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数 学(理工农医类)
第Ⅰ卷(选择
共60分)
一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目
的。
(1)若复数(a2-3a+2)+(a-1)i是纯虚数,则实数a的值为
A.1 B.2 C.1或2 D.-1
(2)设集合A={x|
},B={x|0<x<3=,那么“m
A”是“m
B”的
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
(3)设{an}是公比为正数的等比数列,若n1=7,a5=16,则数列{an}前7项的和为
A.63 B.64 C.127 D.128
(4)函数f(x)=x3+sinx+1(x
R),若f(a)=2,则f(-a)的值为
A.3 B.0 C.-1 D.-2
(5)某一批花生种子,如果每1粒发牙的概率为
,那么播下4粒种子恰有2粒发芽的概率是
A.
B.
C.
D.
(6)如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=2,AA1=1,则BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为
A.
B.
C.
D.
(7)某班级要从4名男生、2名女生中选派4人参加某次社区服务,如果要求至少有1名女生,那么不同的选派
种数为
A.14 B.24 C.28 D.48
(8)若实数x、y满足
则
的取值范围是
A.(0,1) B.
C.(1,+
) D.
(9)函数f(x)=cosx(x)(x
R)的图象按向量(m,0) 平移后,得到函数y=-f′(x)的图象,则m的值可以为
A.
B.
C.-
D.-
(10)在△ABC中,角ABC的对边分别为a、b、c,若(a2+c2-b2)tanB=
,则角B的值为
A.
B.
C.
或
D.
或
(11)又曲线
(a>0,b>0)的两个焦点为F1、F2,若P为其上一点,且|PF1|=2|PF2|,则双曲线离心率的取值范围为
A.(1,3) B.
C.(3,+
) D.
(12)已知函数y=f(x),y=g(x)的导函数的图象如下图,那么y=f(x),y=g(x)的图象可能是
第Ⅱ卷(非选择题共90分)
二、填空题:本大题共4小题,每小题4分,共16分,把
填在答题卡的相应位置.
(13)若(x-2)5=a3x5+a5x4+a3x3+a2x2+a1x+a0,则a1+a2+a3+a4+a5=__________.(用数字作答)
x=1+cos
(14)若直线3x+4y+m=0与圆 y=-2+sin
(
为参数)没有公共点,则实数m的取值范围是 .
(15)若三棱锥的三个侧圆两两垂直,且侧棱长均为
,则其外接球的表面积是 .
(16)设P是一个数集,且至少含有两个数,若对任意a、b∈R,都有a+b、a-b, ab、
∈P(除数b≠0),则称P是一个数域.例如有理数集Q是数域;数集
也是数域.有下列命题:
①整数集是数域; ②若有理数集
,则数集M必为数域;
③数域必为无限集; ④存在无穷多个数域.
其中正确的命题的序号是 .(把你认为正确的命题的序号填填上)
三、解答题:本大题共6小题,共74分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
(17)(本小题满分12分)
已知向量m=(sinA,cosA),n=
,m·n=1,且A为锐角.
(Ⅰ)求角A的大小;(Ⅱ)求函数
的值域.
(18)(本小题满分12分)
如图,在四棱锥P-ABCD中,则面PAD⊥底面ABCD,侧棱PA=PD=
,底面ABCD为直角梯形,其中BC∥AD,AB⊥AD,AD=2AB=2BC=2,O为AD中点.
(Ⅰ)求证:PO⊥平面ABCD;
(Ⅱ)求异面直线PD与CD所成角的大小;
(Ⅲ)线段AD上是否存在点Q,使得它到平面PCD的距离为
?若存在,求出
的值;若不存在,请说明理由.
(19)(本小题满分12分)
已知函数
.
(Ⅰ)设{an}是正数组成的数列,前n项和为Sn,其中a1=3.若点
(n∈N*)在函数y=f′(x)的图象上,求证:点(n,Sn)也在y=f′(x)的图象上;
(Ⅱ)求函数f(x)在区间(a-1,a)内的极值.
(20)(本小题满分12分)
某项考试按科目A、科目B依次进行,只有当科目A成绩合格时,才可继续参加科
目B的考试.已知每个科目只允许有一次补考机会,两个科目成绩均合格方可获得证
书.现某人参加这项考试,科目A每次考试成绩合格的概率均为
,科目B每次考试
成绩合格的概率均为
.假设各次考试成绩合格与否均互不影响.
(Ⅰ)求他不需要补考就可获得证书的概率;
(Ⅱ)在这项考试过程中,假设他不放弃所有的考试机会,记他参加考试的次数为
,求
的数学期望E
.
(21)(本小题满分12分)
如图、椭圆
的一个焦点是F(1,0),O为坐标原点.
(Ⅰ)已知椭圆短轴的两个三等分点与一个焦点构成正三角形,求椭圆的方程;
(Ⅱ)设过点F的直线l交椭圆于A、B两点.若直线l绕点F任意转动,值有
,求a的取值范围.
(22)(本小题满分14分)
已知函数f(x)=ln(1+x)-x1
(Ⅰ)求f(x)的单调区间;
(Ⅱ)记f(x)在区间
(n∈N*)上的最小值为bx令an=ln(1+n)-bx.
(Ⅲ)如果对一切n,不等式
恒成立,求实数c的取值范围;
(Ⅳ)求证:
2008年普通高等学校招生全国统一考试(福建卷)
数 学(理工类)
第Ⅰ卷(选择题共60分)
一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
(1)若复数
是纯虚数,则实数a的值为
A.1 B.2 C.1或2 D.-1
解:由
得
,且
(纯虚数一定要使虚部不为0)
(2)设集合
,
,那么“m
A”是“m
B”的
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
解:由
得
,可知“
”是“
”的充分而不必要条件
(3)设{an}是公比为正数的等比数列,若
,则数列
前7项的和为
A.63 B.64 C.127 D.128
解:由
及{an}是公比为正数得公比
,所以
(4)函数
,若
,则
的值为
A.3 B.0 C.-1 D.-2
解:
为奇函数,又
故
即
.
(5)某一批花生种子,如果每1粒发牙的概率为
,那么播下4粒种子恰有2粒发芽的概率是
A.
B.
C.
D.
解:独立重复实验
,
(6)如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=2,AA1=1,则BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为 A.
B.
C.
D.
解:连
与
交与O点,再连BO,则
为BC1与平面BB1D1D所成角.
,
,
(7)某班级要从4名男生、2名女生中选派4人参加某次社区服务,如果要求至少有1名女生,那么不同的选派方案种数为
A.14 B.24 C.28 D.48
解:6人中选4人的方案
种,没有女生的方案只有一种,
所以满足要求的方案总数有14种
(8)若实数x、y满足
则
的取值范围是
A.(0,1) B.
C.(1,+
) D.
解:由已知
,
,又
,故
的取值范围是
(9)函数
的图象按向量
平移后,得到函数
的图象,
则m的值可以为
A.
B.
C.-
D.-
解:
,而
的图象按向量
平移后
得到
,所以
,故
可以为
.
(10)在△ABC中,角ABC的对边分别为a、b、c,若
,则角B的值为
A.
B.
C.
或
D.
或
解: 由
得
即
,又在△中所以B为
或
(11)双曲线
(a>0,b>0)的两个焦点为F1、F2,若P为其上一点,且|PF1|=2|PF2|,则双曲线离心率的取值范围为A.(1,3) B.
C.(3,+
) D.
解:如图,设
,
,当P在右顶点处
,
∵
,∴
另外也可用三角形的两边和大于第三边,及两边差小于第三边,但要注意前者可以取到等号成立,因为可以三点一线. 也可用焦半径公式确定a与c的关系。
(12) 已知函数
的导函数的图象如下图,那么
图象可能是
解:从导函数的图象可知两个函数在
处斜率相同,可以排除B答案,再者导函数的函数值反映的是原函数增加的快慢,可明显看出
的导函数是减函数,所以原函数应该增加的越来越慢,排除AC,最后就只有答案D了,可以验证y=g(x)导函数是增函数,增加越来越快.
第Ⅱ卷(非选择题共90分)
二、填空题:本大题共4小题,每小题4分,共16分,把答案填在答题卡的相应位置.
(13)若
,则
(用数字作答)
解:令
,令
得
所以
(14) 若直线
与圆
(
为参数)没有公共点,
则实数m的取值范围是
解:圆心为
,要没有公共点,根据圆心到直线的距离大于半径可得
,即
,
(15)若三棱锥的三个侧圆两两垂直,且侧棱长均为
,则其外接球的表面积是
解:依题可以构造一个正方体,其体对角线就是外接球的直径.
,
(16)设P是一个数集,且至少含有两个数,若对任意a、b∈R,都有a+b、a-b, ab、
∈P(除数b≠0),则称P是一个数域.例如有理数集Q是数域;数集
也是数域.有下列命题:
①整数集是数域; ②若有理数集
,则数集M必为数域;
③数域必为无限集; ④存在无穷多个数域.
其中正确的命题的序号是 .(把你认为正确的命题的序号填填上)
解:①对除法如
不满足,所以排除,
②取
,对乘法
, ③④的正确性容易推得。
三、解答题:本大题共6小题,共74分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
(17)(本小题满分12分)
已知向量m=(sinA,cosA),n=
,m·n=1,且A为锐角.
(Ⅰ)求角A的大小;
(Ⅱ)求函数
的值域.
解:(Ⅰ) 由题意得
由A为锐角得
(Ⅱ) 由(Ⅰ)知
所以
因为x∈R,所以
,因此,当
时,f(x)有最大值
.
当
时,
有最小值-3,所以所求函数
的值域是
(18)(本小题满分12分)
如图,在四棱锥P-ABCD中,则面PAD⊥底面ABCD,侧棱PA=PD=
,底面ABCD为直角梯形,其中BC∥AD,AB⊥AD,AD=2AB=2BC=2,O为AD中点.
(Ⅰ)求证:PO⊥平面ABCD;
(Ⅱ)求异面直线PD与CD所成角的大小;
(Ⅲ)线段AD上是否存在点Q,使得它到平面PCD的距离为
?若存在,求出
的值;若不存在,请说明理由.