【数学】湖北黄冈浠水县2009届高考数学二轮专题复习——圆锥曲线及轨迹问题

【数学】湖北黄冈浠水县2009届高考数学二轮专题复习——圆锥曲线及轨迹问题 专题(三)圆锥曲线及轨迹问题 主干知识整合: 求曲线轨迹方程的思想方法体现了解析几何最基本也是重要的解题思想方法,因而求曲线轨迹方程成为新高考的热点内容.试题多以解答题形式出现,它是考查我们根据曲线的几何特征熟练地运用解析几何知识将其转化为数量关系,再运用代数(如函数与方程)的知识作答的能力. 经典真题感悟: 22xy1.(08陕西卷8)双曲线(，)的左、右焦点分别是FF，，a,0b,0,,11222ab FMF过作倾斜角为30的直线交双曲线右支于点，若垂直于轴，则双曲线Mx12的离心率为( B ) 363A( B( C( D( 23 2 2(08辽宁卷10)已知点P是抛物线上的一个动点，则点P到点(0，yx,2 2)的距离与P到该抛物线准线的距离之和的最小值为( A ) 179A( B( C(5 D( 322 22xy3.(08湖南卷12)已知椭圆(a,b,0)的右焦点为F,右准线为，,122ab 5.l,离心率e=过顶点A(0,b)作AMl,垂足为M，则直线FM的斜率等,5 1于 . 2 热点考点探究: 考点一:定义法求轨迹 2例1: 已知双曲线的两个焦点分别为F、F，其中F又是抛物线 y = 4 x121的一个焦点，且点A(1, 2)，B(3, 2)在双曲线上( - (1)求点F的轨迹; 2 (2)是否存在直线y = x+m与点F的轨迹有且只有两个公共点，若存在，求2 出实数m的值，若不存在，说明理由( 解 (1) 由题意知F(1, 0)，设F(x , y)，则 | |AF|-|AF| | = | |BF|-|BF| | = 1212122a > 0(„„„„„„„„„„„? ? A(1, 2)，B(3, 2) 在已知双曲线上，且 |AF| = | BF| =(于是 -2211 (?) 当 | AF|-|AF| = |BF|-|BF|时，有 |AF| = |BF| , 再代入?得: 121222 F的轨迹为直线 x = 1除去两个点F(1, 0), D(1, 4)( 21 (?) ? 当 | AF|-|AF| = - ( |BF|-|BF| ) 时，有 | AF| + |BF| = |AF| + |BF| 12122211=> 4 = |AB| , 42 ? 点F的轨迹是以A、B两点为焦点的椭圆Q，且除去F(1, 0)，D(1, 4)两点， 21 22(x,1)(y,2)故所求的轨迹方程为 l:x = 1与Q:( y?0，y? 4 )( ，,184 (2) 设存在直线L:y = x+ m满足条件((?) 若L过点F或点D， 1 ? F、D两点既在直线l:x = 1上，又在椭圆Q上，但不在F的轨迹上， 12 ? L与F的轨迹只有一个公共点，不合题意( 2 (?) )若L不过点F和D两点，(m?1, m?3)，则L与l必有一个公共点E，且E点-1 不在椭圆Q上， ? 要使L与F的轨迹有且只有两个公共点，则L必与Q有且只有一个公共点( 2 y,x，m,,22,22由 得 3x (10 4m) x +2m 8m +1= 0, ---,xy(,1)(,2)，,1,,84, 222从而，有 ?= (10 4m) 12(2m 8m+1) = 8 ( m2m11) , ------ 当?= 0时，有m,1,23(即存在符合条件的直线 y = x+1,23( 点评 这是“定义法”求轨迹的问题(对于轨迹问题的求解，务必要注意轨迹的纯粹性与完备性，这是我们最易忽略的( 考点二:交轨法求轨迹 例2.已知常数a > 0，c = (0, a)，i = (1, 0)，经过原点O，以c +λi为方向向量的直线与经过定点A(0 , a)，以i - 2λc为方向向量的直线交于点P，其中λ?R，试问:是否存在两个定点E , F，使得 | PF | + | PF | 为定值，若存在，求出E, F的坐标，若不存在，说明理由( 解 ? c +λi = (λ, a)，i 2λc = (1, 2λa) , -- 由向量平行关系得 OP与AP的方程分别为λy = ax，y a = 2λ--ax(„„„„„„„„„„„„„„ ? 由此消去参数λ，得 点P(x ,y)满足方程为 a2(y,)2x2，,1, „„„„„„„„„„„„„„„„„ ? 1a2()82 2a,? a > 0 , 从而，有(1) 当时，方程?示的是圆，不存在符合题意的两个定2 点 E，F ; 2a,(2) 当0<时，方程?表示的是椭圆，故存在符合题意的两个定点，即为椭圆的2 1111aa22两个焦点:; (,),(,)E,aF,,a222222 2a,(3) 当时，方程?表示的是椭圆，故存在合乎题意的两个定点，即为椭圆的两个2 111122焦点:( E(0,(a，a,)),F(0,(a,a,) )2222 点评 这是“交轨法”求轨迹的问题(将向量c +λi与i- 2λc分别用坐标表出是解题的关键(回答问题时必须要分别回答，这是题目的要求(对于?也可用直线的点斜式方程求得，读者不妨试一试( 考点三:代入法(相关点法) 例3 如图, 两点分别在射线OS,OT上移动, AmmBnn(,3),(,3), 1且,O为坐标原点,动点P满足. OAOB,,,OPOAOB,，2 (1)求的值 mn, (2)求点P的轨迹C的方程,并说明它表示怎样的曲线. 1【解析】(1)由已知得 OAOBmmnnmn,,,,,,,,(,3)(,3)2,2 1 ？,,mn4 (2)设点P坐标为,得 (,)(0),xyxOPOAOB,,，由 (,)(,3)(,3)(,3())xymmnnmnmn,，,,，, 22xmn,，,yy,22？,,,,,,消去为mnxmnxx,41(0),它表示以坐标原点为,33ymn,,3(),, 2y2中心,焦点在轴上,且实轴长为2,焦距为4的双曲线的右支. x,,1x3 11【点评】 (1)的结果表示点(,)mn轨迹在曲线上,为解决(2),利用mn,xy,44 ,建立Pxy(,)与参数的关系,然后解出(用表示),代入mn,mn,xy,OPOAOB,， 1即得所求轨迹,这就是代入法. mn,4 考点四:与轨迹有关的综合题 Axy(,)Bxy(,)例4 O为坐标原点, 和两点分别在射线 xyx，,,30(0),AABB OAOB，上移动,且,动点P满足OP,,记点P的轨迹为xyx,,,30(0)OAOB,,,22C. yy(I)求的值; AB (II)求P点的轨迹C的方程,并说明它表示怎样的曲线? ykxmm,，,(0)(III)设点G(,1,0),若直线与曲线C交于M、N两点,且M、N两点都在 以G为圆心的圆上,求k的取值范围. Axy(,)Bxy(,)【解析】 (I) ?,分别在射线上, xyxy，,,,30,30AABB ？，,,,xyxy30,30, AABB xyxy,,,3,3即, AABB ？,,xxyy3,ABAB 又? OAOB,,,2 . ？，,,xxyy2ABAB , ？,,,22yyAB . ？,yy1AB OAOB，xxyy，，ABAB(II) 设由可得 pxy(,)OP,,,xy,,222 ,,，3()yyyyABAB即 xy,,,22 42222 ？,,，,yyxyyy(),()4ABAB3 24x222两式相减有: . ,,,,,44,1yyxyy即AB33yyy,,0,0,且y?、不同时为0, BABA ？,y0 2x2？轨迹C的方程为,它表示焦点在轴上的双曲线. yy,,,1(0)y3 2,x2y,,1,(III) 3, ,ykxm,，, 2222(31)230kymymk,，,,,消去,整理得: . x ykxm,，?直线与曲线C交于M、N两点, MxyNxy(,),(,)设 1122 ？,,，,,0,0,0,yyyy 1212 ,2222,(2)4(31)(30,............(1)mkmk,,,,,,,2m,,0,................................................(2)即 ,231k,,22,,,mk3,0,...........................................(3),231k,, 22由(1)整理得: mk，,,310......................................(4) 2由(3)有: 310......................................(5)k,, ？由(2)有. m,0 又?M、N在以点G为圆心的圆上, 设MN的中点为Q,则 GQMNGQMN,,,,0.即 xxyy，，1212?, Q(,)22 xxyy，，1212 ？,，,,,GQMNxxyy(1,),(,),212122 22xxyy，,1221 ？，,，,(1)()0.xx2122 xx，112212 ？，,，，,,(1)()()0.xxxx2121223 xx,? 12 xxxx，，1212 ？，，,10,26 3 ？，,,xx.122 ymymyym,,，,2,6mk1212又? xx，,，,,122kkkk31, ,63mk. ？,,2312k, 2431.....................(6)mkk,,整理得 2mmk，,40,把(6)代入(4)中有: 由 mmk,，,0,40.所以 223131kk,,又由(6)有 mk,，,代入上式得40,44kk 2191k, ？,0,4k 22? 431310,0,0mkkkmk,,,,,？,中 2于是 1910,k,, 19,,,k0,解得 19 332再由. 310,kk,,,,,得33 19综合得的取值范围为(,0), k19 规律: 1.求曲线轨迹方程是解析几何两大基本问题之一,其实质就是根据已知条件先列出轨迹满足 pxy(,)的”几何量关系”,然后通过坐标化转化为动点的坐标满足的方程,然后根据轨迹的”纯粹性”和”完备性”进行”去”和”留”. 2.探求轨迹有两大类型:一种是几何关系已知、轨迹未知,常用求轨迹的方法有直接法、相关点法(又称代入法)和参数法;另一种是曲线的类型(形状)已知,轨迹未知,常采用定义法和特定系数法. 3.如果题设条件是坐标系未确定情形,应根据条件适当选择坐标系,即保持问题一般性,又要使求出轨迹方程简炼,反映曲线的一些本质特征(如对称性等). 专题能力训练: 一(选择题: 1.(2008年浙江卷)如图,AB是平面的斜线段,A为斜足,若点P在平面内运动,使得三角aa形ABP的面积为定值,则动点P的轨迹是 ( ) A. 圆 B. 椭圆 C. 一条直线 D.两条平行直线 22xxR,,2设,常数a,0,定义运算”*”; ,若x,0,则动xxxxxx,,，,,()()12121212 点的轨迹是 ( D ) Pxxa(,), A. 圆 B. 椭圆的一部分 C.双曲线的一部分 D.抛物线的一部分 22xyFF,FFPF作，3已知分别是双曲线,,1的左、右焦点,P为双曲线上一点,过的12112236b 平分线的垂线,垂足为H,则点H的轨迹为 (C ) A. 椭圆 B. 双曲线 C. 圆 D. 抛物线 22xy4.(08全国二9)设，则双曲线的离心率的取值范围是,,1a,1e22aa(1)， ( B ) (25)，A( B( C( D( (22)，(25)，(25)， 55.(山东卷(10)设椭圆C的离心率为，焦点在X轴上且长轴长为26.若曲线113 C上的点到椭圆C的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线C的方程212为A 2222xyxy(A) (B) ,,1,,1222243135 2222xyxy (C) (D) ,,1,,12222341312 二(填空题: 2226.与圆xyx，,,40外切,又与轴相切的圆心的轨迹方程为____yxx,,8(0)或y yx,,0(0).______ 7.已知双曲线过A(,2,4)和B(4,4),它的一个焦点为F(1,0),则它的另一个焦点轨迹方程为 22(1)(4)xy,,_________ xyy,,，,,1(0,8)1(0,8)或2516 三(解答题 28.如图，在Rt?ABC中，?CBA=90?，AB=2，AC=。DO?AB于O点，OA=OB，2 DO=2，曲线E过C点，动点P在E上运动，且保持| PA |+| PB |的值不变. (1)建立适当的坐标系，求曲线E的方程; (2)过D点的直线L与曲线E相交于不同的两点M、N且M在D、N之间， DM设,，试确定实数的取值范围( ,,DN C 解: (1)建立平面直角坐标系, 如图所示?| PA |+| PB |=| CA |+| CB | 2222y=?动点P的轨迹是椭圆?，2，(),22abc,,,2,1,122A O B 2x2?曲线E的方程是 . ，y,12 22y,kx，2x，2y,2 (2)设直线L的方程为 , 代入曲线E的方程， 22(2k，1)x，8kx，6,0得设M(, 则 xy),N(x,y)11,122 ,2? ,,,(8k),4(2k，1)，6,0, , 8k, x，x,,,,122? 2k，1, 6,xx,.12? ,22k，1, |DM|1i) L与y轴重合时， ,,,|DN|3 xxx,DM32DM1ii) L与y轴不重合时， 由?得 又?, k,.,,,,2DNxxx,DN2? 或 ?0,,1 , ,x,x,0,x,x,0,2121 222x，x()xxxx(，)k6432121212,??,, ,，，2,，，221xxxx,x,x,k，6(21)1221123(2，)2k 1161332162,而 ?? ? 4,，，2,, k,,6,3(2，),8.4,,,213,32k3(2，)2k , ,,0,,1, ,110111,，,,,12,，, ,,，,2,,,,,1.?,的取值范围是. ,,,33,3,，,, 110,，,,,,3,, 19. 如图, 两点分别在射线OS,OT上移动,且,O为坐AmmBnn(,3),(,3),OAOB,,,2标原点,动点P满足. OPOAOB,， (1)求的值 mn, (2)求点P的轨迹C的方程,并说明它表示怎样的曲线. 1【解析】(1)由已知得 OAOBmmnnmn,,,,,,,,(,3)(,3)2,2 1 ？,,mn4 (2)设点P坐标为,得 (,)(0),xyxOPOAOB,,，由 (,)(,3)(,3)(,3())xymmnnmnmn,，,,，, 22xmn,，,yy,22,它表示以坐标原点为？,,,,,,消去为mnxmnxx,41(0),33ymn,,3(),, 2y2中心,焦点在轴上,且实轴长为2,焦距为4的双曲线的右支. x,,1x3 210.已知抛物线的方程为,过点的直线与抛物线相交于A、B两点,Pp(0,)xpyp,,2(0)l分别过点A、B作抛物线的两条切线和,记和相交于点M. llll1212(I) 证明:直线和的斜率之积为定值; ll12 (II) 求点M的轨迹方程. 【解析】(I) 依题意,直线的斜率存在,设直线的方程为 ykxp,，ll 222将其代入,消去整理得. xpy,2xpkxp,,,220y 设A,B的坐标分别为AxyBxy(,),(,), 1122 2则 xxp,,212 11/2将抛物线的方程改写为yx,,求导得. yx,2pp xx21ll所以过点A的切线的斜率是,过点B的切线的斜率是, k,k,1221pp xx12llkk,,,2故,所以直线和的斜率之积为定值,2. 1212p 2xx11Mxy(,)lyykxx,,,(),(II) 设yxx,,,(),,因为直线的方程为即 111112pp 2xx22l同理,直线的方程为yxx,,,(), 222pp 22xxxx1221,,,,,()(),xxxx联立这两个方程,消去得 y2122pppp xx，xx，1212xx,整理得x,,注意到,所以. ()()0xxx,,,121222 22xxxxxxxx,11111212yxxxp,，,,，,,,,()()此时 112222ppppp xx，12由(I)知, ,所以, xxpk，,2xpkR,,,122 所以点M的轨迹方程是. yp,,