海南省、云南省高考试题

，包括:? (2008)4、设等比数列的公比，前n项和为，则( C ) 指出需要测量的数据(用字母表示，并在图中标出);?用文字和公式写出计算M，N间的距离的步骤。 A. 2 B. 4 C. 15/2 D. 17/2 17、(12)已知数列是一个等差数列，且，。 (1)求的通项;(2)求前n项和的最大值。17(解: 解:方案一:?需要测量的数据有:A点到M,N点的俯角α,β;B11 (?)设的公差为，由已知条件，，解出，( 点到M,N的俯角α,β;A,B的距离d(如图所示). 22 所以( (?)( 所以时，取到最大值( 第一步:计算AM.由正弦定理; ?(2009),.设等比数列{ }的前n 项和为 ，若 =3 ，则 =( B ) A。2 B。7/3 C。8/3 D。3 第二步:计算AN.由正弦定理; 第三步:计算MN.由余弦定理. 14.等差数列的前n项和为，且则—1/3———。 方案二:?需要测量的数据有: 7.等比数列的前n项和为，且4，2，成等差数列。若=1，则=( C) A点到M,N点的俯角α,β;B点到M,N点的俯角α,β;A,B的距离d(如图所示). 1122 A。7 B。8 C。15 D。16 ?第一步:计算BM.由正弦定理; 16(等差数列{}前n项和为。已知+-=0，=38,则m=_10______ 第二步:计算BN.由正弦定理; ,2n1}满足a,2，a,a,3?2. (2010)17((12)设数列{a，n1n1n 第三步:计算MN.由余弦定理 (1)求数列{a}的通项公式; (2)令b,na，求数列{b}的前n项和S. nnnnn 4α17.解:(1)由已知得，当n?1时， (2010)9(若cosα,,5，α是第三象限的角，则2,(A ) A(-1/2 B.1/2 C(2 D(,2 a,[(a,a)，(a,a)，…，(a,a)]，an，1n，1nnn,1211 2n,12n,32(n，1),1,3(2，2，…，2)，2,2， (2011)5(已知角的顶点与原点重合，始边与轴的正半轴重合，终边在直线上，则=( B ) 2n,1而a,2，所以数列{a}的通项公式为a,2. 1nn(A)-4/5 (B)-3/5 (C)3/5 (D)4/5 2n,1(2)由,,?2知 bnannn五(数系的扩充与复数的引入 352n,1 S,1?2，2?2，3?2，…，n?2n (2007)15(是虚数单位， 1+2i ((用的形式表示，) ? 23572n，1 从而2?S,1?2，2?2，3?2，…，n?2n(2008)2、已知复数，则( B ) A. 2 B. ,2 C. 2i D. ,2i ? ?,?得 (2009)2.已知复数，那么=( D )(文) 12352,12，12，1nnn(1,2)S,2，2，2，…，2,n?2.即S,9[(3n,1)2，2]( nnA。 B。 C。 D。 (2011)17((12)等比数列的各项均为正数，且 2.复数(D)(理) A。0 B。2 C-。2i D。2 (?)求数列的通项公式. (?)设 求数列的前项和. 解: 3，i(2010)2(已知复数z,i2，是z的共轭复数，则z?,( A ) A1/4. B.1/2 C(1 D(2 (?)设数列{a}的公比为q，由得所以。 n 4 由条件可知a>0,故。由得， 所以。 故数列{a}的通项式为a=。(? )nn (?)不等式，即，由得( 故 由函数图像可知，原不等式的解集为 (2009)24.(10)不等式选讲:设函数。 (1)若解不等式;(2)如果,,求a的取值范围( 所以数列的前n项和为 七(不等式 6(设x,y满足 (2007)24.(10)不等式选讲;设函数( A。有最小值2，最大值3 B。有最小值2，无最大值 (I)解不等式;(II)求函数的最小值( C。有最大值3，无最小值 D。既无最小值，也无最大值 24.(10)不等式选讲:如图，O为数轴的原点，A,B,M为数轴上三点，C为线段OM上的动点，设x表示C与 原点的距离，y 表示C到A距离4倍与C道B距离的6倍的和. (1)将y表示成x的函数; (2)要使y的值不超过70，x 应该在什么范围内取值,w.w.w.k. 24.分析:第(1)小问考查绝对值的几何意义——距离问题.第(2)小问考查含绝对值不等式的解法及分段思想. 【解析】(?)令，则 解:(1)y,4|x,10|+6|x,20|,0?x?30.(2)依题意,x满足 解不等式组,其解集为,9,23,.所以x?,9,23,. (2010)24((10)不等式选讲:设函数f(x),|2x,4|，1. (((((((((((((((3分 (1)画出函数y,f(x)的图象;(2)若不等式f(x)?ax的解集非空，求a的取值范围( ,2x，5，x<2，24.解:(1)由于f(x),2x,3，x?2，则函数y,f(x)的图象如图所示( 作出函数的图象，它与直线的交点为和( 所以的解集为( (?)由函数的图像可知， (2)由函数y,f(x)与函数y,ax的图象可知， 当时，取得最小值( 1当且仅当a?2或a<,2时，函数y,f(x)与函数y,ax的图象有交点( (2008)6、已知，则使得都成立的取值范围是( B ) 1故不等式f(x)?ax的解集非空时，a的取值范围为(,?，,2)?[2，，?) A.(0，) B. (0，) C. (0，) D. (0，) (2011)13(若变量满足约束条件则的最小值为 。 24、(10)不等式选讲:已知函数。 24((10)不等式选讲:设函数,其中。 (1)作出函数的图像;(2)解不等式。 (?)当时，求不等式的解集 (?)若不等式的解集为 ，求a的值。(24)解:(?)当时，24(解:(?) 图像如下: 可化为。由此可得 或。 故不等式的解集为或。 ( ?) 由 得 5 得( 为二面角的平面角( 此不等式化为不等式组 或即 或 由得平面( 因为，所以不等式组的解集为由题设可得= ，故 所以，又， 八(向量与几何体 故( (2007)2(已知平面向量，则向量(D ) 所以二面角的余弦值为( 解法二: ,( ,( ,( ,( 以为坐标原点，射线分别为轴、轴的正半轴， 8(已知某个几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸(单位:cm)，可得这个几何体的体积是( B ) 建立如图的空间直角坐标系( ,( ,( ,( ,( 设，则( 的中点，( ( 故等于 二面角的平面角( ， 所以二面角的余弦值为( (2008)8、平面向量，共线的充要条件是( D ) 12(一个四棱锥和一个三棱锥恰好可以拼接成一 个三棱柱，这个四棱锥的底面为正方形，且底面边长与各侧棱长相等，这个三棱锥的底面边长与各侧棱长也都A. ，方向相同 B. ，两向量中至少有一个为零向量 相等(设四棱锥、三棱锥、三棱柱的高分别为，，，则( B ) C. ， D. 存在不全为零的实数，， ,( ,( ,( ,( 12、某几何体的一条棱长为，在该几何体的正视图中，这条棱的投影是长为的线段，在该几何体 18((本小题满分12分) 的侧视图与俯视图中，这条棱的投影分别是长为a和b的线段，则a + b的最大值为( C ) 如图，在三棱锥中，侧面与侧面 A. B. C. 4 D. 均为等边三角形，，为中点( 13、已知向量，，且，则= ____3________ (?)证明:平面; (?)求二面角的余弦值( 15、一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直底面。已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱 【解析】(?)证明: 的体积为，底面周长为3，那么这个球的体积为 _________ 由题设，连结， 18、(12)如图，已知点P在正方体ABCD,ABCD的对角线BD上，?PDA=60?。 11111 为等腰直角三角形， 所以，且， (1)求DP与CC所成角的大小;(2)求DP与平面AADD所成角的大小。 111又为等腰三角形，故， 18(解: 如图，以为原点，为单位长建立空间直角坐标系( 且，从而( 则，(连结，( 所以为直角三角形，( 在平面中，延长交于(设， 又( 由已知，由 所以平面( (?)解法一: 可得(解得，所以( 取中点，连结，由(?)知， (?)因为， 6 所以(即与所成的角为( 由(2)可得,故可在SP上取一点N,使PN,PD.过N作PC的平行线与SC的交点即为E.连BN,(?)平面的一个法向量是( 在?BDN中知BN?PO. 又由于NE?PC,故平面BEN?平面PAC,得BE?平面PAC.由于SN?NP,2?1,故SE?EC,2?1. 解法二:(1)证明:连BD,设AC交BD于O,由题意知SO?平面ABCD.以O为坐标原点,、、分因为，所以( 别为x轴、y轴、z轴正方向,建立坐标O—xyz,如图. 可得与平面所成的角为( (2009) 8( 如图， 设底面边长为a,则高.于是S(0,0,),D(,0,0),C(0,,0), 正方体 ,(0, ,0),,(,0, ),.故OC?SD.从而AC?SD. 的棱线长为1，线段上有两个动点E，F，且，则下列结论中错误的 是(D ) (2)由题设知,平面PAC的一个法向量,(,0, ),平面DAC的一个法向量,(0,0, A. B. C.三棱锥的体积为定值 D.异面直线所成的角为 定值 ).设所求二面角为θ,则,所求二面角的大小为30?. (3)在棱SC上存在一点E使BE?平面PAC.由(2)知DS是平面PAC的一个法向量, 所在平面内，且，且9(已知O，N，P在 ，则点O，N，P依次是的(C) 且,(,0, ),,(0, ,).设, A.重心 外心 垂心 B.重心 外心 内心 C.外心 重心 垂心 D.外心 重心 内心 则,(,, ).而(注:三角形的三条高线交于一点，此点为三角型的垂心) 11(一个棱锥的三视图如图，则该棱锥的全面积(单位:c)为(A) , (A)48+12 (B)48+24 (C)36+12 (D)即当SE?EC,2?1时, .而BE不在平面PAC内,故BE?平面PAC. 36+24 (2010) 10(设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为a，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为( B ) 71122 22 B.3πaC.3πa D(5πa A(πa 14(正视图为一个三角形的几何体可以是__三棱锥、四棱锥、圆锥(其他正确答案同样给分)______((写出三种) 116(在?ABC中，D为边BC上一点，BD,2CD，?ADB,120?，AD,2.若?ADC的面积为3,，则?BAC,19((12)如图，四棱锥S-ABCD 的底面是正方形，每条侧棱的长都是地面边长的倍，P为侧棱SD上的 __ 60?______. 。 点 (?)求证:AC?SD; (?)若SD?平面PAC，求二面角P-AC-D的大小 (?)在(?)的条件下，侧棱SC上是否存在一点E，使得BE?平面PAC。若存在，求SE:EC的值; 若不存在，试说明理由。20分析:本小题主要考查线面垂直、线面平行的基本空间位置关系.第(1)问可以通过线 面垂直去求证线线垂直.第(2)问可利用第(1)问结论进一步求解.第(3)问可以从线面平行需要的条件进行转化.亦 可以从空间向量方向入手. 解法一:(1)证明:连BD,设AC交BD于O,由题意SO?AC.在正方形ABCD中,AC?BD,所以AC?平面SBD,得 18((12)如图，已知四棱锥P,ABCD的底面为等腰梯形，AB?CD，AC?BD，垂足为H，AC?SD. PH是 四棱锥的高，E为AD中点( (1)证明:PE?BC;(2)若?APB,?ADB,60?，求直线PA与平面PEH所成角的正弦值( 18.解:以H为原点，HA，HB，HP所在直线分别为x，y，z轴，线段HA的长为单位长，建立空间直角坐标 系如图， (2)设正方形边长a,则.又,所以?SDO,60?. 则A(1,0,0)，B(0,1,0)( 连OP,由(1)知AC?平面SBD,所以AC?OP,且AC?OD.所以?POD是二面角P,AC,D的平面角. (1)证明:设C(m,0,0)，P(0,0，n)(m<0，n>0)， 由SD?平面PAC,知SD?OP,所以?POD,30?,即二面角P,AC,D的大小为30?. (3)在棱SC上存在一点E,使BE?平面PAC. 7 1m(2007)6(已知抛物线的焦点为，点，则D(0，m,0)，E(2，2，0)( 1m在抛物线上，且， 则有( C ) 可得,(2，2，,n)，,(m，,1,0)( mm因为?,2,2，0,0，所以PE?BC. ,( ,( 3(2)由已知条件可得m,,3，n,1， ,( ,( 13(已知双曲线的顶点到渐近线的距离为2，焦点到渐近线的距离为6，则该双曲线的离心率为 3 ( 3313故C(,3，0,0)，D(0，,3，0)，E(2，,6，0)，P(0， 0,1)( 19((12)在平面直角坐标系中，经过点且斜率为的直线与椭圆有两个不同的 设n,(x，y，z)为平面交点和( 的法向量，则PEH(I)求的取值范围; n? EMBED Equation.DSMT4 ,0，6y,0，n? EMBED Equation.DSMT4 ,0，即z,0. (II)设椭圆与轴正半轴、轴正半轴的交点分别为，是否存在常数，使得向量与因此可以取,(1，，0)( n共线,如果存在，求K值;如果不存在，请说明理由( 219((本小题满分12分) 由,(1,0，,1)，可得|cos〈，n〉|,4， 2所以直线PA与平面PEH所成角的正弦值为4. 在平面直角坐标系中，经过点且斜率为的直线与椭圆 (2011)6(在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如右图所示，则相应的侧视图可以为( D ) 有两个不同的交点和( (I)求的取值范围; (II)设椭圆与轴正半轴、轴正半轴的交点分别为，是否存在常数， 使得向量与共线,如果存在，求值;如果不存在，请说明理由( 15(已知矩形的顶点都在半径为4的球的球面上，且,则棱锥 的体积为 。 【解析】(?)由已知条件，直线的方程为， 16(在中，，则的最大值为 。 代入椭圆方程得( 18((12)如图，四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为平行四边形，?DAB=60?,AB=2AD,PD?底面ABCD. (?)证明:PA?BD;(?)若PD=AD，求二面角A-PB-C的余弦值。 整理得 ? (18)解:(?)因为, 由余弦定理得 222从而BD+AD= AB，故BDAD又PD底面ABCD，可得BDPD 直线与椭圆有两个不同的交点和等价于， 所以BD平面PAD. 故 PABD (?)如图，以D为坐标原点，AD的长为单位长，射线DA为轴的正半轴建立空间直角坐标系D-，解得或(即的取值范围为( 则 (?)设，则， ,,,。 由方程?，(? 又(? 设平面PAB的法向量为n=(x,y,z)，则 而( 即 所以与共线等价于，将??代入上式，解得( 因此可取n= 由(?)知或，故没有符合题意的常数( 2 设平面PBC的法向量为m，则 = 4x上，那么点P到点Q(2，,1)的距离与点P到抛物线焦点距离之和(2008)11、已知点P在抛物线y 取得最小值时，点P的坐标为( A ) 可取m=(0，-1，) A. (1/4，,1) B. (1/4，1) C. (1，2) D. (1，,2) 14、过双曲线的右顶点为A，右焦点为F。过点F平行双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点故二面角A-PB-C的余弦值为 B，则?AFB的面积为______________ 九(平面解析几何 8 所以点M的轨迹方程为(,4?x?4),轨迹是两条平行于x轴的线段. 20、(12)在直角坐标系xOy中，椭圆C:的左、右焦点分别为F、F。F也是抛物线C:11222 的焦点，点M为C与C在第一象限的交点，且。 12 ?时,方程变形为,其中x?,,4,4,. (1)求C的方程;(2)平面上的点N满足，直线l?MN，且与C交于A、B两点，若?=0，11 求直线l的方程。 当0,λ,,点M的轨迹为中心在原点,实轴在y轴上的双曲线满足,4?x?4的部分; 20(解:(?)由:知(设，在上，因为，所以， 当,λ,1时,点M的轨迹为中心在原点、长轴在x轴上的椭圆满足,4?x?4的部分; 得，(在上，且椭圆的半焦距， 于是 当λ?1时,点M的轨迹为中心在原点、长轴在x轴上的椭圆. (2010)12(已知双曲线E的中心为原点，F(3,0)是E的焦点，过F的直线l与E相交于A，B两点，且AB的 中点为N(,12，,15)，则E的方程为( B ) 消去并整理得x2y2x2y2x2y2x2y23,6,1 B.4,5,1 C.6,3,1 D.5,4,A. 1 ，解得(不合题意，舍去)( 2215(过点A(4,1)的圆C与直线x,y,1,0相切于点B(2，1)，则圆C的方程_(x,3)，y,2 故椭圆的方程为( x2y220((本小题满分12分)设F，F分别是椭圆E:a2，b2,1(a>b>0)的左、右焦点，过F斜率为1的直线l与121(?)由知四边形是平行四边形，其中心为坐标原点， E相交于A，B两点，且|AF|，|AB|，|BF|成等差数列( 22 (1)求E的离心率; (2)设点P(0，,1)满足|PA|,|PB|，求E的方程( 因为，所以与的斜率相同，故的斜率( 420.解:(1)由椭圆定义知|AF|，|BF|，|AB|,4a，又2|AB|,|AF|，|BF|，得|AB|,3a. 2222 的方程为,，其中,. lyxc, c设的方程为(由消去并化简得 设A(x，y)，B(x，y)，则A，B两点坐标满足方程组 1122 (设，，，( y22222222,1.化简得(a，b)x，2acx，a(c,b),0， 因为，所以( ,2a2ca2(c2,b2则x，x,a2，b2，xx,a2，b2. 1212 =( 因为直线AB斜率为1，所以|AB|,|x,x|, . 21 44ab2ca2,b22所以(此时， 22得3a,a2，b2，故a,2b，所以E的离心率e,a,a,2. 的中点为(，)，由(1)知 (2)设ABNxy00故所求直线的方程为，或( (2009) x1，x2,a2c2c,2a2，b2，,，,3. x,,,3cyxc000 y0，14(双曲线-=1的焦点到渐近线的距离为( A ) 由||,||得,,1.即x0,,1， PAPBkPN A. B.2 C. D.1 x2y2得,3，从而,3，,3.故椭圆的方程为18，9,1. cabE 13(设已知抛物线C的顶点在坐标原点，焦点为F(1，0)，直线l与抛物线C相交于A，B两点。若AB的中点 (2011)7(设直线l过双曲线C的一个焦点，且与C的一条对称轴垂直，l与C交于 A,B两点，为C为(2，2)，则直线的方程为___ y=x __________. 的实轴长的2倍，则C的离心率为(B) 20((12)已知椭圆C的中心为直角坐标系xOy的原点，焦点在s轴上，它的一个顶点到两个焦点的距离分别 A. B. C.2 D.3 是7和1. (?)求椭圆C的方程; 14(在平面直角坐标系中，椭圆的中心为原点，焦点在 轴上，离心率为。过的直线 交(?)若P为椭圆C上的动点，M为过P且垂直于x轴的直线上的点，=λ，求点M的轨迹方程，并说于两点，且的周长为16，那么C的方程为 。 明轨迹是什么曲线。 20((12)在平面直角坐标系xOy中，已知点A(0,-1)，B点在直线y = -3上，M点满足MB//OA， MA•AB = MB•BA，20.分析:本题第(1)问求椭圆中的基本参数. M点的轨迹为曲线C。 22第(2)问考查形如(a,λ)x+by,c(其中a,b,c为定值)所表示的曲线类型,渗透着分类讨论思想. (?)求C的方程;(?)P为C上的动点，l为C在P点处得切线，求O点到l距离的最小值。 解:(1)设椭圆长半轴长及半焦距分别为a,c,由已知得解得a,4,c,3. 解: (?)设M(x,y),由已知得B(x,-3),A(0,-1). 所以椭圆C的方程为. 所以=(-x,-1-y), =(0,-3-y), =(x,-2). (2)设M(x,y),其中x?,,4,4,.由已知及点P在椭圆C上可得, 2222整理得(16λ,9)x+16λy,112,其中x?,,4,4,. 再由题意可知(+)• =0, 即(-x,-4-2y)• (x,-2)=0. 2?时,化简得9y,112, 9 A。70种 B。80种 C。100种 D。140种 所以曲线C的方程式为y=x-2. 15(7名志愿者中安排6人在周六、周日两天参加社区公益活动。若每天安排3人，则不同的安排方案共有(?)设P(x,y)为曲线C:y=x-2上一点，因为y=x,所以的斜率为x _______140_________种(用数字作答)。 (2011) 因此直线的方程为，即。 8(的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为(,) 则O点到的距离.又，所以 A。-40 B。-20 C。20 D。40 十二(概率 (2007)20((本小题满分12分) 当=0时取等号，所以O点到距离的最小值为2. 如图，面积为的正方形中有一个不规则的图形，可按下面方法估计的面积:在正方形十(算法初步 (2007)5(如果执行右面的程序框图， 中随机投掷个点，若个点中有个点落入中，则的面积的估计值为. 假设正方那么输出的( C ) 形的边长为2，的面积为1，并向正方形中随机投掷个点，以表示落入 中的点的数目( ,(2450 ,(2500 ,(2550 ,(2652 (I)求的均值; (2008) (II)求用以上方法估计的面积时，的面积的估计值与实际值之差在区间内的概率( 5、右面的程序框图，如果输入三个实数a、b、c， 附表: 要求输出这三个数中最大的数，那么在空白的判断 框中，应该填入下面四个选项中的( A ) A. c > x B. x > c C. c > b D. b > c (2009) 【解析】每个点落入中的概率均为(依题意知( 10(如果执行右边的程序框图，输入，那么输出的各个数的合等于(,) (?)( A.3 B.3.5 C.4 D.4.5 2010)7(如果执行如图的框图，输入N,5，则输出的数等于( , ) )依题意所求概率为， (? 5465A.4 B.5 C.5 D.6 ( (2008) 19、(12)A、B两个投资项目的利润率分别为随机变量X和X。根据市场分析，X和X的分布列分别为 1212 X5% 10% X2% 8% 12% 1 2 (2011) P 0.8 0.2 P 0.2 0.5 0.3 3(执行右面的程序框图，如果输入的N是6，那么输出的p是( , ) (1)在A、B两个项目上各投资100万元，Y和Y分别表示投资项目A和B所获得的利润，求方差DY、121A.120 B.720 C.1440 D.5040 DY;(2)将x(0?x?100)万元投资A项目，100,x万元投资B项目，f(x)表示投资A项目所得利润的方差2十一(计数原理 与投资B项目所得利润的方差的和。求f(x)的最小值，并指出x为何值时，f(x)取到最小值。(注:D(aX + b) = (2007) 2aDX) 16(某校安排5个班到4个工厂进行社会实践，每个班去一个工厂，每个工厂至少安排一个班，不同的安排方 法共有 240 种((用数字作答) 19(解:(?)由题设可知和的分布列分别为 (2008) 5 10 Y19、甲、乙、丙3位志愿者安排在周一至周五的5天中参加某项志愿者活动，要求每人参加一天且每天至多安排P 0.8 0.2 一人，并要求甲安排在另外两位前面。不同的安排方法共有( , ) Y 2 8 12 2 0.2 0.5 0.3 P A. 20种 B. 30种 C. 40种 D. 60种 (2009) ， 5.从5名男医生、4名女医生中选3名医生组成一个医疗小分队，要求其中男、女医生都有，则不同的组队方案， 共有( , ) ， 10 指标值分[90，94) [94，98) [98，102) [102，106) [106，110] ( 组 频数 8 20 42 22 8 (?) B配方的频数分布表 指标值分[90，94) [94，98) [98，102) [102，106) [106，110] 组 ，当时，为最小值( 频数 4 12 42 32 10 (2009)19.(12)某人向一目射击4次，每次击中目标的概率为。该目标分为3个不同的部分，第一、二、三(?)分别估计用A配方，B配方生产的产品的优质品率; 部分面积之比为1:3:6。击中目标时，击中任何一部分的概率与其面积成正比。 (?)设X表示目标被击中的次数，求X的分布列; (?)若目标被击中2次，A表示事件“第一部分至少被击中1次或第二部分被击中2次”，求P(A)19.分析:(?)已知用B配方生成的一件产品的利润y(单位:元)与其质量指标值t的关系式为 本小题第(1)问考查分层抽样和相互独立事件同时发生的概率. 从用B配方生产的产品中任取一件，其利润记为X(单位:元)，求X的分布列及数学期望.(以实验结果中第(2)问考查频率分布直方图及期望的求解. 质量指标值落入各组的频率作为一件产品的质量指标值落入相应组的概率) 解:(1)甲、乙被抽到的概率均为,且事件“甲工人被抽到”与事件“乙工人被抽到”相互独立,故甲、乙两工人都(19)解 被抽到的概率为. (?)由试验结果知，用A配方生产的产品中优质的平率为，所以用A配方生产的产品 (2)?由题意知A类工人中应抽查25名,B类工人中应抽查75名. 的优质品率的估计值为0.3。 故4+8+x+5+3,25,得x,5, 6+y+36+18,75,得y,15. 频率分布直方图如下: 由试验结果知，用B配方生产的产品中优质品的频率为，所以用B配方生产的产品 的优质品率的估计值为0.42 (?)用B配方生产的100件产品中，其质量指标值落入区间的 频率分别为0.04，,054,0.42，因此 P(X=-2)=0.04, P(X=2)=0.54, P(X=4)=0.42, 即X的分布列为 X的数学期望值EX=-2×0.04+2×0.54+4×0.42=2.68 图2 B类工人生产能力的频率分布直方图 十三(统计与统计案例 从直方图可以判断:B类工人中个体间的差异程度更小. (2007) 甲的成绩 ?, 环数 7 8 9 10 5 5 5 5 频数 , 11(甲、乙、丙三名射箭运动员在某次测试中各射箭20次，三人的测试成绩如下表 乙的成绩 . 环数 7 8 9 10 A类工人生产能力的平均数,B类工人生产能力的平均数以及全厂工人生产能力的平均数的估计值分别为 频数 6 4 4 6 123,133.8和131.1. 丙的成绩 (2011)4(有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，环数 7 8 9 10 则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为(,) 频数 4 6 6 4 A。1/3 B。1/2 C。2/3 D。3/4 19((12)某种产品的质量以其质量指标值衡量，质量指标值越大表明质量越好，且质量指标值大于或等于102 的产品为优质品，现用两种新配方(分别称为A配方和B配方)做试验，各生产了100件这种产品，并测试了 每件产品的质量指标值，得到下面试验结果: A配方的频数分布表 11 分别表示甲、乙、丙三名运动员这次测试成绩的标准差，则有( , ) 13.某企业有3个分厂生产同一种电子产品，第一、二、三分厂的产量之比为1:2:1，用分层抽样方法(每个,( ,( ,( ,( 分厂的产品为一层)从3个分厂生产的电子产品中共取100件作使用寿命的测试，由所得的测试结果算得从第(2008)16、从甲、乙两品种的棉花中各抽测了25根棉花的纤维长度(单位:mm)，结果如下: 一、二、三分厂取出的产品的使用寿命的平均值分别为980h，1020h，1032h，则抽取的100件产品的使用寿命由以上数据设计了如下茎叶图: 的平均值为___1013 _________h. 18.(本小题满分12分)(2009海南、宁夏,理18)某工厂有工人1 000名,其中250名工人参加过短期培训(称为A类 工人),另外750名工人参加过长期培训(称为B类工人).现用分层抽样方法(按A类,B类分二层)从该工厂的工人甲 乙 中共抽查100名工人,调查他们的生产能力(此处生产能力指一天加工的零件数). 3 1 27 (1)求甲、乙两工人都被抽到的概率,其中甲为A类工人,乙为B类工人; (2)从A类工人中的抽查结果和从B类工人中的抽查结果分别如下表1和表2. 7 5 5 0 28 4 表1: 5 4 2 29 2 5 生产能 ,100,110) ,110,120) ,120,130) ,130,140) ,140,150) 力分组 8 7 3 3 1 30 4 6 7 4 8 x 5 3 人数 9 4 0 31 2 3 5 5 6 8 8 表2: 生产能力分组 ,110,120) ,120,130) ,130,140) ,140,150) 8 5 5 3 32 0 2 2 4 7 9 6 y 36 18 人数 7 4 1 33 1 3 6 7 ?先确定x,y,再在答题纸上完成下列频率分布直方图.就生产能力而言,A类工人中个体间的差异程度与B类工人 中个体间的差异程度哪个更小?(不用计算,可通过观察直方图直接回答结论) 34 3 2 35 6 根据以上茎叶图，对甲乙两品种棉花的纤维长度作比较，写出两个统计结论: ?____________________________________________________________________________________ ?____________________________________________________________________________________ 16(解:(1)乙品种棉花的纤维平均长度大于甲品种棉花的纤维平均长度(或:乙品种棉花的纤维长度普遍大 于甲品种棉花的纤维长度)( 图1 A类工人生产能力的频率分布直方图 甲品 271 273 280 285 285 287 292 294 295 301 303 303 307 种: 308 310 314 319 323 325 325 328 331 334 337 352 乙品 284 292 295 304 306 307 312 313 315 315 316 318 318 种: 320 322 322 324 327 329 331 333 336 337 343 356 (2)甲品种棉花的纤维长度较乙品种棉 图2 B类工人生产能力的频率分布直方图 花的纤维长度更分散((或:乙品种棉?分别估计A类工人和B类工人生产能力的平均数,并估计该工厂工人的生产能力的平均数(同一组中的数据用 花的纤维长度较甲品种棉花的纤维长度该组区间的中点值作代表) 分析:本小题第(1)问考查分层抽样和相互独立事件同时发生的概率. 更集中(稳定)(甲品种棉花的纤维长(2)问考查频率分布直方图及期望的求解. 第 度的分散程度比乙品种棉花的纤维长度 的分散程度更大)( 解:(1)甲、乙被抽到的概率均为,且事件“甲工人被抽到”与事件“乙工人被抽到”相互独立,故甲、乙两工人都 (3)甲品种棉花的纤维长度的中位数为 307mm，乙品种棉花的纤维长度的中位数为318mm( 被抽到的概率为. (4)乙品种棉花的纤维长度基本上是对称的，而且大多集中在中间(均值附近)(甲品种棉花的纤维长度除一(2)?由题意知A类工人中应抽查25名,B类工人中应抽查75名. 故4+8+x+5+3,25,得x,5, 个特殊值(352)外，也大致对称，其分布较均匀( 6+y+36+18,75,得y,15. 频率分布直方图如下: (2009)3.对变量x, y 有观测数据理力争(，)(i=1,2,…，10)，得散点图1;对变量u ，v 有观测 数据(，)(i=1,2,…，10),得散点图2. 由这两个散点图可以判断( C) A。变量x 与y 正相关，u 与v 正相关 B。变量x 与y 正相关，u 与v 负相关 C。变量x 与y 负相关，u 与v 正相关 D。变量x 与y 负相关，u 与v 负相关 图1 A类工人生产能力的频率分布直方图 12 (3)由(2)的结论知，该地区老年人是否需要帮助与性别有关，并且从样本 数据能看出该地区男性老年人与女性老年人中需要帮助的比例有明显差异，因 此在调查时，先确定该地区老年人中男、女的比例，再把老年人分成男、女两层并采用分层抽样方法，比采用 简单随机抽样方法更好( 十四(几何证明选讲 (2007)22(,(本小题满分10分)选修4,1:几何证明选讲 图2 B类工人生产能力的频率分布直方图 从直方图可以判断:B类工人中个体间的差异程度更小. 如图，已知是的切线，为切点，是 的割线，与交于两点，圆心在 ?, 的内部，点是的中点( , (?)证明四点共圆; (?)求的大小( . A类工人生产能力的平均数,B类工人生产能力的平均数以及全厂工人生产能力的【解析】(?)证明:连结( 平均数的估计值分别为123,133.8和131.1. 因为与相切于点，所以.m (2010)6(某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1 000粒，对于没有发芽( 的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X，则X的数学期望为( B ) 因为是的弦的中点，所以( A(100 B(200 C(300 D(400 于是( 19((本小题满分12分)为调查某地区老年人是否需要志愿者提供帮助，用简单随 机抽样方法从该地区调查了500位老年人，结果如下: 由圆心在的内部，可知四边形的对角互补，所以四点共圆( 性别 男 女 (?)解:由(?)得四点共圆，所以( 是否需要志愿者 由(?)得( 需要 40 30 不需要 160 270 由圆心在的内部，可知( (1)估计该地区老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例; (2)能否有99%的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关, (3)根据(2)的结论，能否提出更好的调查方法来估计该地区的老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例, 说明理由( 所以( (2008)22、(10)几何证明选讲:如图，过圆O外一点M作它的 一条切线，切点为A，过A作直线AP垂直直线OM，垂足为P。 2; (1)证明:OM?OP = OA (2)N为线段AP上一点，直线NB垂直直线ON，且交圆O于B点。过B点的 切线交直线ON于K。证明:?OKM = 90?。 解:(?)证明:因为是圆的切线，所以( 附: 又因为(在中，由射影定理知，( 2P(K?k) 0.050 0.010 0.001 (?)证明:因为是圆的切线，(同(?)，有，又， k 3.841 6.635 10.828 n(ad,bc22K,(a，b(c，d(a，c(b，d 所以，即(又， 19.解:(1)调查的500位老年人中有70位需要志愿者提供帮助，因此该地区老年人中，需要帮助的老年人 所以，故( 70的比例的估计值为500,14%. 500×(40×270,30×16022(2009) (2)K,200×300×70×430?9.967. 22.(10)几何证明选讲: 由于9.967>6.635，所以有99%的把握认为该地区的老年人是否需要帮助与性别有关( 13 取CE的中点G,DB的中点F，分别过G,F作AC，AB的垂线，两垂线相交于H点，连接DH.因为C，B，D，如图，已知的两条角平分线AD和CE相交于H， E四点共圆，所以C，B，D，E四点所在圆的圆心为H，半径为DH. ，F在AC上，且AE=AF。 (?)证明:B,D,H,E四点共圆: (?)证明:CE平分。 0，故GH?由于?A=90AB, HF?AC. HF=AG=5，DF= (12-2)=5. 分析:此题考查平面几何知识,如四点共圆的充要条件,角平分线 的性质等. 故C,B,D,E四点所在圆的半径为5 证明:(1)在?ABC中，因为?B,60?, 十五(坐标系与参数方程 (2007)23((10)坐标系与参数方程:和的极坐标方程分别为( (?)把和的极坐标方程化为直角坐标方程; 所以?BAC+?BCA,120?.因为AD,CE是角平分线,所以?HAC+?HCA,60?.故?AHC,120?. 于是?EHD,?AHC,120?,因为?EBD+?EHD,180?,所以B,D,H,E四点共圆. (?)求经过，交点的直线的直角坐标方程( (2)连结BH,则BH为?ABC的平分线,得?HBD,30?.由(1)知B,D,H,E四点共圆, 【解析】以极点为原点，极轴为轴正半轴，建立平面直角坐标系， 所以?CED,?HBD,30?.又?AHE,?EBD,60?,由已知可得EF?AD, 两坐标系中取相同的长度单位( 可得?CEF,30?.所以CE平分?DEF. (?)，，由得(所以(2010)22((10)几何证明选讲:如图，已知圆上的弧?AC=?BD，过C点的圆的切线与BA的延长线交于E点， 2证明:(1)?ACE,?BCD(2)BC,BE×CD. ( 即为的直角坐标方程(同理为的直角坐标方程( .证明:(1)因为,，所以?BCD,?ABC. 又因为EC与圆相切于点C，故?ACE,?ABC，所以?ACE,?BCD. (?)由解得( (2)因为?ECB,?CDB，?EBC,?BCD， ，交于点和(过交点的直线的直角坐标方程为( 即 BCCD(2008)23、(10)坐标系与参数方程: 2所以?BDC??ECB，故BE,BC，即BC,BE×CD. 已知曲线C:，曲线C: 。 12(2011)22((10)几何证明选讲: (1)指出C，C各是什么曲线，并说明C与C公共点的个数; 1212如图，D，E分别为?ABC的边AB，AC上的点，且不与?ABC的顶点重合。已知AE的长为n，AD，AB的 (2)若把C，C上各点的纵坐标都压缩为原来的一半，分别得到曲线，。写出，的参数方12 长是关于的方程的两个根。 与公共点的个数和C与C公共点的个数是否相同,说明你的理由。 程。12(?)证明:C,B,D,E四点共圆; (?)若，且m=4,n=6，求C,B,D,E所在圆的半径。 23(解:(?)是圆，是直线(的普通方程为，圆心，半径( 的普通方程为(因为圆心到直线的距离为， 所以与只有一个公共点((?)压缩后的参数方程分别为 解: :(为参数); :(t为参数)( 化为普通方程为::，:， (I)连接DE，根据题意在?ADE和?ACB中， AD×AB=mn=AE×AC, 联立消元得，其判别式， 所以压缩后的直线与椭圆仍然只有一个公共点，和与公共点个数相同( 即.又?DAE=?CAB,从而?ADE??ACB (2009) 因此?ADE=?ACB 23.(本小题满分10分)选修4—4:坐标系与参数方程。 所以C,B,D,E四点共圆。 2 已知曲线C: (t为参数)， C:(为参数)。 (?)m=4, n=6时，方程x-14x+mn=0的两根为x=2,x=12. 12 (1)化C，C的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线; 故 AD=2，AB=12. 14 (2)若C上的点P对应的参数为，Q为C上的动点，求中点到直线 (t的异于极点的交点为A，与C的(?)在以O为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线与C12 为参数)距离的最小值。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 异于极点的交点为B，求. 2223.分析:参数方程的考查,即为三角函数中同角三角函数的基本关系sinx+cosx,1的应用; 解: 第(2)小问点到直线距离公式的应用. 22(I)设P(x,y),则由条件知M().由于M点在C上，所以 1解:(1)C:(x+4)+(y,3),1,C:. 12 C为圆心是(,4,3),半径是1的圆. 1 C为中心是坐标原点,焦点在x轴上,长半轴长是8,短半轴长是3的椭圆. 2 即 (2)当时,P(,4,4),Q(8cosθ,3sinθ),故M(,2+4cosθ,). 从而的参数方程为 C为直线x,2y,7,0,M到C的距离. 33 (为参数) (?)曲线的极坐标方程为，曲线的极坐标方程为。 从而当,时,d取得最小值 x,1，tcosα，x,cosθ(2010)23((10)坐标系与参数方程:已知直线C:y,tsinα，(t为参数)，圆C:y,sinθ，12 射线与的交点的极径为，射线与的交点的极径为(θ为参数)( π(1)当α,3时，求C与C的交点坐标; 12。 (2)过坐标原点O作C的垂线，垂足为A，P为OA的中点(当α变化时，求P点轨迹的参数方程，并指出它是1 所以. 什么曲线( 十六(不等式选讲 π2223.解:(1)当α,3时，C的普通方程为y,(x,1)，C的普通方程为x，y,1. 12 3(x,1，13(2007)24(,(本小题满分10分)选修;不等式选讲 联立方程组x2，y2,1，解得C与C的交点为(1,0)，(2，,2)( 12 (2)C的普通方程为xsinα,ycosα,sinα,0. 1( 设函数2点坐标为(sin，,cossin)， Aααα (I)解不等式; (II)求函数的最小值( 故当α变化时，P点轨迹的参数方程为 1sinαcosα，(α为参数)( 111122P点轨迹的普通方程为(x,4)，y,16 故P点轨迹是圆心为(4，0)，半径为4的圆( ,2x，5，x<2，24.解:(1)由于(),2x,3，x?2，则函数,()的图象如图所示( fxyfx【解析】(?)令，则 (((((((((((((((3分 作出函数的图象，它与直线的交点为和( (2)由函数y,f(x)与函数y,ax的图象可知， 1当且仅当a?2或a<,2时，函数y,f(x)与函数y,ax的图象有交点( 所以的解集为( 1故不等式f(x)?ax的解集非空时，a的取值范围为(,?，,2)?[2，，?) (?)由函数的图像可知， (2011)23((10)坐标系与参数方程:在直角坐标系xOy 中，曲线C的参数方程为(为1 当时，取得最小值(( 参数)，M是C上的动点，P点满足,P点的轨迹为曲线C 12 (?)求C的方程 2(2008)24((本小题满分10分)选修4,5:不等式选讲 已知函数( (?)作出函数的图像; 15 (?)解不等式( 因为，所以不等式组的解集为由题设可得= ，故 解:(?) 图像如下: (?)不等式，即，由得( 由函数图像可知，原不等式的解集为 (2009)24.(本小题满分10分)选修4—5:不等式选讲 如图,O为数轴的原点,A,B,M为数轴上三点,C为线段OM上的动点.设x表示C与原点的距离,y表示C到A距离的4倍与C到B距离的6倍的和. (1)将y表示为x的函数;(2)要使y的值不超过70,x应该在什么范围内取值? 分析:第(1)小问考查绝对值的几何意义——距离问题.第(2)小问考查含绝对值不等式的解法及分段思想. 解:(1)y,4|x,10|+6|x,20|,0?x?30.(2)依题意,x满足 解不等式组,其解集为,9,23,.所以x?,9,23,. (2010)24.(本小题满分10分)选修4—5;不等式选讲 设函数f(x)= (?)画出函数y=f(x)的图像; (?)若不等式f(x)?ax的解集非空，求a的取值范围. ,2x，5，x<2，.解:(1)由于f(x),2x,3，x?2，则函数y,f(x)的图象如图所示( (2)由函数y,f(x)与函数y,ax的图象可知， 1当且仅当a?2或a<,2时，函数y,f(x)与函数y,ax的图象有交点( 1故不等式f(x)?ax的解集非空时，a的取值范围为(,?，,2)?[2，，?) 2011)(24)(本小题满分10分)选修4-5:不等式选讲 设函数,其中。 (?)当时，求不等式的解集; (?)若不等式的解集为 ，求a的值。 (24)解:(?)当时，可化为。由此可得 或。 故不等式的解集为或。 ( ?) 由 得 此不等式化为不等式组 或即 或 16