三角形内心和旁心的一种“对称性”

三角形内心和旁心的一种“对称性” 三角形内心和旁心的一种“对称性” 22中学数学研究2OO6年第5期 三角形内心和旁心的一种"对称性" 华南师范大学数学科学学院(51o631)吴康 广西师范大学数学与计算机科学学院(541oo4)龙开奋 三角形三内角平分线和外角平分线交于四点:内 心和三旁心.以此四点为圆心,可作内切圆和三旁切 圆,同时切三角形三边所在直线.如图1和图5.这是非 常优美的图形.笔者发现内心和三旁心间有特殊的,有 趣的"对称性",写出来供大家评点. 本文恒设AABC 三边为a,b,c,对应三 内角为A,B,C,面积 为S,半周(长)为s,三 中线为%,m6,m.,内 径为r,三旁径为rn, ,,外径为R,内心 为,,三旁心为,n,,6, ,外心为0,垂心为 日,重心为M,九点圆 图1 (即中位三角形的外接圆)心为,,并记 u:(n2+b+c2)/2. 称为/',ABC的根全幂„.又对平面上任一点P,以 ,(P)表P到/"ABC的内心和三旁心的距离平方和,即 ,(P)=pl2+P+P,j+P.(*) 让我们对若干重要的点P求厂(P)的值,从中体验 上面提及的"对称性".笔者受到[1]中一个定理(即下 文定理1)的启发,推出定理25. 定理l„厂(0):12R2.(1) 定理2,(A)=B);,(C)=16R2.(2) 定理3,(g)=16R一(8u/9).(3) 定理4,(H)=48R2—8u.(4) 定理5,(,):21R一2u.(5) 为证明此5个定理,我们利用以下9个引理(其中 引理6和9是笔者推导的)逐步推演,探求结果. 引理1121[斯特瓦(Stewart)定理的变形]设点D 在AABC的c边所在直线上,肋=d,肋:DC:P: q,】p,q>0.若D在c边上,p+q=1,则 p6+qc=d+pqa; 若D在c边的延长线上,P—q=1,则 pqa+pb=qc+d. 证如图2,易算得BD =pa,DC=qa.对/',ABD, AACD应用余弦定理,注意 C0$ADB=-T-COSADC(两 种情形),化简可证.详略.图2 引理2„[][阿波罗尼斯(Apolloniu~)定理的变形, 即中线长定理]4m+a=2b+2c, 4mj+b=2c2十2n,4m+C=2a+2b. 证由引理1的情形1令P=q:1/2即可. 讨论„[)显然2(m+mj+m2)=3u. 引理311儿2]对平面上任一点P,均有 3(4+P曰+pC2):9PM2+2u2. 证如图3,由引理2得 6(PB+PC):12PD+3n, 9MA:4AD2:2b2+2c一 a.由引理1的情形l令P= 2/3,q;1/3得6(2加+) :6(3PM2+2DM2+MA).三 式相加化简即得证. 图3 C 讨论[显然M是到?ABc三顶点距离平方和 取最小值的点,此最小值为(a+b+C2)/3. 引理411][2]90M2+2u2:9R2.(6) 证对引理3换P为O即可. 引理5[1】【2][欧拉(Euler) 定理]0,M,F,H四点共线 (欧拉线),顺次距离比为2:l: 3.(如图4,证略) 引理6图4 9MI2=9r一3s+4u; 9f,;9r一3(s—n)+4" (7) (8) 2(106年第5期中学数学研究23 证换P为,,由引理 3,勾股定理和图5知9Mr2= 3(/A2+/B2+,c2)一2" = 313r+(s—n)+(S一6) +(s—c)]一2/Z2.化简即得 证(7).类似可证(8). 引理7111121 0/2:R—2rR: D=R+2raR. 证如图6,易见 CILc|,故B,f.C,|n 设Q为圆ABC上口Qc的中, 在BC中垂线上,故易见 BIC的圆心.如图7,易见, ?UQC.由乘幂定理知 0,)(|R—D,)=M-,y= = AI-CQ=Zi?tyQ=2r/ (9).类似可证(10). 引理8[11121 r.+rb+一r=4R; rbrc++r6=s.(12)图7 引理9 r+^+r+r=16R一2u;(13) s+(5一n)+(s—b)+(s—c):2u;(14) u=s一r一4rR=(—n)一r2+4raR.(15) 引理8和9的证明由=ra(s—n):r6(— b)=(s—c);S和4RS=abc代入化简易证. 定理1的证明由引理7,8,9得 ,(D):(R2—2rR)+?(|R+2r.R) :4R+2R?4R=12R2. 其中表示对n,b,c轮换求和,下同. 定理2的证明如图1,易见i",ABC是其旁心 ?,d,c的垂足三角形,A,,,c,厶四点共圆,仉为直 径;A,,r,,n,C四点共圆,,d为直径,等等.故LAIoC =B/2,AlbC=9W一A,nc=9一(B/2).由勾股 定理,正弦定理易得 ,(A)=(A,2+A)+(A+A)=?+,c = ).+AC).==16 定理3的证明由引理6,8,9得 )=(9r2—3s+4a2)+?[9一3(s—n)+4u2] :9(16R一2u)一6u+16u=144R一8uj(3). 定理4的证明如图4,由引理5和引理1的情形 1,令P=2/3,q=1/3得 210+ittz:31M2+20M2+MH2. 由弓I理5,6,4,7,8,9得l,2:3IM2+60Mz一210 :(9r一3s+4")/3+2(9R一2ua)/3—2(R一2rR) =3r2一S2+4R2+4rR:2r2+4R2一"2. 同理=2+4月一",等等.从而由引理8得 ,(H)=(2r+4|R一")+?(2r+4R一U2) =2(16R—2u)+16R—4/12:48R2—8"2. 讨论易证厂():4(HA+船+们). 定理5的证明类似于定理4的证明,由引理5, 2,6,4,7和定理4证明的结果得 4FI2:2Ol2+21tl2一OH2 = 2(R—2rR)+2(2r+4R一")一(9R一2u) : R—4rR+4r:(月一2r). 由欧拉不等式知?2r,故2F/:R一2r.同理可得 2巩=R+2ra,等等.从而由引理8得 哇F):(月一2r)+(R+2rd). ;4R2+4R-4R+4(16R—2u)j(5). 讨显然F|+Fl+Flb+Flc=6R. 利用F/=(R/2)一r,=(R/2)+ra,易推得着名的 费尔巴哈(Feuerbach)定理:三角形的九点圆与内切圆 相内切.且与三旁切圆相外切. 例1设A1,B1,C】为三边中点,则,(A1)=16R 一 口,,(A1)+,(1)+,(C1)=48R一2u. 例2=4Rsin(A/2),'=4Rcos(A/2),_厂(,) = 8R(2R—r.代lu=8R(2R+r,ftl+fl+ .八lb+八lc=96R. 例3设旁切圆厶,,,c分别在c,,A四边的 切点为,,,则A扎,BYh,CZo交于一点?(奈格 尔(Nage1)点),且,,,?三点共线,内分M为2:1. 还可算得.N)=16(R一Rr+r). 参考文献 单蹲译.近代欧氏几何学.上海:上 [1][美]R?A?约翰逊着, 海教育出版社,1999. [2]钟集.平面几何证题法.广州:广东科技出版社.1986.