否命题与命题的否定

否命题与命题的否定 卢敏 摘 要：否命题与命题的否定是两个比较容易混淆的概念，也是高中逻辑学的重要部分，本文将对否命题与命题的否定进行一下辨析。 关键词：否命题 命题的否定 辨析 如何正确地达一个“命题的否定”及“否命题”是“简易逻辑”中的难点之一。有些同学在写原命题的否命题时，仅写了对结论的否定；还有一些同学用反证法证明问题时，却假设条件和结论都不成立。说明他们混淆了“否命题”与“命题的否定”这两个概念。事实上“否命题”与“命题的否定”是两个根本不同的概念，如果原命题是“ ”那么这个命题的否命题是“ ”,而这个命题的否定是“ ”。可见，否命题既否定条件又否定结论，而命题的否定只否定结论。 本文将通过以下几个方面对命题的否定与否命题进行分析。 一、识别否命题与命题的否定 1．命题 的否命题：既否定命题 的条件又否定命题 的结论，即若 表示命题“若 则 ”，则其否命题是“若非 ，则非 ”。 2．“非 ”叫做命题 的否定，对命题 怎样否定呢？保留其条件，否定其结论，即如果命题 是“若 ，则 ”，那么命题“非 ”是：若 ，则非 。由此可知命题 与 的条件相同，结论相反；命题 与 的真假相反； 。   定义 原命题：若 ，则 命题的否定 指对结论的否定 若 则，非 否命题 指对命题的条件结论同时否定 若非 ，则非       二、区别否命题与命题的否定 1．注意区分“命题的否定”与“否命题”这两个不同的概念。命题 的否定为“非 ”，记作 ，一般只是否定命题 的结论，否命题是对原命题“若 则 ”既否定它的条件，又否它的结论。 2．“非”是否定的意思，一个命题 经过使用逻辑联结词“非”，构成了一个复合命题“非 ”，从集合的角度可以看作是 在全集 中的补集 。“非”的含义有四条： ①“非 ”只否定 的结论； ② 与“非 ”的真假必须相反； ③“非 ”必须包含 的所有对立面； ④“非 ”必须使用否定词语。 三、实例帮您理解否命题与命题的否定 有些同学对命题的否定不知如何把握，很容易与否命题混淆，下面以具体实例作一比较。 若 是一个命题，则 是 的否定，它是对整个命题进行否定。 命题“若 则 ”的否命题是“若 则 ”，即对命题的题设与结论同时否定，例如： ①命题：（所有）质数不都是奇数（真）；否定形式：（所有）质数都是奇数（假）；否命题：有些质数是奇数（真）。 ②命题：面积相等的三角形一定是全等三角形（假）；否定形式：面积相等的三角形不一定是全等三角形（真）；否命题：面积不相等的三角形一定不是全等三角形（真）。 四、“或”、“且”连结的命题的否定形式 “ 或 ”的否定是“非 且非 ”；“ 且 ”的否定形式是“非 或非 ”。它类似于集合中的“ 、 ”，如“实数 与 均为零”的否定是“ 与 中至少有一个不为零”，而不是“ 与 都不为零”；“实数 与 中至少有一个为零”的否定是“ 与 均为零”。 五、命题的否定形式、否命题与原命题的真假关系表： 原命题 否定形式 否命题 真 假 与原命题的真假无关与逆命题真假相同 假 真       六、命题中关键词的否定表 把握好命题的否定和正确地写出命题的否命题，必须掌握一些关键词的否定，见下表： 关键词 大（小）于 是 有 全部 任何，所有的 至少有一个 至多有一个 对任意 使 真 否定 不大（小）于 不是 无 不全，不都 某些，有几个 一个也没有 至少有两个 存在 使 假                   七、含有一个量词的命题的否定 含有一个量词的全称命题的否定，有下面的结论： 全称命题 ： ，它的否定 ： 全称命题的否定是存在性命题。 含有一个量词的存在性命题的否定，有下面的结论： 存在性命题 ： ，它的否定： ： 存在性命题的否定是全称命题 八、典型例题剖析 例1写出命题“若 ≤ 或 ≤ ，则 ≤ ”的否命题 错解一：否命题为“若 ≤ 或 ≤ ，则 ” 错解二：否命题为“若 或 ，则 ”。 错解剖析：这两种结论都是错误的，在写否命题时，首先要分清是“否命题”还是“命题的否定”。“否命题”是对条件与结论分别否定，而“命题的否定”是只对结论的否定。即若原命题为 ，那么它的否命题是非 非 ，而命题的否定是 非 。其次要注意对“且”与“或”的否定。一般来说，“且”的否定是“或”，而“或”的否定是“且”。 正解：原命题的否命题为： 若 且 ，则 。 例2写出下列命题的否定，并判断其真假 （1） ： R， ≥ ；（2） ：所有的正方形都是矩形；（3） ： R， ≤ ；（4） ：至少有一个实数 ，使 。 解：（1） ： R， 。（假） 这是由于 R， ≥ 恒成立； （2） ：至少存在一个正方形不是矩形。（假） （3） ： R， 。（真） 这是由于， R， ≥ 成立。 例3已知命题 ：存在一个实数 ，使得 ，写出 。 分析：命题 有两种：（1）存在一个实数 ，使得 ≥ ；或（2）不存在一个实数 ，使得 。这两个答案哪一种正确？ 解：由 。故原命题 是真命题。又 时， ，所以分析中答案（1）也是真命题。而 与 的真假性相反，所以（1）是错误的。 答案（2）是正确的。事实上，我们不妨把命题 改写成：若一个不等式是 ，则存在一个实数 使这个不等式成立。由此可知，答案（2）才是否定了命题 的结论，得到了“ ”。 例4写出命题“若 ，则 ”的否定和否命题。 解：命题“若 ，则 ”的否定为“若 ，则 ≤ ”；否命题为：若 ，则 ≤ 。 例5原命题：①若一个三角形为锐角三角形，则它的三个角都为锐角；②菱形的对角线互相垂直；③面积相等的三角形是全等三角形，写出原命题的否定和否命题。 解：①原命题的否定：若一个三角形为锐角三角形，则它的三个内角不都为锐角。原命题的否命题为：若以个三角形不为锐角三角形，则它的三个内角不都为锐角。②原命题的否定：菱形的对角线不互相垂直。原命题的否命题为：非菱形的四边形的对角线不互相垂直。③原命题的否定：面积相等的三角形不是全等三角形。原命题的否命题为：面积不相等的三角形不是全等三角形。 例6写出下列命题的否命题。 （1） 若 ，则关于 的方程 有实数根； （2） 若 都是奇数，则 是奇数； （3） 若 则 中至少有一个为0； （4） 当 时，若 ，则 。 解：原命题的否命题分别是： （1） 若 ，则关于 的方程 无实数根； （2） 若 不都是奇数，则 不是奇数； （3） 若 则 全不为0； （4） 当 时，若 ，则 。 参考文献 [1]李亚丽：“否命题”与“命题的否定”辨析，求实篇·基本概念点精，2006年第9期 [2]李建军：浅谈命题的否定与否命题的联系与区别，求实篇·基本概念点精，2010年第10期 No proposition and the negative proposition LuMin Abstract: proposition and proposition of negative are two more confusing concept, is also an important part of high school logic, this paper will be of no proposition and the negative proposition make a discrimination. Key words: no proposition of discrimination. Negative proposition LuMin Harbin normal university  150025