斯托克斯公式

斯托克斯公式 ?10.7 斯托克斯公式 环流量与旋度 重点:斯托克斯公式及其应用 难点:斯托克斯公式 一(斯托克斯公式 ,,,定理1 设为光滑的空间有向闭曲线，是以为边界的分片光滑的有向曲面，的下向,与的侧符合右手规则。P(x,y,z),Q((x,y,z),R((x,y,z)在包含在内的一个空间区域内具有一阶2, 连续编导数，则有 ,R,Q,p,R,Q,P (,)dydz，(,)dzdx，(,)dxdy,Pdx，Qdy，Rdz,,,,,y,z,z,x,x,y, 为了便于记忆，利用行列式记号将斯托克斯公式写成: dydzdzdxdxdy ,,,= Pdx，Qdy，Rdz,,,,,x,y,z, PQR cos,cos,cos, ,,,或ds= Pdx，Qdy，Rdz,,,,,x,y,z, PQR 如果是xoy面上的一块平面闭区域，斯托克斯公式就变成格林公式 , ,例1( 利用斯托克斯公式计算曲线积分其中为平面x+y+z=1被三个zdx，xdy，ydz,, 坐标面所截成的三角形的整个边界，它的正向与这个三角形上侧的法向量之间符合 右手规则 解:zdx，xdy，ydz ,, dydzdzdxdxdy ,,, = ,,,x,y,z, PQR =dydz，dzdx，dxdy ,,, 133,3，,dxdy= ,,22Dxy 222222(y,z)dx，(z,x)dy，(x,y)dz例2( 计算I= ,, 3x，y，z,其中,是用平面截立方体:的面所得的截痕，0,x,1,0,y,1,0,z,12 若从OX轴的正向看去，取逆时针方向 13,,,,1,1,1,cos,cos,cos,n,,,解: 33 333 333 ,,,3,，4(x，y，z)ds I=ds= ,,,,3,,,xyz22 222222,,,yzzxxy 433 = ,1，1，1ds,,32Dxy 19,6(Dxy),,6(1,2，),,, = 82二(环流量与旋度 ,1( 环流量:Pdx，Qdy，Rdz=叫做向量场A沿有向闭曲线的环流量。Ads,,t,, ,其中为向量在的切线向量上的投影 AA,A,t,Pcos,，Qcos,，Rcosvt 2( 旋度:记作rotA ,,,,R,Q,P,R,Q,Prot= A(,)i，(,)j，(,)k,y,z,z,x,x,y ,,,ijk ,,,= ,x,y,z PQR (2z,3y)i，(3x,z)j，(y,2x)kA例 求= ,,,ijk ,,,,,,A,2i，4j，6k解: rot= ,x,y,z 2z,3y3x,zy,2x课堂练习:P224 1、(1)(2)2、(2)3、(1)4、(2) 课后作业:P224 1、(3)(4)2、(3)3、(2)4、(1)6