“见异”也要“思迁”

“见异”也要“思迁” “见异”也要“思迁” 在我们的书本教材中，编者设置的例、习题大多具有很高的代性，对我们的教学和学习具有某些潜在功能。同学们平时在做习题的过程当中，如果能多思考、探究、勤归纳、整理，就一定会有更多、更新的发现，学习的自主能力也会得到不断地提高。下面就初一几何教材中遇到的一道习题为例来说明: 题目:已知:等腰梯形ABCD，AD?BC，对角线AC?BD，AD=3cm，BC=7cm，求梯形的面积。 一、探究解法 :因为已知梯形两底的长，故要求面积，只需求梯形的高。 这里我们介绍五种做法: 解法一:如图(1)，过D作DE?BC于点E，过D作DF?AC交BC的延长线于点F，则?BDF是一个等腰直角三角形，DE是斜边BF上的中垂线。所以，DE=BF=(AD+BC)=5，S梯形ABCD= (3+7)×5=25。 解法二:如图(2)，过点O作OM?BC于M，延长MO交AD于N，则ON?AD。容易证得?ABC??DCB，则?1=?2，则OM为等腰直角?OBC斜边上的中线，所以OM= BC;同理可得ON为等腰直角?OAD斜边上的中线，所以ON=AD。由此，MN=OM+ON=(AD+BC)=5，所以，S梯形ABCD=(3+7)×5=25。 解法三:如图(3)，过点A、D，分别作AE?BC于E，DF?BC于F。因为?ABC 1=?2，又因为AC?BD，则?1=?2=45?，所以AE=EC ??DCB，则? =(AD+BC)=5，所以，S梯形ABCD= (3+ 7)×5=25。 解法四:如图(4)，依次连接中位线、高EG、HF的四个端点，由AC?BD，AC=BD，及三角形、梯形的中位线性质，可知四边形EHGF是一个正方形，从而，FH=EG= (AD+BC)=5。所以S梯形ABCD=(3+7)×5=25。 解法五:如图(5)，由于?AOD、?BOC都是等腰直角三角形，所以，OA=OD=AD，OB=OC= BC，所以，AC=BD=(AC+BD)=5?5，所以S梯形ABCD=S?ABC+ S?ADC= AC?BO+AC?OD= AC?BD=AC2=(5?2)2=25。 二、归纳性质 设等腰梯形的上、下底分别为a、b，腰长为c，对角线为d，高为h，中位线为m，面积为s。综观上述图形及解法，易得，对角线互相垂直的等腰梯形初具有一般等腰梯形的性质以外，还具有以下性质: (1)h=e=(a+b) (2)d=?2e= (a+b) (3)s=e2= d2=(a+b)2 (4)c= ?a2+b2 运用上述性质，可以很快解决与此有关的问题。 例1 用一块面积为800cm2的等腰梯形彩纸做风筝，为牢固起见，用竹条做梯形对角线，对角线恰好互相垂直，则需竹条 cm。 分析:本题实质上是已知对角线互相垂直等腰梯形的面积，要求对角线的长度。根据上面的性质(3)，知800=d2，d=40。所以，木条的长度为:40×2=80(cm)。 例2已知等腰梯形ABCD中，BC?AD，AC?BD于O，BD=10，AO:OC=2:3。求腰AB的长。 分析:如图(6)，因为BD=10，AO:OC=2:3，所以AO=4，OC=6。则AD=?2AO=4?2，BC=?2OC=6?2，根据上面的性质(4)可知AB=(AD2+BC2)=2?13。 三、变式拓展拓展 1 已知等腰梯形ABCD中，BC?AD，对角线AC、BD交于点O，在下列条件下试求高h与中位线m的关系，并用m表示梯形的面积s与对角线d。 (1)?BOC=120?(2)?BOC=60? 分析:作等腰梯形ABCD的高DE，则BE等于中位线m的长，在RT?BDE中，易得h与m的关系，进而可求得s、d。 (1)如图(7)，当?BOC=120?时，?DBE=30?，所以，h=m。此时，s=hm=m2，d=2h=m。 (2)如图(8)，当?BOC=60?时，?DBE=60?，所以，h=?3m。此时，s=hm=?3m2，d=2m。 拓展2 (1)如图(9)，已知等腰梯形ABCD中，AC?BD，垂足为O，AC=m，BD=n，则S梯形ABCD=。 (2)如图(10)，四边形ABCD中，AC?BD，垂足为O，AC=m，BD=n，则S梯形ABCD= 。 观察上面的(1)、(2)，你会有什么发现呢, 分析:(1)S梯形ABCD=S?abd+ S?cbd= BD?AO+ BD?CO= 2)S四边形ABCD= mn， BD?AC= mn，同理 ( 综合(1)、(2)可发现:对角线互相垂直的四边形的面积就等于两对角线的乘积的一半。 当然，在梯形中，有关图形面积的公式和结论还有，比如:在图(1)中，若S?AOD=S1，S?BOC=S2，则S?AOB=S?DOC=?S1S2;S梯形ABCD=(?S1+?S2)2，这些结论在解题中应用也非常广泛。 在我们的日常教学中，如果教师注意深入挖掘课本题，并能将课本题进行变式，综合、延伸课本题结论，合并课本题图形，就能教会学生应用课本题结论或推演解决更多题型。 数学思想方法是数学的灵魂，在教学中逐步渗透思想方法，培养学生学会多角度探索解题思路，归纳、总结解题的思想方法，是提高学生自主思维能力的有效途径～