梯形面积公式的推导

梯形面积公式的推导 《梯形面积公式的推导》教学设计 教学过程: 一、 创设情景，复习引入。 1、谈话激趣 前不久，老师到乡下看到有位菜农准备给他家的三块菜地施肥。(请看大屏幕。第一张幻灯片)可是他遇到一个麻烦。谁来说说菜农遇到了什么问题,(不知道这三块地的面积)大家能帮他算一算每块地的面积吗,(不能，因为不知道每边的长度。)后来老师让他量出了这些地各边的长度。同学们帮他算算看。(课件出示各边数据。第二张幻灯片) 2、计算 A、萝卜地是一个平行四边形，平行四边形的面积=底×高。所以这块地的面积为:5×4=20(平方米) B、白菜地是一个三角形，三角形的面积=底×高?2。所以这块地的面积为:6×3?2=9(平方米) C、青菜地是一个梯形，梯形的面积我还不会算，没办法帮助这位菜农叔叔了。 3、引入新课 师:(指着三块菜地)是啊～平行四边形、三角形、以及长方形、正方形的面积我们都会计算了。今天，我们就一起来探讨梯形的面积计算方法。(板书课题:梯形的面积计算) 二、合作探究，交流共识 1、师生共商良策 师:梯形的面积计算该怎样计算呢,大家回忆一下，在求平行四边形和三 角形面积的时候，我们是怎样推导它们的面积计算公式的, A:求平行四边形面积时，是把平行四边形沿着一条高剪开，再把剪下的一个直角三角形向右平移补到另一部分上，刚好形成一个长方形。由于拼成的长方形和原来的平行四边形的面积是相等的，所以我们可以通过计算这个长方形的面积，就可以计算出原来平行四边形的面积。 B:求三角形面积时，是用两个完全相同的三角形拼成一个平行四边形。由于拼成的平行四边形的面积是三角形面积的2倍，所以我们算出这个平行四边 ，就可以算出原来三角形的面积。 形的面积再除以2 师:两位同学对这两种图形面积公式的推导掌握得非常好。比较平行四边形和三角形面积公式的推导过程，我们不难发现。它们的共同之处在于，都是把原本不会计算面积的图形，通过“分一分”或者“拼一拼”的办法，转化成我们学过的能够计算面积的图形。通过计算转化后图形的面积，达到求出原先图形面积的目的。这种思想方法在数学上叫做“转化”。大家应该牢固树立这种转化的意识。而几何图形的转化通常有分一分、拼一拼，或者二者相结合等方法。 但是，梯形面积公式的推导也可以用转化的办法吗,如果用分一分的方法你能将梯形转化成我们能够计算面积的哪些图形呢,大家先想一想，大胆地猜一猜。 A:我估计用分一分的方法可以将将梯形转化成两个三角形。 B:我猜测用分一分的方法可以将将梯形转化成一个三角形和一个平行四边形。 C:我认为用分一分的方法可以将将梯形转化成两个直角三角形和一个长方形。 师:如果用拼一拼的方法，我们又能将梯形转化成能够计算面积的图形吗,可能会是什么图形呢, 生A:我觉得用拼一拼的方法，可能拼出一个平行四边形。 师:你是用几个图形来拼的,是(两个)什么图形, 生B;用两个完全一样的梯形可能拼成一个长方形，也可能拼成一个正方形。 师:同学们说不错，真是会动脑筋。大家愿意尝试尝试吗,(愿意) 好～请大家以四人为一个学习小组，拿出你们的实验器材，动手实验。然后议一议，并做好实验记录。 2、小组合作探究 学生以四人小组为单位进行合作探究，教师参与其中并相机指导。 3、全班交流共识 同学们的热情真高啊～现在，请各小组派代上台来汇报你们小组研究的成果，让大家一同分享分享。慢一些，边汇报边演示。 A、我们组用分一分的办法，用直线连接梯形相对的两个顶点，将梯形分成了两个(等高的)三角形。 这两个三角形的底分别等于原来梯形的上底和下底，这两个三角形的高都等于原来梯形的高。因为三角形的面积=底×高?2，所以这两个三角形的面积分别等于上底×高?2和下底×高?2，把这两个三角形的面积加起来就等于原来梯形的面积。因此: 梯形的面积=上底×高?2+下底×高?2 B、我们组用分一分的办法，从上底一顶点做另一腰的平行线，把梯形分割成一个平行四边形和一个三角形。 这个平行四边形的底等于原来梯形的上底，高等于原来梯形的高。因此用 上底×高就等于这个平行四边形的面积。分成的三角形的底等于原来梯形的下底减上底的差，高等于原来梯形的高，因此，用(下底,上底)×高?2就求出了这个三角形的面积。把这个三角形的面积和平行四边形的面积加起来就等于原来梯形的面积。因此: 梯形的面积=上底×高+(下底,上底)×高?2 C、我们组用拼一拼的办法，用两个完全相同的梯形刚好可以拼成一个平行四边形。 这个平行四边形的底等于原来梯形的上底与下底之和，这个平行四边形的高等于原来梯形的高。因为平行四边形的面积=底×高，所以拼成的这个平行四边形的面积=上底与下底之和×高。又因为这个平行四边形是用两个完全相同的梯形拼成的，所以这个平行四边形的面积等于原来梯形面积的2倍。因此用这个平行四边形的面积再除以2就可以求出原来梯形的面积，也就是: 上底+下底)×高?2。 梯形的面积=( 汇报过程中，老师相机补充、完善、纠正等，以正视听，达成共识。 4、验证统一公式 同学们用不同的方法把梯形转化成了不同的图形进而推导出不同的计算公式，并且都有各自的道理。那到底谁对谁错呢,我们来验证一下。就是同学们用各自的方法都来算算课前的那个题，看看结果如何呢, 2A、梯形的面积=2×5?2+8×5?2=25(m) 2B、梯形的面积=(8,2)×5?2+2×5=25(m) 2C、梯形的面积=(8，2)×5?2=25(m) 师:用三个公式算出来的结果完全一样，说明这三个公式是一样的，都是正确的。既然都是正确的，那你认为用哪一个公式计算梯形的面积更简洁一些 呢, 生:梯形的面积=(上底+下底)×高?2。 师 :为什么, 生:用前两个公式要五步计算才能求出梯形的面积，而用这个公式只须三步运算就能解决问题。当然简洁了。 师:实际上，前两个公式运用乘法分配律也可以变形为第三个公式。只是过程有些复杂，这里就不再演算了。 那从梯形的面积公式看，要求梯形的面积必须知道哪些条件,好，我们现在能运用公式求梯形的面积了吗, 5抽象概括 师:读面积公式，梯形的面积也可以用字母公式表示出来，梯形的面积用S表示，用a、b和h分别表示梯形的上、下底和高，那么梯形的面积公式是:S=(a+b)×h ?2 6追问:想一想，计算梯形的面积必须要知道哪些条件, 三训练反馈 1、我是小法官 (1)只有一组对边平行的四边形是梯形。( ) (2)两个面积相等的梯形一定能拼成一个平行四边形。( (3)梯形的面积,上底，下底×高?2 ( ) 2、走进生活 一条新挖的水渠。它的横切面是梯形，渠口宽2、8米，渠底宽1、4米，渠深1、2米，它的横切面的面积是多少, 3、计算下面每个图形的面积 拓展延伸 4、已知梯形的上底是20厘米,下底是34厘米,其中阴影部分的面积是340平方厘米,这个梯形的面积是多少? 四、小结: 1、这节课同学们有什么收获, 2、这节课同学们有收获，老师也有收获，你们能通过自己的操作推导出梯形的面积，老师看到你们获得了新知，老师心里就获得了快乐。 三、练习强化巩固 四、学习收获感言 附:板书设计 实验记录单 1、我们用分一分的办法，用直线连接梯形相对的两个顶点，将梯形分成了两个等高的三角形。 这两个三角形的底分别等于原来梯形的上底和下底，这两个三角形的高都等于原来梯形的高。因为三角形的面积=底×高?2，所以这两个三角形的面积 2和下底×高?2，把这两个三角形的面积加起来就等于原分别等于上底×高? 来梯形的面积。因此: 梯形的面积=上底×高?2+下底×高?2 2、我们用分一分的办法，过上底的一个顶点做另一条腰的平行线，将梯形分成了一个三角形和一个平行四边形。 分成的三角形的底等于原来梯形的上底与下底之差，三角形的高等于原来梯形的高。因为三角形的面积=底×高?2，所以分成的这个三角形的面积=;而分成的平行四边形的底等于原来梯形的上底，平行四边形的高等于原来梯形的高。因为平行四边形的面积=底×高，所以分成的这个平行四边形的面积=上底×高。把分成的三角形和平行四边形的面积加起来就等于原来梯形的面积。因此: 梯形的面积=(下底—上底)×高?2 +上底×高 3、我们用拼一拼的办法，用两个完全相同的梯形刚好可以拼成一个平行四边形。 这个平行四边形的底等于原来梯形的上底与下底之和，这个平行四边形的 高等于原来梯形的高。因为平行四边形的面积=底×高，所以拼成的这个平行四边形的面积=上底与下底之和×高。又因为这个平行四边形是用两个完全相同的梯形拼成的，所以这个平行四边形的面积等于原来梯形面积的2倍。因此用这个平行四边形的面积再除以2就可以求出原来梯形的面积，也就是: 梯形的面积=(下底+上底)×高?2