汽车保险费的制定建模.doc

汽车保险费的制定建模.doc 车辆保险费的制定问题 摘 要 随着国民经济的持续增长与人民生活水平的不断提高，我国汽车饱有量逐年增多，随之而来的交通矛盾日益凸显。有数据明，我国的汽车数量只占到全世界汽车数量的3,，而事故率却占到全世界年均事故数的16,，每年因交通而死亡的人数排名世界第一。针对这种情况，我国从2005年5月1日起正式施行新的《道路交通安全法》。《安全法》规定，机动车驾驶员在驾驶机动车期间若不系安全带属交通违法行为，此外，还规定了在机动车上道运行之前必须购买机动车道路交通安全强制保险。 保险是投保人为了分担风险，减少经济损失的一种针对风险的投资行为。新规定出台后，保险公司为了调整运营策略，根据死亡人数以及医疗费用的变化，必须制定新的保险费用。 本论文首先基于在新法规颁布后，交通事故死亡人数减少40, 的情况下，对新的保险费用水平进行了预测。然后分别预测了在医疗费下降20,和40,的情况下，今后五年内，保险公司保费的合理价格。 问题一: 问题二: 为了预测保险费的变化，我们首先根据保险公司一年期的综合车险保单业务中的分类规则，列写出每一年每一类总投保人数的地推表达式: NSNNNNNNNNN,，,,，,,，,,jj死死死0(1)1(1)2(1)jjj,,,总0索自索索自索索自索0(1)0(1)1(1)1(1)2(1)2(1)jjjjjj,,,,,, NNNNNNNNN,,,，，，,,注死死0(1)0(1)3(1)jjj,,,总总10(1)jj,索自索索自索0(1)0(1)3(1)3(1)jjjj,,,, NNNNNN,,,，， 注死1(1)1(1)jj,,总总21(1)jj,索自索1(1)1(1)jj,, NNNNNNNNNNN,,,，，，,,，，注死注死3(1)3(1)2(1)2(1)jjjj,,,,总总总33(1)2(1)jjj,,索自索索自索3(1)3(1)2(1)2(1)jjjj,,,, 又根据每一年汽车的销售量估算出每一年新增的投保人数(汽车销量的年均增长率 c等于新增投保人数的年均增长率)。由表一中本年度新增的投保人数S=384620为基础，0 j用式可以算得距本年度为j年时的新增投保人数。又假设死亡人数与索SSc,，，(1)j0 赔人数的比例不变，注销人数与总投保人数不变，索赔人数与总投保人数比例保持不变， NNN死ij注ij索ij即分别有， ， 保持不变。由表一，表二中本年度的数据 Q,A,B,iijijNNN总ij总ij索ij 关键词: 汽车保险费 泊松分布 一 问题重述 某保险公司只提供一年期的综合车险保单业务，这一年内,若客户没有要求赔偿，则给予额外补助。所有参保人被分为0,1,2,3四类。类别越高，从保险费中得到的折扣越多。在计算保险费时,新客户属于0类，在客户延续其保险单时，若在上一年没有要求赔偿，则可提高一个类别;若客户在上一年要求过赔偿，如果可能则降低两个类别，否则为0类。客户退出保险，则不论是自然的还是事故死亡引起的，将退还其保险金的适当部分。现在政府准备在下一年开始实施安全带法规，如果实施了该法规，虽然每年的事故数量不会减少，但事故中受伤司机和乘员数肯定会减少，从而医药费将有所下降。这是政府预计会出现的结果，从而期望减少保险费的数额。根据采用这种法规的国家的统计资料可以知道，死亡的司机会减少40%，遗憾的是医疗费的下降不容易确定下来，有人认为,医疗费会减少20%到40%。假设当前年度该保险公司的统计如下表1和表2: 表1 本年度发放的保险单数 类 没有索赔时 续保人数 新投保人数 注销人数 总投保人数 别 补贴比例(%) 0 0 1280708 384620 18264 1665328 1 25 1764897 1 28240 1764898 2 40 1154461 0 13857 1154461 3 50 8760058 0 324114 8760058 基本保险费:775元;总收入:6182百万元，偿还退回:70百万元，净收入:6112百万元; 支出:149百万元，索赔支出:6093百万元，超支:130百万元。 表2 本年度的索赔款 平均修理死亡司 平均医疗平均赔偿受伤司机类别 索赔人数 死亡率 费程度机人数 费(元) 费(元) 人数 (元) 0 582756 11652 0.0199(0.0204) 1020 1526 3195 571104 1 582463 23315 0.0400(0.041) 1223 1231 3886 559148 2 115857 2292 0.0198(0.0201) 947 823 2941 113565 3 700872 7013 0.0100(0.01) 805 814 2321 693859 总修理费:1981百万元，总医疗费:2218百万元， 总死亡赔偿费:1894百万元，总索赔费:6093百万元。 问题一: 在国家采取新的安全法规后保险公司的保险费是否会减少, 问题二: 在医疗费下降20%和40%的情况下，公司今后5年每年保险费应收多少才比较合理, 二 模型假设 假设一:每辆车在购买后都必须进行强制保险; 假设二:年交通事故数量无变化,交通事故死亡率恒定; 假设三:注销人数为自动终止保险人数与死亡人数之和; 假设四:注销人数与总投保人数比例不变; 假设五:死亡人数与索赔人数比例不变; 假设六:一年中每辆车出事故的概率呈泊松分布; 假设七:五年内汽车的销量与投保人数之间线性相关; 假设八:注销的人数中自动退保的索赔过的人数与注销的人数中自动退保的人数比 例不变; 假设九:平均死亡赔偿费、平均修理费、平均医疗费、平均注销偿还费均不变; 假设十:保险公司的支出与总投保人数成正比; 假设十一:保险公司的收入全部来自车辆保险这一个险种; 假设十二:保险公司的支出与其业务量呈比例; 三 符号说明 X j第j年的基本保险费。 N 总ij第j年第i类投保中的总投保人数。 N 自ij第j年第i类投保中注销的人数中自动退保的人数。 N 自索ij第j年第i类投保中注销的人数中自动退保的索赔过的人数。 N 自非ij第j年第i类投保中注销的人数中自动退保的未索赔过的人数。 N 死ij第j年第i类投保中死亡的人数。 N 索ij第j年第i类投保中索赔的人数。 N 注ij第j年第i类投保中注销的人数。 S j第j年新投保的人数。 A i第i类投保人中死亡人数与索赔人数的比例 B i第i类投保人中注销人数与总投保人数的比例 η 医疗费下降的百分比 W 相关平均费用 *实施新法规后，每一类投保人中每年死亡的司机数 N ij死 年度支出费用 Z 四 问题分析 五 模型的建立与求解 5.1模型一的建立 针对问题一，在国家采取新的安全法规后保险公司的保险费是否会减少,我们首先建立模型，给出保险公司各项收入支出费用的关系即“保险公司总收入= 总偿还退回+总索赔支出+年度支出”。我们分别给出出各项费用的计算公式。通过本年度的表1与表2数据，我们经过计算得出在下一年各项投保人数。最终计算出实施安全法规前后保险费分别是多少。 5.1.1各项投保费用 5.1.1.1第j年偿还退回计算 由假设四注销人数与总投保人数比例不变;假设九平均注销偿还费不变;根据表格1与表格2，可以得到平均注销偿还退回费计算公式如下: 平均注销偿还退回费: 3 WN,,70000000/182()元 ,退注i0,i0 3 WN，则第j年总偿还退回费: ,退注ij,i0 5.1.1.2 索赔支出模块计算 3 NW，W表示第i类投保的平均修理费; 总修理费: , 修i,修索i i,i0 3 NW， 总死亡赔偿费:W表示第i类投保的平均死亡赔偿费; , , 死i死死ii ,i0 3 NW， ,医伤ii总医疗费 , W表示第i类投保的平均医疗费。 医i,i0 由表2 可得: WWNWNWNN,，,，,， /，， 医i死死ii修伤i i 索索索iii00 得出保险公司索赔支出为: 333 NWNWNW，，，，， ,,,医死死i修伤iii索ii ,,,iii000 5.1.1.3保险公司年度支出费用 保险公司的支出费用主要用来发放员工工资，公司运行等等，因此与公司业务量成比例关系，即与总投保人数比例不变，设比例系数为g。根据表一中本年度支出与总投保人数， 则: 3 gN,149000000/,总i0i,0 第j年年度支出费用: 33 ZNN,，149000000/ ,,j总ij总i0,,ii00 5.1.1.4保险公司总收入 保险公司的总收入包括两部分。一是保险公司收取的每个人的基本保险费，二是返还额外补助。根据一年内,若客户没有要求赔偿，则给予额外补助，即所要额外补助的人数即没有索赔的人数;每一类别额外补助有不同的比例。以上条件可以计算保险公司的总收入为: 3 XNNNN，,，,，,，(0.250.400.50),j总没索1没索2没索3ijjjj i=0 5.1.2下一年各项投保人数 5.1.2.1下一年(即j=1)各类别总投保人数 (?)第0类下一年总投保人数 0类下一年总投保人数=下一年的新投保人数+0类索赔人数—0类死亡人数―0类自动退保人中索赔过的人数+1类索赔人数—1类死亡人数―1类自动退保人中索赔过的人数+2类索赔人数—2类死亡人数―2类自动退保人中索赔过的人数，即: NSNNNNNNNNN,，,,，,,，,, 1死死死0(0)1(0)2(0)总0(1)索自索索自索索自索0(0)0(0)1(0)1(0)2(0)2(0) (?)第1类下一年总投保人数 1类下一年总投保人数=0类总投保人数—0类注销人数—0类索赔人数+0类死亡人数+0类自动退保人中索赔过的人数+3类索赔人数—3类死亡人数―3类自动退保人中索赔过的人数，即: NNNNNNNNN,,,，，，,, 注死死0(0)0(0)3(0)总总1(1)0(0)索自索索自索0(0)0(0)3(0)3(0) (?)第2类下一年总投保人数 2类下一年总投保人数=1类当年投保总人数—1类降为0类的人数(即索赔人数)—1类注销人数+1类死亡人数+1类自动退保人中索赔过的人数，即: NNNNNN,,,，， 注死1(0)1(0)总总2(1)1(0)索自索1(0)1(0) (?)第3类下一年总投保人数 3类下一年总投保人数=3类当年总投保人数—3类降为1类的人数(索赔人数)—3 类注销人数+3类死亡人数+3类自动退保人中索赔过的人数+2类总投保人数—2类索赔人数—2类注销人数+2类死亡人数+2类自动退保人中索赔过的人数，即: NNNNNNNNNNN,,,，，，,,，，注死注死3(0)3(0)2(0)2(0)总总总3(1)3(0)2(0)索自索索自索3(0)3(0)2(0)2(0) 5.1.2.2下一年新投保的人数S 1 根据近几年汽车销量统计，数据拟合可以看出汽车销量近几年成线性增长，由数据拟合图(见附录1)得到每年汽车销量的增加比例，由于每辆车必须强制保险，我们可以将汽车销量增加比例近似看做下一年的新增投保人数的增加比例。得到新投保人数增长率c=0.2364695。由表1中本年度的新投保人数S=384620，得: 0 SSc,，，,(1)475571 10 5.1.2.3下一年投保中索赔的人数N 索i1 由概率论与数理统计的相关知识知道，对于试验成功概率很小而试验次数很多的随机过程，都可以很自然的应用泊松分布的理论。对于第i类总投保人数中的每一个人，因为他由于发生事故而索赔的概率很小，所以这个索赔的事件是个小概率事件，从而服从泊松分布，所以他索赔k次的概率p为: ,,kp(K,k),(e，,),k!(,,0) iii (K为随机变量) 所以，他至少索赔一次的概率,为: ,,i,,p(K,1),1,p(K,0),e iii 所以在N个投保者中有x个人向保险公司索赔的概率为: 总i(0) xxm总i,xk,,,,m总i,kp(x),C，,，(1,,),C，(1,e)，(e) iiim总im总i N索赔人数用它的期望来表示即为: 总i(0),,iNpxxNe,，,，,[()](1) ,i总(0)索(0)ii1,x所以: ,,,,lnln()NNN i总总(0)(0)ii索i(0) 由上所述可得到索赔人数与总投保人数的关系为: ,,iNNe,，,(1) 总i(0)索i(0) 由于λi为常数，令 ,,iQe,,(1), Qi为常数 i 由题目中所给的表1与表2中总投保人数与索赔人数可得: N索i0 Q,iN总i0 Q0 0.349934668 Q 10.330026438 Q 20.100355924 Q 30.080007689 即 NNQ,，i总i(1)索i(1) 5.1.2.4下一年第i类投保中死亡的人数N 死i1 由假设死亡司机人数与索赔人数比例不变，A为比例系数， 由于A是常数，则依据表1、表2按今年死亡司机人数与索赔人数计算: i N死i0A, iN索i0 得到: A0 0.019994646 A 10.040028294 A 20.019783008 A 30.010006107 则 NNA,，i(1)死i(1)索i(1) 5.1.2.5下一年投保中注销的人数N 注i1 由假设注销人数与总投保人数比例不变，B为比例系数， 由于Bi是常数，则依据表1按今年注销人数与总投保人数比例计算 N注i0B, iN总i0 得到: B0 0.010967209 B 10.016000925 B 20.012003004 B 30.03699907 NNB,，则 ij注ij总ij 5.1.2.6下一年投保中注销的人数N中自动退保的人数N注自i1 i1 NNN,, 注死i1i1自i1 5.1.2.7下一年投保中注销的人数中自动退保的索赔过的人数N 自索i1 由假设:注销的人数中自动退保且索赔过的人数与注销的人数中自动退保的人数比例不变，可得 N索i0==NNNQ，，i自自i1i1自索i1 N总i0 由以上公式得出下一年即第一年各项投保人数 没有索赔时新投保人注销人年续保人数 总投保人数 索赔人数 死亡司机人数 补贴比例 数 数 份 第0 18800 599889 11995 1714288 475570 2189858 125% 0 27950 576478 23075 1746762 1746762 年 40% 0 14153 118333 2341 1179135 1179135 50% 0 325431 703720 7041 8795655 8795655 5.2模型求解 根据关系:保险公司总收入= 总偿还退回+总索赔支出+年度支出 即下一年: 3 XNNNN，,，,，,，,(0.250.400.50),总1没索11没索2(1)没索3(1)i1 i=0 3333 WNNWNWNWZ，，，，，，，， ,,,,j退医注死死iji修伤i 索i iii ,,,,0000iiii 实施安全后，即死亡人数减少40,时，即法规实施后的死亡人数 *NN=(140%)，, 死死ijij 下一年(即j=1)的保险费为: *X=648元 0 *通过对比安全法规实施前后保险费的变化，很明显X<775。实施安全带法规，虽0然每年的事故数量不会减少，事故中受伤司机和乘员数肯定会减少，保险费的数额会相 应减少。 5.3模型二的建立 在模型一的基础上，对模型进行改进，给出了递推公式预测今后五年各项投保人数， 并计算了医疗费下降的情况下基本保险费应为多少。 5.3.1各类第j年总投保人数: NSNNNNNNNNN,，,,，,,，,,jj死死死0(1)1(1)2(1)jjj,,,总0索自索索自索索自索0(1)0(1)1(1)1(1)2(1)2(1)jjjjjj,,,,,, NNNNNNNNN,,,，，，,,注死死0(1)0(1)3(1)jjj,,,总总10(1)jj,索自索索自索0(1)0(1)3(1)3(1)jjjj,,,, NNNNNN,,,，， 注死1(1)1(1)jj,,总总21(1)jj,索自索1(1)1(1)jj,, NNNNNNNNNNN,,,，，，,,，，注死注死3(1)3(1)2(1)2(1)jjjj,,,,总总总33(1)2(1)jjj,,索自索索自索3(1)3(1)2(1)2(1)jjjj,,,, 5.3.2第j年新投保的人数S j j在模型一基础上由得: SSc,，，(1)j0 年份 0 1 2 3 4 5 新投保384620 475570.906 588028.9 727079.8 899012.1 1111601.013 人数 5.3.3第j年第i类各项投保人数 NNQ,，i总ij索ij NNA,，ij死ij索ij NNB,， ij注ij总ij NNN,, 注死ijij自ij NNNNNQ=/=，， i自总自ij0iji自索索ij0i 根据上面的算法，我们可以通过计算机编程MATLAB来求得未来五年内各项投保数据: 没有索赔时新投保人注销人年续保人数 总投保人数 索赔人数 死亡司机人数 补贴比例 数 数 份 第0 18800 599889 11995 1714288 475570 2189858 125% 0 27950 576478 23075 1746762 1746762 年 40% 0 14153 118333 2341 1179135 1179135 50% 0 325431 703720 7041 8795655 8795655 第0 20049 639714 12791 1828094 588029 2416123 225% 0 28559 589036 23578 1784814 1784814 年 40% 0 14099 117882 2332 1174634 1174634 50% 0 327442 708067 7085 8849993 8849993 第0 22123 705872 14114 2017154 727080 2744234 325% 0 29808 614814 246010 1862923 1862923 年 40% 0 14406 120449 2383 1200222 1200222 50% 0 329076 711602 7120 8894167 8894167 第0 25005 797857 15953 2280016 899012 3179028 425% 0 31829 656477 26278 1989167 1989167 年 40% 0 15037 125720 2487 1252748 1252748 50% 0 331369 716560 7170 8956134 8956134 第0 28802 918990 18375 2626175 1111601 3737776 525% 0 34638 714420 28597 2164735 2164735 年 40% 0 16056 134240 2656 1337643 1337643 50% 0 335133 724700 7251 9057875 9057875 实施了该法规，虽然每年的事故数量不会减少，但事故中受伤司机和乘员数肯定会减少，死亡的司机会减少40%，对上述计算进行改进: *NN=(140%)，,死死ijij 可以通过计算机编程MATLAB来求得实施法规后未来五年内各项投保数据， 没有索赔时总投保人死亡司机续保人熟 新投保人数 注销人数 索赔人数 年份 补贴比例 数 人数 1714288 475571 2189859 0 18801 599889 7197 第1年 1746762 1746762 25% 0 27950 576478 13845 1179135 1179135 40% 0 14153 118333 1405 8795655 8795655 50% 0 325431 703720.0406 4225 1843059 588029 2431088 0 20213 644950 7737 1782832 1782832 25% 0 28527 588382 14131 第2年 1165404 1165404 40% 0 13988 116955 1388 8846240 8846240 50% 0 327303 707767 4249 2036218 727080 2763298 0 22332 712543 8548 1870037 1870037 25% 0 29922 617162 14822 第3年 1189469 1189469 40% 0 14277 119370 1417 8878859 8878859 50% 0 328510 710377 4265 2304177 899012.1 3203189 0 25270 806311 9673 1997535 1997535 25% 0 31962 659239 15833 第4年 1247651 1247651 40% 0 14976 125209 1486 8929192 8929192 50% 0 330372 714404 4289 2654474 1111601 3766075 0 29112 928893 11144 2174794 2174794 25% 0 34799 717740 17238 第5年 1332715 1332715 40% 0 15997 133746 1588 9025592 9025592 50% 0 333939 722117 4335 5.4模型二的求解 由模型一和未来5年的各项投保人数可得出: 保险公司年总修理费、死亡赔偿费、支出及偿还费 年份 修理费 死亡赔偿费 支出 偿还退出 (百万元) (百万元) (百万元) (百万元) 1 1995.48 1141.07 150.02 70.34 2 2057.95 1170.77 152.27 71.01 3 2166.48 1226.74 156.03 71.92 4 2322.36 1308.24 161.66 73.30 5 2533.23 1419.58 169.58 75.35 各年不同η下的医疗费 η 医疗费(百万元) 年份 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 1810.14 1691.31 1583.87 1470.74 1357.6 1 1877.65 1754.57 1642.95 1525.59 1408.24 2 1990.1 1859.97 1741.34 1616.96 1492.58 3 2150.05 2009.89 1881.29 1746.91 1612.54 4 2364.67 2211.04 2069.09 1921.3 1773.51 5 各年不同η下的总费用 η 总费用(百万元) 年份 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 5167.04 5048.21 4940.77 4827.64 4714.51 1 5329.65 5206.57 5094.94 4977.59 4860.24 2 5611.28 5481.15 5362.51 5238.13 5113.75 3 6015.6 5875.44 5746.85 5612.47 5478.09 4 6562.4 6408.77 6266.82 6119.03 5971.24 5 根据关系:保险公司总收入= 总偿还退回+总索赔支出+年度支出 即第j年: 3 XNNNN，,，,，,，,(0.250.400.50),j总没索1没索2没索3ijjjj i=0 3333 WNNWNWNWZ，，，，，，，， ,,,,j退医注死死iji修伤i 索iiii ,,,,0000iiii 得到: 基本保险费 η 年份0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 1 635.58 582.06 569.67 556.63 579.91 2 641.93 588.29 575.68 562.42 585.39 3 653.09 599.09 586.13 572.53 595.19 4 667.25 612.82 599.4 585.39 607.63 5 683.73 628.8 614.88 600.38 622.13 六 模型的检验 七 模型的优缺点分析 模型优点: 1、 充分利用题目中所给的本年度发放保单数与本年度索赔款数，根据保险公司 的分类规则，运用递推法给出了每一类保险险种未来的投保总人数模型， 并由此预测出了未来五年内各类保种中的具体人数。 2、 模型缺点: 1、 所设中间量过多，符号说明过于复杂。 A2、 在模型建立过程中，假设了死亡人数与索赔人数之比以及注销人数与总投 ij B保人数人数之比保持不变，因此使得模型只能做短期预测，在进行长期预ij 测时会产生较大误差。 八 模型的推广与改进 参考文献 [编号] 作者，书名，出版地:出版社，出版年。 [编号] 作者，论文名，杂志名，卷期号:起止页码，出版年。 [编号] 作者，资源标题，网址，访问时间(年月日)。 附 录 附录一 2003到2010年汽车销量 年份 汽车销量(万辆) 2003年 325 2004年 439 2005年 507 2006年 576 2007年 722 2008年 879 2009年 938 2010年 1384 附录二