等比数列前n项和优秀教案

等比数列前n项和优秀教案 等比数列的前n项和 一、教学目标 1、掌握等比数列的前n项和，能用等比数列的前n项和公式解决相关问。 2、通过等比数列的前n项和公式的推导过程，体会错位相减法以及分类讨论的思想方法。 3、通过对等比数列的学习，发展数学应用意识，逐步认识数学的科学价值、应用价值，发展数学的理性思维。 二、教学重点与难点 重点:掌握等比数列的前n项和公式，能用等比数列的前n项和公式解决相关问题。 难点:错位相减法以及分类讨论的思想方法的掌握。 三、教学设想 本节课采用探究式课堂教学模式，即在教学过程中，在教师的启发引导下，以学生独立自主和合作交流为前提，以“正弦定理的发现”为基本探究内容，以四周世界和生活实际为参照对象，为学生提供充分自由表达、质疑、探究、讨论问题的机会，让学生通过个人、小组、集体等多种解难释疑的尝试活动，将自己所学知识应用于对任意三角形性质的深入探讨。让学生在“活动”中学习，在“主动”中发展，在“合作”中增知，在“探究”中创新。思路如下: 创设情境 探寻特例 观察实验 深入思考简单应用 布疑激趣 建立模型 提出猜想证明猜想 总结评估 四、教学过程 (一)创设问题情景 课前给出复习:等比数列的定义及性质 课首给出引例:“一个穷人到富人那里去借钱,原以为富人不愿意，哪知富人一口答应了下来,但提出了如下条件:在30天中，富人第一天借给穷人1万元,第二天借给穷人2万元,以后每天所借的钱数都比上一天多1万;但借钱第一天,穷人还1分钱,第二天还2分钱,以后每天所还的钱数都是上一天的两倍,30天后互不相欠.穷人听后觉得挺划算,本想定下来,但又想到此富人是吝啬出了名的,怕上当受骗,所以很为难。”请在座的同 1 学思考讨论一下,穷人能否向富人借钱? [设计一个学生比较感爱好的实际问题，吸引学生注重力，使其马上进入到研究者的角色中来～] (二)启发引导学生数学地观察问题，构建数学模型。 学生直觉认为穷人可以向富人借钱，教师引导学生自主探求，得出: (1，30)，30'穷人30天借到的钱:(万元) S,1，2，？，30,,465302 229穷人需要还的钱:? S,1，2，2，？，2,30 [直觉先行,思辨引路,在矛盾冲突中引发学生积极的思维!] 229教师紧接着把如何求,的问题让学生探S,1，2，2，？，2,30 究， 229 ?若用公比2乘以上面等式的两边，得到 S,1，2，2，？，230 22930? 2S,2，2，？，2，230 若?式减去?式，可以消去相同的项，得到: 30(分) ?1073(万元) , 465(万元) S,2,1,107374182330 答案:穷人不能向富人借钱 (三)引导学生用“特例到一般”的研究方法，猜想数学规律。 提出问题:如何推导等比数列前n项和公式,(学生很自然地模仿以上方法推导) 2n,2n,1 S,a，aq，aq，？，aq，aq(1)n11111 2n1n, qS,aq，aq，？，aq，aq(2)n1111 n(1)-(2)有 (1,q)S,a,aq11n na,q,1,1,n ,S,aaqa(1,q),n1n1q,,,1 ,1,q1,q, 推导等比数列前n项和的公式，教师引导讲完课本上的推导方法Sn 后， 教师:还有没有其他推导方法,(经过几分钟的思考，有学生举手发言) 2 ？aaaa，a，，a3n223n学生A: 即 ？,q？,,？,,q？a，a，，aaaa12n,112n,1 s,ana,aq11n,q？s,(q,1)ns,ann1,q。 学生B: n,2n,1s,a，aq，？，aq，aqn1111 ,2n，，？,a，qa，aq，，aq,a，qs11111,1n ，，,a，qs,a,a，qs,aq11nnnn a,aq1n？s,qs,a,aq ？s,(q,1)nn1nn1,q [“特例?类比?猜想”是一种常用的科学的研究思路～ 教师让学生进行各种尝试，探寻公式的推导的方法，同时抓住机会或创设问题情景调动了学生参与问题讨论的积极性，培养学生的探究能力，发挥了组织者、推进者和指导者的作用，而学生却是实实在在的主体活动者、成为发现者、创造者～让学生享受成功的喜悦～ ] 【基础知识形成性练习】 1、求下列等比数列的各项和: 1111(1)1，3，9，„，2187 (2)1,,,,,,？,, 248512 ,,Sa2、根据下列条件求等比数列的前n项和 nn 1a,2,q,2,n,88,2,? ? a,q,a,11n2(四)数学应用 例1 求等比数列1/2，1/4，1/8„„的 (1)前8项的和; (2)第四项到第八项的和 11解 :(1) ？a,,q,,n,8122 11(1,)n25522？S,, 812561,2 3 13(2) ？a,aq,,n,54116 11(1,)531'162 ？S,,12561,2 ,,a例2:在等比数列中， n S(1)已知 a,,4,q,2, 求 n1 a,1,a,243,q,2S(2)已知 求 1kk [例1教师板演示范，强调解题的规范。例2、例3学生解法，学生不会时要分析出不会做的症结所在，然后再由学生板演出解题过程。] 【演练反馈巩固性练习】 ,,a1、在等比数列中， n a,,1.5,a,,96Sq?已知，求和 17n a,4,S,12,qa?已知求和 331 23n,11，a，a，a，？a，？(a,0)2、求数列的前n项和。 [允许学生对不会做的题目可以不做，只要分析出不会做的症结所在，就算完成了作业。然后老师给出评价] (五)课堂小结 等差数列 等比数列 求和公式 推导方法 公式应用 [由学生对照等差数列求和总结出本节课所学内容] (六)布置作业 ,,aS1、根据下列条件，求等比数列的前n项和 nn a,3,q,2,n,6?: ?: 1 118,, a,q,a,1n22 4 a,0.12,a,0.00096,n,4?: ?: 25 5 a，a,10,a，a,, 13464 ,,a2、在等比数列中， n ?:已知，求和 qa,2,S,26S13n S,30,S,115S?:已知，求 23n S,,aS,48,S,603、在等比数列中，已知，求 3nnn2n [作业要求:允许学生对不会做的题目可以不做，只要分析出不会做的症结所在，就算完成了作业。] 五、板设计 公式推导 例题 等比数列的前n项和 练习 六、教学后记 本节课授课对象为实验班的学生，学习基础较好。同时，考虑到这是一节探究课，授课前并没有告诉学生授课内容。教学设计从学生的角度出发，采用“教师设计问题与活动引导”与“学生积极主动探究”相结合的方法分成五个步骤层次分明(1)创设问题情景、布疑激趣(2)启发引导学 )探寻特例、提出猜想(4)数学应生数学地观察问题，构建数学模型(3 用(5)知识评估。学生在未经预习不知等比数列求和公式和证明方法的前提下，在教师预设的思路中，一步步发现了公式并推导了公式，感受到了创造的快乐，激发了学习数学的爱好，教学的知识目标、能力目标、情感目标均得到了较好的落实。 5 6