锥体体积

锥体体积 凌锥、圆锥的体积 教学目的 1(使学生理解棱锥、圆锥的有关概念掌握它们的部分性质( 2(使学生能根据祖暅原理推导出锥体的体积计算公式( 4(通过这一节的学习，使学生进一步认识到所学知识是解决实际问题的有力工具，有着广泛的应用，从而提高学生学习的积极性(并通过柱体、锥体的体积公式之间的内在联系的教学培养学生的辨证唯物主义观点( 教学重点与难点 一(复习 (1)底面积为S，高为 h的柱体体积V柱体? 答:Sh (2)祖暅原理:夹在两个平行平面间的两个几何 体， ，那么这两个几何体的体积相等( 答:夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等( (3)已知某锥体的底面积为S，高为 h，顶点P，与底面平行且距离为h1的截面面积S0?( 答:S0?h1 h22S 二(导入本课课题:凌锥、圆锥的体积 1(引入:小学常识课获知，一个与圆柱等底等高的圆锥的体积与圆 柱的体积之间有这样的关系:V圆柱?3V圆锥(那么，这个结论是否适用一般的柱 体及与其等底等高的锥体呢, 2(切入本课要学习的主要内容:上面提到的结论( 3(设有等底等高的一个三棱锥和一个圆锥，用平行于底面的同一个平面去截三棱锥与圆锥，设截面面积是S1，S2，演示并证明:S1?S2 证明:设锥体底面积为S，高为h，顶点P到截面的距离是 h1 ，则S1S2?h1??h1????，???， SS?h??h?22 ?S1 S?S2 S，?S1?S2( 4(对照祖暅原理导入结论:这两个锥体的体积相等( 由此我们得到下面的定理: 等底面积等高的两个锥体的体积相等( 5(推证:三棱锥的体积公式( 已知:三棱锥A1?ABC的底面积是S，高是h，求证:V三棱锥? 分析与归纳: 13Sh( (1)几何体1与2:A1AB与A1BB1共面，C到面A1AB、面A1B1B的距离相等，且S?AAB?S?ABB，故有:VA?ABC?VA?BBC，即V1?V2( 111111 (2)几何体2与3:面B1BC与面B1C1C共面且 A1 到这两个面距离相等(而S?BBC?S?BCC，?VA?BBC?VA?BCC( 即V2?V3( 11111111 ?V1?V2?V3? 由此我们得到定理: 13V三棱锥ABC?A1B1C1?13Sh( 如果三棱锥的底面积是S，高是h，则它的体积是V三棱锥有前两个 定理进而导入锥体的体积公式( ?13Sh( 定理:如果一个锥体(棱锥，圆锥)的底面积是S，高是h，则它的体积是: V锥体?1 3Sh( 推论:如果圆锥的底面半径是r，高是h，则它的体积是 V圆锥?13??r?h( 2 小结:三棱锥体积公式的推导过程中运用了计算体积的一个常用基本技能:“割补”(希同学予以重视并加以掌握( 三(思考与举例: 例1(已知棱长为a的正方体ABCD?A1B1C1D1， (1)能否在正方体的八个顶点中找到四个点，使它们成为一个正四面体的顶点,若能，试举一例说明( (2)在(1)中找到的四面体的体积是多少, 解:(1)先由学生分析寻找，提问并求出一个答案:四面体ACB1D( (2)分析如何求VACB1D( 演示(颜色比较)导入解法割补( 例2(已知三棱锥P?ABC中，PA?BC，PA?BC?l，PA、BC的公垂线ED?h，求此三棱锥的体积( 分析:(1)已知条件比较分散，难以集中到底面ABC及其高上( (2)条件中DE是PA与BC的公垂线及PA?BC可得BC?PA与DE确定的平面，连AD、PD即BC?平面PAD，于是平面PAD将三棱锥P?ABC分割成两个三棱锥B?PAD及C?PAD， 且BD及CD分别是它们的高，S?PAD? VP?ABC?VB?PAD?VC?PAD?1 312l?h， 13(BD?CD)?S?PAD?BC?S?PAD( 例3(正四棱柱ABCD?A1B1C1D1中，E是棱DD1上的点，且D1B|| 截面EAC，且面EAC与底面ABCD成45角，AB?a，试求VB?1?EAC( 分析:连B1D1，得 VB1?EAC?VABCD?A1B1C1D1?VB1?ABC?VB1?A1AED1?VB1?C1CED1?VE?ACD， 由已知可求得正四棱柱的侧棱长及D1E的长，于是便可求上式中的每个几何体的体积( 解:连接B1D1，(演示可知上面的式子) 设BD交AC与O，则由D1B|| 截面EAC得BD1||EO，而O 是BD的中点，?E是DD1的中点，?DO?AC，?EO?AC(三垂线定理) ??EOD是截面EEAC与底面所成的二面角的平面角，??EOD?45，?ED?DO?2 2AB? 2?22a，?D1D?2ED?2a， ?VABCD?A1B1C1D1?2a， VB1?ABC1a???3222a?2 63a，??( 小结 1(本课要点及知识体系 2(本课涉及的数学思想方法 (1)化归;(2)几何体的割补( 思考题 如图:在多面体ABCDEF中，ABCD是边长为3的正方形，EF?AB，EF?3 2，EF与面AC的距离为2，则该几何体的体积为(