北师大版七年级下全等三角形压轴题分类解析

北师大版七年级下全等三角形压轴题分类解析 七年级下三角形综合题归类 一、 双等边三角形模型 1. (1)如图7，点O是线段AD的中点，分别以AO和DO为边在线段AD的同侧作等边三 角形OAB和等边三角形OCD，连结AC和BD，相交于点E，连结BC(求?AEB的大小; (2)如图8，ΔOAB固定不动，保持ΔOCD的形状和大小不变，将ΔOCD绕着点O旋转 (ΔOAB和ΔOCD不能重叠)，求?AEB的大小. B C B C E E A O D A O D 图7 图8 2. 已知:点C为线段AB上一点，?ACM,?CBN都是等边三角形，且AN、BM相交于O. ? 求证:AN=BM ? 求 ?AOB的度数。 ? 若AN、MC相交于点P，BM、NC交于点Q，求证:PQ?AB。 (湘潭?中考题) N M O Q P B A C 同类变式: 如图a，?ABC和?CEF是两个大小不等的等边三角形，且有一个公共顶点C，连接AF和BE. (1)线段AF和BE有怎样的大小关系?请证明你的结论; (2)将图a中的?CEF绕点C旋转一定的角度，得到图b，(1)中的结论还成立吗?作出判断并说明理由; (3)若将图a中的?ABC绕点C旋转一定的角度，请你画出一个变换后的图形c(草图即可)，(1)中的结论还成立吗?作出判断不必说明理由. 图c ADEABCMN,EBCD,3. 如图9，若?和?为等边三角形，分别为的中点，易证: CDBE,AMN，?是等边三角形( ADEACDBE, (1)当把?绕点旋转到图10的位置时，是否仍然成立,若成立,请证 明;若不成立，请说明理由; ADEAAMN(2)当?绕点旋转到图11的位置时，?是否还是等边三角形,若是，请 给出证明，若不是，请说明理由( 图9 图10 图11 图8 同类变式:已知，如图?所示，在和中，，，ADAE,ABAC,?ABC?ADE ，且点在一条直线上，连接分别为BECDMN，，，BECD，，,，BACDAEBAD，， 的中点( (1)求证:?;? AM,ANBECD,; (2)在图?的基础上，将绕点按顺时针方向旋转，其他条件不变，得到A180?ADE 图?所示的图形(请直接写出(1)中的两个结论是否仍然成立. C C N E N D A B M M D B A E 图? 图? 4. 如图，四边形ABCD和四边形AEFG均为正方形，连接BG与DE相交于点H( ?(1)证明:?ABG ?ADE ; ，(2)试猜想BHD的度数，并说明理由; ，(3)将图中正方形ABCD绕点A逆时针旋转(0?,BAE ,180?)，设?ABE的面积 SSSS为，?ADG的面积为，判断与的大小关系，并给予证明( 1212 D A G C H F E B ?ABCDGBC?ACG5.已知:如图，是等边三角形，过边上的点作，交于点，ABD EDEDB,GDAECD，在的延长线上取点，使，连接( ???AGEDAC(1)求证:; EAFEFDC?BC?AEF(2)过点作，交于点，请你连接，并判断是怎样的三角F 形，试证明你的结论( A D G E C B F 二、 垂直模型(该模型在基础题和综合题中均为重点考察内容) 考点1:利用垂直证明角相等 1. 如图，?ABC中，?ACB,90?，AC,BC，AE是BC边上的中线，过C作CF?AE，垂 足为F，过B作BD?BC交CF的延长线于D( 求证:(1)AE,CD; (2)若AC,12 cm，求BD的长( 02. (西安中考)如图(1), 已知?ABC中, ?BAC=90, AB=AC, AE是过A 的一条直线, 且B、C在A、E的异侧, BD?AE于D, CE?AE于E 。 图(1) 图(2) 图(3) (1)试说明: BD=DE+CE. (2) 若直线AE绕A点旋转到图(2)位置时(BDCE), 其余条件不变, 问BD与DE、CE的关系如何? 写出结论,可不说明理由。 ，BCA3. 直线CD经过的顶点C，CA=CB(E、F分别是直线CD上两点，且，,，,，BECCFA,( ，BCA(1)若直线CD经过的内部，且E、F在射线CD上，请解决下面两个问题: BEAF,，,，,BCA90,90,?如图1，若，则 (填“”，“”或,,EF “”号); , 0180,，,BCA?如图2，若，若使?中的结论仍然成立，则与应满足的关，BCA，, 系是 ; ，BCA，,，,BCA(2)如图3，若直线CD经过的外部，，请探究EF、与BE、AF三条线段的数量关系，并给予证明( B B B E A F D F D E E C C F A C A D 图1 图2 图3 考点2:利用角相等证明垂直 1. 已知BE，CF是?ABC的高，且BP=AC，CQ=AB，试确定AP与AQ的数量关系和位置关系 QQQAAA FFF EEEDD PPP BBBCCC 2. 如图，在等腰Rt?ABC中，?ACB=90?，D为BC的中点，DE?AB，垂足为E，过点B作BF?AC交DE的延长线于点F，连接CF( (1)求证:CD=BF; (2)求证:AD?CF; (3)连接AF，试判断?ACF的形状. 拓展巩固:如图9所示，?ABC是等腰直角三角形，?ACB,90?，AD是BC边上的中线，过C作AD的垂线，交AB于点E，交AD于点F，求证:?ADC,?BDE( C F D B A E 图9 (提示:对比此题的条件和上面那题的条件，对比此题的图形和上题的图像，有什么区别和联系,) DEAEABCDCDDEFGGC3. 如图1，已知正方形的边在正方形的边上，连接，. AEGC(1)试猜想与有怎样的位置关系，并证明你的结论; DEAEDEFGBC(2)将正方形绕点按顺时针方向旋转，使点落在边上，如图2，连接 GC和.你认为(1)中的结论是否还成立,若成立，给出证明;若不成立，请说明理由. ,ABCl,EFPFPACBC,,ACBC,,4.如图1，的边BC在直线上，且的边也 EFEFFP,ACl在直线 上，边与边重合，且 ABAP(1) 在图1中，请你通过观察、测量，猜想并写出与所满足的 数量关系和位置关系; ,EFPEPlACQ(2) 将沿直线向左平移到图2的位置时，交于点,连接 APAPBQ,BQ.猜想并写出与所满足的数量关系和位置关系，请证明你的猜想; ,EFPEPACl(3)将沿直线向左平移到图3的位置时，的延长线交的延长 APAPBQ,BQ线于点Q,连结,你认为(2)中所猜想的与的数量关系和位置关系和位置关系还成立吗,若成立，给出证明;若不成立，请说明理由. A (E) E A Q B C (F) P l B F C P l (1) (2) A E l F P B C (3) Q 三、 等腰三角形(中考重难点之一) 考点1:等腰三角形性质的应用 ，,:BAC90D,ABCABAC,BC1. 如图，中，，，是中点，，与交于EDFD,EDAB FBEAF,ACAECF,，与 交于(求证:，( EFD A F E BDC 3060ABCEAC,,，角的三角板和三角板，如图所示放置，三点在2. 两个全等的含ADE ,EMCMMEMC,一条直线上，连结，取的中点，连结(试判断的形状，并说BDBD 明理由( BM D CEA DRt,ABCACBC,，,:C90压轴题拓展:(三线合一性质的应用)已知中，，，为边AB D，,:EDF90ACCB的中点，，绕点旋转，它的两边分别交、(或它们的延长线)，EDF F于、( E 1DDEAC,当绕点旋转到于时(如图1)，易证(当绕SSS，,，EDFE，EDF,,,DEFCEFABC2 DAC点旋转到和不垂直时，在图2和图3这两种情况下，上述结论是否成立? 若成立，DE SSS请给予证明;若不成立，，，又有怎样的数量关系,请写出你的猜想，不,DEF,CEF,ABC 需证明( A AA D DDE ECFBCEBFCBF 图2图3图1 提示:此题为上面题目的综合应用，思路与第一题相似。 3. 已知:如图，?ABC中，?ABC=45?，CD?AB于D，BE平分?ABC，且BE?AC于E， 1与CD相交于点F，H是BC边的中点，连结DH与BE相交于点G。(1) BF=AC (2) CE=BF 2 (3)CE与BC的大小关系如何。 考点2:等腰直角三角形(45度的联想) 1. 如图1，四边形ABCD是正方形，M是AB延长线上一点。直角三角尺的一条直角边 CBM 经过点D，且直角顶点E在AB边上滑动(点E不与点A，B重合)，另一条直角边与?的平分线BF相交于点F. ? 如图14―1，当点E在AB边的中点位置时: ? 通过测量DE，EF的长度，猜想DE与EF满足的数量关系是 ; ? 连接点E与AD边的中点N，猜想NE与BF满足的数量关系是 ; ? 请证明你的上述两猜想. ? 如图14―2，当点E在AB边上的任意位置时，请你在AD边上找到一点N, 使得NE=BF，进而猜想此时DE与EF有怎样的数量关系并证明 2. 在Rt?ABC中，AC,BC，?ACB,90?，D是AC的中点，DG?AC交AB于点G. (1)如图1，E为线段DC上任意一点，点F在线段DG上，且DE=DF，连结EF与 CF，过点F作FH?FC，交直线AB于点H( ?求证:DG=DC ?判断FH与FC的数量关系并加以证明( (2)若E为线段DC的延长线上任意一点，点F在射线DG上，(1)中的其他条件不变，借助图2画出图形。在你所画图形中找出一对全等三角形，并判断你在(1)中得出的结论是否发生改变((本小题直接写出结论，不必证明) BB H GG F AECDADC E 图1 图2 同类变式:(期末考试原题哦) 已知:?ABC为等边三角形，M是BC延长线上一点，直角三角尺的一条直角边经过点A，且60º角的顶点E在BC上滑动，(点E不与点B、C重合)， 斜边与?ACM的平分线CF交于点F (1)如图(1)当点E在BC边得中点位置时 1猜想AE与EF满足的数量关系是 . ? 2连结点E与,,边得中点,，猜想,,和,,满足的数量关系是 . ? 3请证明你的上述猜想; ? (,)如图(,)当点,在,,边得任意位置时，,,和 EF有怎样的数量关系，并说明你的理由, AA F NF BCM EBCM图(2)图(1) E 四、 角平分线问题 1. 如图:E在线段CD上，EA、EB分别平分?DAB和?CBA, ?AEB=90?,设AD,, x 22xyxy，,,，,68250yxy,BC,，且满足 (1)求AD和BC的长;(2)你认为AD和BC还有什么关系,并验证你的结论; (3)你能求出AB的长度吗,若能，请写出推理过程;若不能，请说明理由. E C D A B 2. 如图?，OP是?MON的平分线，请你利用该图形画一对以OP所在直线为对称轴的全等 三角形。请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题: (1)如图?，在?ABC中，?ACB是直角，?B=60?，AD、CE分别是?BAC、?BCA 的平分线，AD、CE相交于点F。请你判断并写出FE与FD之间的数量关系; (2)如图?，在?ABC中，如果?ACB不是直角，而(1)中的其它条件不变，请问，你 在(1)中所得结论是否仍然成立,若成立，请证明;若不成立，请说明理由。 B B M E E D F F D P O C A A N C 图? 图? 图? (第23题图) ，BADCEAB,于EABCDACC3.(北京市中考模拟题)如图，在四边形中，平分，过作， 1，，，ABCADC并且，则等于多少, AEABAD,，()2 D C ABE 4. 如图，?ABC中，AD平分?BAC，DG?BC且平分BC，DE?AB于E，DF?AC于F. b(1)说明BE=CF的理由;(2)如果AB=，AC=，求AE、BE的长. Aa E GCB F D 五、中点问题 DDFBCGFACAC1. 在?ABC中, 为的中点， 过点的直线交于, 交的平行线 ABEBGGDEGF,EG于点。, 并交于点. 连结. BGCF,(1)求证: ; EFBECF，(2)请猜想与的大小关系, 并加以证明 ,ABC，,，BC2ADBC,BC2. 如右下图，在中，若，，为边的中点(求证:E ( ABDE,2 A BDEC BDAB,,ABCABAC,CE,ABC3. 已知中，，为的延长线，且，为的边上BDABAB CDCE,2的中线(求证(提示:倍长中线试试) C EABD ,ABCAC附加思考题:(此题有很好地思维训练价值，值得深入思考探究) 以的两边、AB MRt,ABDRt,ACE，,，,:BADCAE90N为腰分别向外作等腰和等腰，.连接，、分DE BC别是、的中点(探究:与的位置关系及数量关系( DEAMDE ,ABC?如图? 当为直角三角形时，与的位置关系是 ;线段与的AMDEAMDE 数量关系是 ; Rt,ABD,:090,,,?将图?中的等腰绕点沿逆时针方向旋转()后，如图?所示，?问A 中得到的两个结论是否发生改变,并说明理由( D ND N E AEA CMBCBM图?图?