为了正常的体验网站,请在浏览器设置里面开启Javascript功能!

存在性智力趣题与抽屉原理

2017-11-30 6页 doc 19KB 10阅读

用户头像

is_180829

暂无简介

举报
存在性智力趣题与抽屉原理存在性智力趣题与抽屉原理 敦掌?一 ?—团皿四|皿圃嚣;;:" 存在性智力趣题与抽屉原理 王敬庚 (北京师范大学数学科学学院北京100875) 一 本数学智力趣题集中有如下三道趣题. 1.平面上有1987个点,若其中任何三点中都有两点 的距离小于1,则必存在一个半径为1的圆,它至少盖住 这1987个点中的994个点. 2.一个正方形被9条直线分割,若其中每一条直线 都与正方形的一对对边相交,且把该正方形分成面积比 为2:3的两个梯形,则这9条直线中至少有3条直线交于 同一点. 3.平面上有n(n?4)个互不相...
存在性智力趣题与抽屉原理
存在性智力趣题与抽屉原理 敦掌?一 ?—团皿四|皿圃嚣;;:" 存在性智力趣题与抽屉原理 王敬庚 (北京师范大学数学科学学院北京100875) 一 本数学智力趣题集中有如下三道趣题. 1.平面上有1987个点,若其中任何三点中都有两点 的距离小于1,则必存在一个半径为1的圆,它至少盖住 这1987个点中的994个点. 2.一个正方形被9条直线分割,若其中每一条直线 都与正方形的一对对边相交,且把该正方形分成面积比 为2:3的两个梯形,则这9条直线中至少有3条直线交于 同一点. 3.平面上有n(n?4)个互不相同的点,每两点间用直线 段相连,若其中长度为d的线段有n+l条,则这n个点中至少 有1点,从该点出发的线段中至少有3条线段长度为 上述三道趣题有一个共同点,它们都是与数量有关 的存在性命题.关于涉及数量的存在性的证明,有一个 简单而强有力的武器——抽屉原理: 若将sn+b个苹果(S,b,n?N+,0<b<n)放入n个抽屉 中,则至少有一个抽屉中放了至少s+1个苹果.这个结论 用反证法很容易证明,因为如若不然,每个抽屉中最多 都只放了S个苹果,则全部n个抽屉中最多只放了Sn个苹 果,与苹果总数为sn+b矛盾,因此结论成立. 应用抽屉原理证明问题的关键是确定该问题的"抽 屉"是什么,"苹果"是什么,且各自的个数符合要求. 对于第1题,"抽屉"是半径为1的圆,"苹果"自然就 是这1987个点了,由于1987=993×2+1,因此由抽屉原理 知,需要2个抽屉,即需要有两个半径为1的圆盖住这 1987个点,才能得到所需要的结论.因此,能否构造出这 两个圆,就成了应用抽屉原理的关键.在1987个点中任 取一点A,以A为圆心作半径为1的oA,若oA能盖住全 ,则结论已成立.若有点不被oA盖住,即 部1987个点 AB>I.就再以为圆心作半径为1的.,这时oA和. 就盖住全部1987个点了.这是因为,若有点c不被0A和 .盖住,则AC>1,且BC>1,7.aB>1,与题设矛盾. 对于第2题,"苹果"是分割正方形的9条直线,"抽 屉"是什么呢? 设直线MN把正方形分割成面积比为2:3的两个梯 形,如图.由于点,?在一对对边上,所以这两个梯形的 高相等.于是,它们的面积比等于中位线段长之比AP: PB,EOAP:PB=2:3,从 而可知点P是正方形中 位线段A上的一个定 点(2:3的分点).于是 凡通过A上的定点PEA 与和A平行的一对对 边都相交的直线,都分 该正方形为面积比是 2:3的两个梯形.根据 CM lP/ 1 Q 对称性可得,分中位线段AB为Q:Aq=2:3的点p以及 分另一条中位线段CD为CR:RD=2:3的点R及DS: SC=2:3的点s都与点P的地位相同.于是我们得到A是和 正方形的一对对边都相交且把正方形分割成面积比为 2:3的两个梯形的直线,皆经过上述4个定点P,p,R,S 之一,因此就以这4个定点为"抽屉",9条直线分别通过 这4个定点之一,由于9=2×4+1,抽屉原理断言,至少有3 条直线通过同一点. 对于第3题,记n个不同点为Jpl,,…,记从点出 发的长度为d的线段有m条(i=1,…,n),于是从n个点出 发的长度为d的线段共有m.+m2+…+m2(n+1)条,这里 乘2是因为每条线段有两个端点,所以每条线段都被计 算了两次.我们把n点看作"抽屉",长度为d的线段看作 "苹果",2n+2条线段分给n个点,由抽屉原理可得至少有 3条线段从同一点出发. 抽屉原理的加强形式是: 设oI,啦,…,%是n个正整数,若把0I+n2+…+1个苹 果放入编号为1,2,…,n的n个抽屉中,则至少有一个号 码i(1?i?n),使第i个抽屉中至少放了1个苹果. 当每个鄢取1时,就是抽屉原理的最简单形式: 若把n+1个苹果放入n个抽屉中,则至少有一个抽屉 中要放入2个或更多个苹果. 本文前面列出的则是抽屉原理的最常用形式. 具体应用抽屉原理时,该问题中的"抽屉"和"苹果" 各是什么,往往并不是一眼就能看出的.有时巧妙之处 就在于构造出了合适的"抽屉",而有时是构造出了合适 的"苹果",问题就巧妙地解决了.请再看(下转第41页) 42 晰月号 关系及圆的切线判定方法,切线长定理是本章的第三 个重点. 从具体情境或从前提出发进行合情推理得出圆的 有关性质,及运用圆的有关性质建立数学模型解决实际 问题是本章的教学难点. 二,教学建议 1.本章内容涉及的图形很多是圆与直线,圆与三角 形的结合.它是在学生认识了点,线,面,角,相交线与平 行线,三角形,四边形的基础上学习圆的相关知识.教学 时,教师应注意复习与学习内容有关联的知识,把新知 转化为旧知,把未知转化为已知,把一般问题转化为特 殊问题,使学生在学习数学的活动中,体验数学思考的 方法,通过自主探索,合作交流,实践应用,认识和掌握 圆的基本性质;对于与圆的位置关系及圆中的计算问 题,教师应引导学生积累探究数学问题,开展数学活动 的经验,发展空间观念,形成数学能力. 2.教学中,教师要强调学生动手操作,观察思考,归 纳结论,然后有意识地引导学生说理,培养推理能力,为 学习下一章图形的全等中的命题与证明奠定基础.教师 在教学中一定要根据教材的编写特点,让学生运用轴对 称,旋转变换,运动变化的数学方法去探索圆的性质及 点与圆,直线与圆,圆与圆的位置关系,不能代替学生的 操作,更不能用处理传统教材的方法进行教学,而是将 需要探索的结论设计成问题,让学生进行有针对性的操 作,观察,思考,获得所需要的结论,然后引导学生进行 说理,培养学生的问题意识和推理意识.教师要充分发 挥学生在数学活动中的主体作用,自己仅作为数学活动 过程中的组织者,引导者,合作者;要关注过程,充分调 动每个学生的学习兴趣和积极性,促使学生人人动手, 动脑,数学地思考问题,提高学习效率. 3.教学中,教师要适当地引导学生根据已知条件, 结合图形进行拓展延伸.新课程改革强调数学问题的开 镰雌? ":搽;匝圃圆哑圆瞳 放性以及数学结论的多样性,结论的开放有利于学生创 新意识的培养.因此,教师在教学过程中不能照本宣科, 要引导学生对教材中提供的数学问题从多角度进行观 察,让学生获得更多的结论,享受学习成功的乐趣,养成 探索数学问题的良好习惯,培养发散思维能力.如教学 P48"试一试",当学生探索得出垂直于弦的直径一定平 分弦以及弦所对的弧的结论后,可引导学生进一步利用 教材中图23.1.7探究圆的半径R,弦长.,弦心距d之间的 数量关系,这样能强化垂径分弦定理的实用性.又如教 学P59"试一试",教师在归纳出三角形的内切圆,三 角形的内心,圆的外切角形的概念时,可引导学生进 一 步观察教材中的图23.2.12,并进行探究:(1)在?BC 中,已知AB=c,BC=a,AC=b,内切圆半径为R,能否求出 AABC的面积?(2)如果已知?BC的面积及三边的长, 能否求出?BC的内切圆半径?(3)馏与/C之间有 何数量关系? 4-进行课程资源开发,弥补教材中关于实际问题的 应用例题,习题的不足.在教学中,教师要结合教学内 容,适当地补充能运用圆的有关知识解决实际问题的例 题和习题.突出圆在工农业生产及日常生活中的广泛应 用价值,体现《数学课程标准》所提出的"人人学有价值 的数学,人人都能获得必须的数学,不同的人在数学上 得到不同的发展"的理念. 5.重视现代信息技术在数学教学中的运用,发挥多 媒体辅助教学的作用.教师要根据教学内容开发, 向学生提供更为丰富的学习资源,能运用图形形象地描 述问题,改变学生的学习方式,为学习数学和解决问题 提供强有力的工具.但是在运用中要注意,多媒体的演 示不能代替数学思维的过程,因此探究数学问题的过程 不能板书在课件上,而要通过教师一步一步的板演让学 生领悟数学思维的方法,提高解决数学问题的能力. 【责任编辑李闯) (上接第42页)下面这道趣题. 有1O个人,每人手中各有面值一元的硬币若干,最 少有1枚,最多不足1O枚,将他们分成两组,若每组中各 人手中的硬币数都不相同,则必有分属于两组的两个人 手中的硬币数之和恰为1O. 根据抽屉原理立刻可得1O人中必有两人手中的硬 币数相等,然而这并不是本题所要求的结论.那么本题 还能应用抽屉原理解决吗?由于本题仍然是一个涉及数 量的存在性命题,因此仍可试用抽屉原理来证明,如何 用呢?"抽屉"是什么,"苹果"又是什么? 设1O人分为A,B两组,A组有m人,各人手中的硬币 数为口?啦,…,am.曰组有z人,各人手中的硬币数为bl,6z, … ,b1.m+l=lO.对于1?i?m,有1??9,且所有互不相 等,对于1?z,有1?6,?9且所有6互不相等.要证明 存在一个i和一个,使o~+bj=10,即10一o~=bi,于是我们构造 10一口l,10一啦,…,1O一‰,对于1?i?m,亦有1?10一ai?9 且各个1O一哦互不相等. 选取1,2,…,9为"抽屉",10一口l,10一啦,…,1O—‰,bl,b2, … ,bl为"苹果",由于m+/=lO,根据抽屉原理至少存在某 个i和某个,使1o-与6同时落在一个抽屉中,即10一=6,, 即q+6,=10. 抽屉原理本身很简单,且很容易理解,但应用它需要 相当的技巧,关键在于构造出合适的"抽屉"和"苹果". 【责任编辑李闯) 4'1 譬20o6年9月号
/
本文档为【存在性智力趣题与抽屉原理】,请使用软件OFFICE或WPS软件打开。作品中的文字与图均可以修改和编辑, 图片更改请在作品中右键图片并更换,文字修改请直接点击文字进行修改,也可以新增和删除文档中的内容。
[版权声明] 本站所有资料为用户分享产生,若发现您的权利被侵害,请联系客服邮件isharekefu@iask.cn,我们尽快处理。 本作品所展示的图片、画像、字体、音乐的版权可能需版权方额外授权,请谨慎使用。 网站提供的党政主题相关内容(国旗、国徽、党徽..)目的在于配合国家政策宣传,仅限个人学习分享使用,禁止用于任何广告和商用目的。

历史搜索

    清空历史搜索