0 图 1 电流图 λ 中电荷的分布是均匀的 , 其线密度为 , 那么对于静止的观察 λ者来说 , 此即一无限长的通电长直导线 , 其电流强度为 V , 如图 2 我们选择以导线为轴线的 0 圆柱面 , S 、S 分别为圆柱面的两个底面 , C 为 S 的边界线 , 即是一个绕圆柱的圆 , 由于是稳 1 2 1 恒电流 , 所以 I = I 。然而若此无限长直导线荷电并非均匀 , 其荷电线密度随空间点 x 而变 S S 1 2 ( ) λ化 , 为 x , 显然对于某一时刻传导电流 I 和 I 就不再相等 , 因为 : S S 1 2 ( ) ( )3 I= j x d? s S 0 S 1 1 ? S1 ( ) ( )I= j x d? s 4 S 0 S 2 2 ? S2 因为 x ? x 所以 I? I S SSS1 2 1 2 图 2 导线运动图 这样 , 穿过闭合曲线 C 的传导电流就不再是一个恒定的量 , I =j d s 对于这种情形就不C ? s c 再适用了 。对于我们所选的 S 和 S 来说 , 如某时刻穿过 S 的传导电流为 I , 那么此时刻穿 1 2 1 S 律 , 则其电场的通量和所选曲面内导线中心的电荷积累和放出相关 , 因此 , 我们令 : 1 ( )II + X 5 = S S S 111 1 I I +X ( )= 6 S SS 222 这里 X , X 是考虑到电荷的积累或放出而引起的所谓“动态修正”, 由此 , 我们认为在这 S S 1 2 11 种非恒流情形下整个空间的“电流”仍然是恒定的话 , 就有 : I= IS S 12 )( )( 即 : I= I+ X - X 7 S S S S 1 2 2 1 ( )( )考虑对于 S 面的电荷运动情况 , 则 : I= I + X + X 8 S S S S 1 2 2 1 ( )这里 X 前变号是因为考虑整个 S 面时与仅考虑 S 时的法线方向相反 。 S 1 1 θds ( )9 由电荷守恒定律 , 有 I= I+ S S 1 2 d t θθdsds 12这里 I= , I 是某时刻流过 S 和 S 的传导电流 , 根据高斯定律 , 有 = S S1 2 1 2 d t d t θds d ) ( = D d? S10 ? d t d t s θds d D d D d D d D 即 = - d? S +d? S 所以 , X= - d? S +d? S- X S S 2 1???? d t d td td td ts s s s 1 2 1 2 d D 由于 S 、S 的取法具有任意性 , 于是得到动态修正的达式 Xs = sd? S1 2 c ? d t ( ) ( ) 因此 , 我们考虑到空间电场的变化 , 综合 5、6式 , 则空间中的电流强度就应写成 : 9 D ( ) ( )Ic = sj + d? s11 c 0 ? 9t 9D 这样 , 电流密度公式就是 : j ( )12 = j + 0 9t 9 D 上式中第一项即是传导电流密度 , 而后一项 j = 即是位移电流密度 。 D 9t ( ) 12式虽然是麦克斯韦在 100 多年前已导出了的 , 且早已为电磁波的发射实验所证实 , 但现在我们从考虑场的变化这个角度来推出此公式却又有另一番更深刻的意义 , 它使我们对电 流的认识不仅仅停留在“电荷的运动”这个概念上 , 使我们对电荷和场的联系的认识更加深刻 化 , 充分认识场的物质性这个客观事实 , 即是考虑电流要从电荷流动与场的变化这个观点出 D 9 发 , 空间中只要存在场的变化 即产生电流密度 。9t 9 P 这里还要指出的是 , 我们要考虑空间的所谓“总电流”, 还必须考虑极化电流 j = 极 , 磁9 t 9D 9 P + +A x M 化电流 j = A x M 。即 : j = j + 磁 总 0 9t 9t 参 考 文 献 1 赵凯华 ,陈熙谋 1 电磁学 :上 、 1 北京 :人民教育出版社 ,1981 2 郭硕鸿 1 电动力学 1 北京 :人民教育出版社 ,1983 3 J . D 杰克逊 ,等 1 经典电动力学 1 北京 :人民教育出版社 ,1982