初中数学竞赛——圆5.圆与圆(一)

初二数学联赛班 八年级 1 思维的发掘 能力的飞跃 第2讲 圆与圆(一) 典型例题 【例1】 如图,两圆相交于P 、Q 两点,过点P 作两割线APB 与CPD ,直线AC 、DB 相交于S ,求 证:Q 、S 、C 、D 四点共圆. 【例2】 如图,已知⊙1O 和⊙2O 是两个相交的等圆,交点为A 、B ,CD 是过点A 的直线, 交⊙1O 于C ,交⊙2O 于D ,BE CD ⊥于E ,求证:CE DE =. 【例3】 如图,⊙1O 与⊙2O 相交于A 、B 两点,1O 在⊙2O 的圆周上,⊙1O 的弦AC 交⊙2O 于点D , 求证:1O D 与BC 垂直. ? B C D A 2O 1 O Q P D A B C S ? 1 O ? 2 O E A D B C 初二数学联赛班 八年级 【例4】 如图,圆O 与圆D 相交于A 、B 两点,BC 为圆D 的切线,点C 在圆O 上,且AB BC =. (1)求证:点O 在圆D 的圆周上. (2)设圆O 的面积为S ,求圆D 半径r 的最小值. 【例5】 如图,两圆相交于P 、Q 两点,过P 任作两直线交一圆于A 、B ,交另一圆于'A 、'B ,AB 与''A B 交于点C ,求证:C ∠为定值. 【例6】 由相交两圆的一交点至两圆周所引起的所有割线中,以平行于连心线的割线为最长. D ? O ? C B A ? ? C P A B Q ' B 'A 初二数学联赛班八年级 【例7】如图,⊙ 1 O与⊙ 2 O相交,公共弦为MN,外公切线为AB与CD,直线MN交AB于点P,交CD于点Q,求证:222 PQ AB MN =+. 【例8】如图,⊙ 1 O、⊙ 2 O相交于A、B,C是⊙ 1 O上的点且在⊙ 2 O内,AC的延长线交⊙ 2 O于D, BC的延长线交⊙ 2 O于E,DB的延长线交⊙ 1 O于F,过D作⊙ 2 O的切线DG,交CB的延长线于G,求证:CB EG FC GD ?=?. 【例9】如图,两圆内切于点P,大圆的弦AD和小圆相离,PA、PD交小圆于点E、F,直线EF交大圆于点B、C,求证:APB CPD ∠=∠. D A C B P F E ? 2 O ? 1 O B G E A F C 1 O ? 2 O ? D C N M B A Q P 初二数学联赛班 八年级 【例10】 如图,⊙1O 和⊙2O 外切于点P ,一外公切线分别切两圆于A 、C 两点,AB 为圆的直径,过 B 作⊙2O 的切线BQ ,切点为Q ,求证:BQ AB =. 【例11】 如图,已知⊙1O 、⊙2O 外切于P ,AB 为两圆的外公切线,A 、B 为切点,AP 交⊙2O 于C , BP 交⊙1O 于D ,求证:2AB AP PC BP PD =?+?. 【例12】 如图,已知C 为线段AB 上一点,在AB 同侧分别取以AB 、BC 、AC 为直径作半圆⊙O 、⊙ 1O 、⊙2O ,过C 点作CD AB ⊥交⊙O 于D ,EF 分别切⊙1O 和⊙2O 于E 、F 两点,求证:EF CD =. ?1 O ?2 O Q C A P ? 1 O ? 2 O P D C B A ? ? ? O C B A D F E 2 O 1 O 初二数学联赛班八年级 【例13】如图,半径为R的⊙ 1 O和半径为r的⊙ 2 O外切于点P,AB为两圆的外公切线,切点为A、B, 连心线 12 O O交⊙ 1 O于C,交⊙ 2 O于D,CA与DB的延长线相交于Q. (1)求证:CQ DQ ⊥;(2)若3 R r =,求ABQ ∠的度数. 【例14】如图,ABCD是边长为a的正方形,以D为圆心、DA为半径的圆弧与以BC为直径的半圆交于另一点P.延长AP交BC于N,求 BN NC . 【例15】如图,⊙ 1 O与⊙ 2 O交于A、B两点,⊙ 1 O之弦AC是⊙ 2 O之切线,而⊙ 2 O之弦DA是⊙ 1 O之 切线.若⊙ 1 O与⊙ 2 O的半径分别为 1 R、 2 R,求ABC ?与ABD ?的面积比. N C B A D P ? 1 O? 2 O D B C A ? 2 O ? 1 O B A P D C Q 【例16】 如图,⊙1O 与⊙2O 相交于P 、Q 两点,在公共弦QP 延长线上取一点M ,过M 作两圆割线 分别交两圆于A 、B 、C 、D .求证: AD BD DM AC CB CM ?= ?. 【例17】 如图1、图2,⊙1O 与⊙2O 交于A 、B 两点,PA 、PB 分别是⊙1O 、⊙2O 的切线,PA 、PB 分别是⊙1O 、⊙2O 的切线,PA 交⊙2O 于点C ,PB 的延长线交⊙1O 于点D . (1)求证:33PA PD PB PC = ; (2)求证:12O A PD PA O A =; (3)图2中,如果11BO O A ⊥,APB ∠ 是锐角,且1O A =23O A =,求PB 的长. ?1O 2 O ? P D A C B ?1 O ?2 O D B A C ?1 O ?2 O D B C A M Q P 【例18】 如图,两个同心圆的圆心为O ,大圆的弦AD 交小圆于B 、C ,大圆的弦AF 切小圆于E ,经 过B 、E 的直线交大圆于M 、 N ,求证:(1)2AE BN EN =?;(2)若AD 经过圆心O ,且AE EC =,求AFC ∠的度数. 【例19】 如图,⊙A 、⊙B 、⊙O 三圆彼此外切,且均与同一直线相切于1A 、1B 、1C 点,求证: =+a 、b 、c 分别为⊙A 、⊙B 、⊙O 的半径). 【例20】 如图,90CAB ABD ∠=∠=,AB AC BD =+,AD 交BC 与点P ,作⊙P 使其与AB 相切.试 问:以AB 为直径作出的⊙O 与⊙P 是相交、内切,还是内含?请作出判断并加以证明. O ? P C D B A B ?A ?O ?O ? B E M N D A C F 【例21】 如图,ABC ?的内切圆切BC 边于D ,求证:ABD ?和ACD ?的内切圆相外切. 【例22】 求证:一个凸四边形ABCD 有内切圆的充分必要条件是AB CD BC AD +=+. 【例23】 如图,凸四边形ABCD 内有四个小圆,每个圆都和四边形的两条边及另外两个圆相切.又知 该四边形是一个圆的外切四边形,求证:上述四个圆中至少有两个圆的半径是相等的. D C B A D C B A 【例24】 如图,设⊙1O 和⊙2O 相离,引它们的一条外公切线切⊙1O 于A ,切⊙2O 于C .引它们的一 条内公切线切⊙1O 于B ,切⊙2O 于D ,求证:直线AB 和CD 的交点在两圆的连心线上. 作业 1. 如图,已知ABC ?的外接圆为⊙O ,⊙1O 经过A 、B 、O ,且分别交BC 、AC 于E 、D (异于B 、 A 的点) ,求证:CO DE ⊥. 2. 两圆相交于P 、Q 两点,过Q 任作一直线交两圆于A 、B ,自A 、B 两点各引所在圆的切线,两 切线交于C ,求证:A 、B 、C 、P 四点共圆. ? ?E K D C B A 2 O 1O O ??1O D E B A C ? 1 O ? 2 O C B A P Q 3. 如图,过⊙O 外一点P 作⊙O 的切线PN ,N 为切点.令PN 的中点为M ,过PM 的圆与⊙O 交 于A 、B ,BA 的延长线与PM 交于点Q ,求证:3PM MQ =. 4. 如图,已知⊙O 中,弦AC BD ⊥于E ,过A 、B 、C 、D 分别作⊙O 的切线,两两相交成四边形 ''''A B C D ,求证:'A 、'B 、'C 、'D 四点共圆. 5. 如图,已知⊙1O 和⊙2O 相交于A 、B 两点,过点A 作⊙1O 的切线,交⊙2O 于点C ,过点B 作两 圆的割线分别交⊙1O 、⊙2O 于点D 、E ,DE 与AC 相交于点P .当AD 与⊙2O 相切,且6PA =,2PC =,12PD =时,求AD 的长. O ? B A P M Q N ? 1O ? 2O P E C D B A O D C B S A ' C 'B ' A ' D E ? 初二数学联赛班 八年级 11 思维的发掘 能力的飞跃 6. 如图,两圆内切于点P ,大圆的弦AB 切小圆于点Q ,连结PA 、PB 分别交小圆于点C 、D ,连 结PQ 与CD 交于点H .求证:(1) CH HD AQ QB =;(2)APQ QPB ∠=∠. 7. 凸四边形ABCD 中,AB CD BC AD +=+,求证:ABC ?内切圆与ACD ?的内切圆相切. 8. 如图,在ABC ?中,90A ∠=,AD 为边BC 边上的高,直角ABC ?、直角ADB ?与直角ADC ?的 内切圆分别与各三角形斜边相切于点L 、M 、N .求证:AM AB CN AC CL BC ?+?=?. N M C B A P B A D H C Q 初二数学联赛班 八年级 12 思维的发掘 能力的飞跃 9. 已知AB 为半圆O 的直径,点P 为直径AB 上的任意一点.以点A 为圆心,AP 为半径作⊙A ,⊙A 与半圆O 相交于点C ;以点B 为圆心,BP 为半径作⊙B ,⊙B 与半圆O 相交于点D ,且线段CD 的中点为M .求证:MP 分别与⊙A 和⊙B 相切. 10. ABC ?中,D 为BC 边上一点,ABD ?、ADC ?的内切圆的异于BC 的外公切线交AD 于点K ,求 证:2 AB AC BC AK +-=. D C B A M O ? K C D B A