负二项分布

负二项分布 1. 负二项分布的定义 在独立重复试验序列中，设事件 发生的概率为 ()， 是直AP(A),p0,p,1, 到事件 第 次发生为止所需要的试验次数，求 的概率分布。 Ar,解 要使得第试验时，事件恰好是第次发生，必须 kAr (1)在前次试验中，事件发生次，事件发生次，k,1Ar,1(k,1),(r,1),k,rA概率为 r,1r,1k,r ; Cp(1,p)k,1 (2)在第试验时，事件又发生1次，概率为 。 kAp 因此，的概率分布为: , r,1r,1r,1k,rrk,rC,C P{,k},,pp(1,p)p(1,p)k,1k,1 () 。 k,r,r，1,r，2,？ ,这个分布称为帕斯卡(Pascal)分布，也称为负二项分布，记为 。 b(r,p) 2(负二项分布的数学期望和方差 r,1,rk,r题 设 ,，,C () 。 ,P{,k}k,r,r，1,r，2,？,b(r,p)p(1,p)k,1 求 的数学期望 和方差 。 ,E,D, 解 根据概率分布的性质，必有 ,,rrkr1,, 。 ,1P{,,k},Cp(1,p),,k1,krkr,, 的数学期望为 , ,,,(k,1)!rrkr1rkr,,, E,,kP{,,k},kCp(1,p),kp(1,p),,,k1,(r,1)!(k,r)!krkrkr,,, ,,rk!rrkr1(1)(1)rkr，，,，,,Cp(1,p) ,rp(1,p),,kr!(k,r)!pkrkr,, ,rrrrkr1,,, 。 ,Cp(1,p),k1,ppkr, 1 为了求 的方差，先求 : ,E[,(,，1)] ,,rrkr1,, E[(，1)],,,k(k，1)P{,,k},k(k，1)Cp(1,p),,k1,krkr,, ,,(k,1)!(k，1)!rkrrkr,, ,k(k，1)p(1,p),r(r，1)p(1,p),,(r,1)!(k,r)!(r，1)!(k,r)!krkr,, ,,r(r，1)r(r，1)r(r，1)rrkrrrkr12(2)(2)1，，，,，,, 。 ,Cp(1,p),Cp(1,p),,,kk1，1,222pppkrkr,, 的方差为 , 2222 ,E[(，1)],E(E，1),,,,,E()，E,(E),ED,,E(,),(E,),,,, 22rrr，r,r,rpr(r，1)r(1,p),(，1), 。 ,,222ppppp 3. 一个负二项分布的实例 题 重复掷骰子，直到第9次出现“6”为止。设 是到第9次出现“6”为止所需的掷骰,子的次数，求次数 的数学期望和方差。 , 1p,解 掷骰子出现“6”的概率为 ，到第9次出现“6”为止所需的掷骰子的次数 显,6 11,b(9,)p,然服从 r,9 ， 的负二项分布 ，, 的概率分布为 66 15rk,9r,18rk,r()()C,CP{,k}, ,p(1,p)kk,1,166 () 。 k,9,10,11,？ 的数学期望为 , r9,E, 。 ,,54p16 , 的方差为 59，r(1,p)6D,,270 。,,21p2()6 2 3