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数学分析试题及答案8

2017-09-21 11页 doc 29KB 27阅读

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is_562397

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数学分析试题及答案8数学分析试题及答案8 一、:(每小题5分,共15分) 1 正交多项式 2 正项级数的比较判别法 n3 R上的基本列 二、:(每小题7分,共35分) ,241、 xtanxdx,0 212、计算 的cauchy主值 dx,0.5xlnx ,nn3,(,2)n3、求(x,1)的收敛半径和收敛域 ,,nn1 224、设z,x,ysin(xy),求函数的梯度 2225、求在(1,1,1)点的全微分 u,x,y,z 三、:(每小题10分,共30分) 22(y,x)1 讨论,(x,y)沿任何直线趋于(0,0)时的极f(x,y...
数学分析试题及答案8
数学及答案8 一、:(每小题5分,共15分) 1 正交多项式 2 正项级数的比较判别法 n3 R上的基本列 二、:(每小题7分,共35分) ,241、 xtanxdx,0 212、计算 的cauchy主值 dx,0.5xlnx ,nn3,(,2)n3、求(x,1)的收敛半径和收敛域 ,,nn1 224、设z,x,ysin(xy),求函数的梯度 2225、求在(1,1,1)点的全微分 u,x,y,z 三、:(每小题10分,共30分) 22(y,x)1 讨论,(x,y)沿任何直线趋于(0,0)时的极f(x,y),,(x,y),(0,0)42y,x 限和函数的二重极限 ,12 讨论的敛散性 ,q,2nlnnn 2n3 讨论函数项f(x),nx(1,x)(0,x,1)的一致收敛性。 n 四、:(每小题10分,共20分) 1q,x,为既约分数,1 证明Riemann函数在[0,1]上可积 R(x),pp, ,0x为无理数, x,z1,zy2 设z,x(x,0,x,1),,z,证明它满足方程 y,xlnx,y 参考答案 一、1、设mn,,g(x)g(x)g(x)[a,b]是定义在上的多项式,若对任意的和,,在mnn ,0mn,b,bg(x)g(x)dx,,,g(x)[a,b][a,b]上可积,且有则称是上2,mnn,ag(x)dxmn,n,,a, 的正交多项式连续。 1 ,, 2、设是两个正项级数,若存在常数,成立则x,yx,Ay,n,1,2?A,0,,nnnn,1,1nn ,,,,(1)当收敛时,也收敛(2)当发散时,也发散 yxxynnnn,,,,n,1n,1n,1n,1 n3、如果上的点列,,满足:对于任意给定的,存在正整数对任意的x,,0K,Rk ,,,成立,则称为基本列。 xk,l,Kx,x,,klk ,,,2,,122444二、1、xtanxdx,xsecxdx,xdx,,,ln2(7分) ,,,0004322 212、解:(cpv)dx,0(7分) ,0.5xlnx nn43,(,2)n1、 :,收敛半径为1/3(4分),由于x,,时,级数收敛,lim,3n,,3n 242[,,,)x,,级数发散,所以级数的收敛域为(3分) 333 ,z,z324、:2x,ycos(xy)2ysin(xy),xycos(xy)==(4分),y,x 32gradu,(2x,ycos(xy),2ysin(xy),xycos(xy))(3分) xzy5、 (4分) u,u,u,xyz222222222x,y,zx,y,zx,y,z 1du,(dx,dy,dz)(3分) 3 22(,)yx2三、1、解、由于沿y,xy,kx趋于(0,0)时,,,而沿趋于 lim,142(,)(0,0)xkx,,yx(0,0)时极限为0,所以重极限不存在(5分) 1,,,,,|p,11dx,2p,12、 函数非负递减,(3分)且,(5,(1,p)lnx,qp,2xlnxxlnx,,,lnlnx|p,12, 分) 由此仅p,1,收敛(2分)。 3、(3分),取limf(x),0,f(x)nn,, 2 11n,,所以函数列不一致收敛(7分) f(x),f(x),(1,),1(n,,)xnnnn2nn 四、(每小题10分,共20分) ,1 证明:由Riemann函数的性质,在[0,1]上使得的点至多只有有限Rx,(),,,02 ''个,(3分)不妨设是0,p,?,p,1k个,记为作[0,1]的分点0,x,?,x,1,1k02k,1 ,'使满足p,[x,x],x,x,,i,1,2,?k,由于ii,1iii,12k 2k,1k,1k,1,,,x,,,x,,,x,而在右边的第一个和式中,有,,且xii2j,12j,12j2j,,,2j,1i,1j,0j,12k k,1n,,,1,在第二个和式中有,,且,x,1,因此得到,,x,,,所以函数2j2j,1,,2jiij,12i,1可积(7分) ,u,uyy,12 证明:,xlnx,yx,(6分),y,x x,z1,zx1y,1y,,yx,xlnx,z(4分) y,xlnx,yylnx 一、(从给出的四个答案中,选出一个最恰当的答案填入括号内,每小题2分, 共20分) 1、 函数f(x)在[a,b]上可积的必要条件是( ) A 连续 B 有界 C 无间断点 D 有原函数 2、函数f(x)是奇函数,且在[,a,a]上可积,则( ) aaaA f(x)dx,0 B f(x)dx,2f(x)dx,,,,a,a0 aaaC f(x)dx,2f(a) D f(x)dx,,2f(x)dx,,,,a,a0 3、 下列广义积分中,收敛的积分是( ) ,,1,,1111A dxdxdx B C D sinxdx,,,013,,10xxx ,, 4、级数aa收敛是部分和有界的( ) nn,,n,1n,1 A 必要条件 B 充分条件 C充分必要条件 D 无关条件 5、下列说法正确的是( ) 3 ,,, A 和收敛,也收敛 ababnnnn,,,n,1n,1n,1 ,,, B 和发散,发散 ab(a,b)nn,,,nnn,1n,1,n1 ,,, C a收敛和b发散,(a,b)发散 nn,,,nnn,1n,1,n1 ,,, D a收敛和b发散,ab发散 nnnn,,,n,1n,1n,1 , 6、a(x)a(x)在收敛于,且可导,则( ) [a,b]a(x),nn,n1 ,''A a(x),a(x) B 可导 a(x),nn1, ,,bbC a(x)dx,a(x)dxa(x) D 一致收敛,则必连续 a(x),,nn,,aa,11nn, 7、下列命题正确的是( ) ,A a(x)在[a,b]绝对收敛必一致收敛 ,n,n1 , B a(x)在[a,b]一致收敛必绝对收敛 ,n,n1 , C 若a(x),则在[a,b]必绝对收敛 lim|a(x)|,0,nnn,,,n1 , D a(x)[a,b]在条件收敛必收敛 ,n,n1 ,1n2n1,8、x的和函数为( ) (,1),n2,1n0, xA cosxesinx B C D arctanx9、函数z,ln(x,y)的定义域是( ) A ,,,,(x,y)|x,0,y,0(x,y)|y,,x B C ,,(x,y)|x,y,0,,(x,y)|x,y,0 D 4 10、函数在可导与可微的关系( ) (x,y)f(x,y)00 A 可导必可微 B 可导必不可微 C 可微必可导 D 可微不一定可导 二、:(每小题6分,共30分) 9221、,求 f(x)dx,4xf(2x,1)dx,,10 ,,12、计算 dx2,02,2x,x ,,n(,1)1n3、计算x的和函数,并求 ,,,,1nnn1n 222x,y,z,z,z4、设z,arctan,求 ,,221,xy,x,y,x,y 2xy5、计算lim 220x,xy,0y, :(每小题10分,共20分) xy,(,),(0,0)xy,222、 讨论 在点的可导性、连续性和可微(0,0)(,),fxy,,xy ,0(,),(0,0)xy, 性 ,n2n2sinx,n13、 讨论(1),的敛散性 ,,nn2 四、:(每小题10分,共30分) x1、设{S(x)}S(x),,证明在(,,,,,)上一致收敛 nn221,nx x,z,zy2、设z,ex,y,0,证明它满足方程 ,x,y ,,,4、 设xf(sinx)dx,f(sinx)dxf(x)[0,1]在连续,证明,并求,,002 ,xsinxdx 2,01,cosx 一、1、B 2、B 3、A 4、B 5、C 6、D 7、D 8、C 9、B 10、C 5 2212222二、1、(3分)令u,2x,1,xf(2x,1)dx,f(2x,1)d(2x,1),,002 2912(3分) xf(2x,1)dx,f(u)du,2,,012 A,,A11,2、=(6分) lim(1)limarctan(1)dxd,x,,x,22,,00,,,,,AA042,2x,x1(1),,x ,,11,'nn13、解:令f(x)x,=x,由于级数的收敛域(2分),=,f(x)[,1,1),,,1,n1,xnn1 n,x1(,1),ln2=dt,ln(1,x)(2分),令,得 f(x)x,,1,,0n,n1,t1 114、解:两边对x求导z,,(3分)z,xy221,x1,y 222,z,2x,z,2y,z(3分) ,,,,,0222222,x,y,x(1,x),y(1,y) 22xyxy5、解:lim,0(5分)(1分) 0,||,x22220x,,xyx,y0y, 由于x=-2,x=2时,级数均不收敛,所以收敛域为(-2,2)(3分) f(0,,x),f(0,0)0三、1、解、f(0,0),0(0,0),lim,lim,0f,同理(4分),yx,x,0,x,0,x,x mxy又但沿直线limf(x,y),趋于(0,0),,所以lim不存在,y,mx2220x,(,)(0,0)xy,xy1,m,y,mx 也即函数在(0,0)点不连续,(4分),因而函数在(0,0)点也不可微(2分) n2n2sinx2,n122、解:由于n2sinx,1(3分),即级数绝对收敛lim|(,1)|,2sinxn,,n 222sinx,12sinx,1条件收敛,级数发散(7分) 所以原级数发散(2分) 四、证明题(每小题10分,共20分) x11、证明:因为S(x)S(x),,,S(x),S(x),0(2分),因为,(4nn222n1nx, 11,,分),Sx,Sx,,,()(),,,0n,Nx,(,,,,,),取,当时,,对一切,Nn,,2,2n,, {S(x)}(,,,,,)成立,所以在上一致收敛(4分) n 6 xxxx,1,,z,z1xzzxyyyy2、,,(7分)则(3分) ,,,x,y,xe,ye,0ee22,,,x,yyxyyyy a) 证明:令 x,,,t ,,,0得证(7分)xf(sinx)dx,,,(,t)f(sin(,,t))dt,,f(sint)dt,tf(sint)dt,,,,,000 2,,sinsinxx,x,dx,dx,(3分) ,2,200281cos1cos,x,x (从给出的四个答案中,选出一个最恰当的答案填入括号内,每小题2分, 共20分) 2、 函数在 [a,b] 上可积的充要条件是( ) f(x) A ,,>0,, ,>0和,>0使得对任一分法,,当,(,)<,时,对应于,,,的那些区间,xii长度之和?,x< , i B ,,>0,,>0, ,>0使得对某一分法,,当,(,)<,时,对应于,,,的那些区间,x长度ii 之和?,< , xi C ,,>0,,,>0使得对任一分法,,当,(,)<,时,对应于,,,的那些区间,x长度之和ii ?,x< , i D ,,>0, ,>0,, ,>0使得对任一分法,,当,(,)<,时,对应于,,,的那些区间,xii长度之和?,< , xi 2xd2、函数f(t)dtf(x)连续,则在[a,b]上=( ) ,1dx A f(2x) B 2f(2x) C 2f(x) D 2f(2x),f(x) 113、 dx,( ) 2,,1x A -2 B 2 C 0 D 发散 ,4、a,则( ) lima,0n,nn,,n,1 A 必收敛 B必发散 C必条件收敛 D 敛散性不定 ,,5、若级数ba是级数的更序级数,则( ) nn,,n,1n,1 ,,, A abb和同敛散 B 可以发散到+? nnn,,,n,1n,1n,1 7 ,,,,C 若绝对收敛,也收敛 D 若条件收敛,也条件收敛 ababnnnn,,,,n,1n,1n,1n,1 , 6、在一致收敛,且可导(=1,2…),那么( ) a(x)a(x)n[a,b],nn,n1 ,''A f(x)在可导,且f(x),a(x) [a,b]n,,n1 ,''B f(x) f(x)在可导,但不一定等于a(x) [a,b]n,,1n ,'C a(x)点点收敛,但不一定一致收敛 n,,1n ,'D a(x)不一定点点收敛 n,,1n , 7、函数项级数a(x)在D上一致收敛的充要条件是( ) ,n,n1 A ,,>0,, N(,)>0,使,m>n> N有a(x),?a(x),, ,n1m B ,,>0, N>0,使,m>n> N有 a(x),?a(x),,,n1m C ,,>0, , N(,)>0,使,m>n> N有a(x),?a(x),, ,n1mD ,,>0,, N(,)>0,使,m>n> N有a(x),?a(x),, ,n1m ,1n8、(x,1)的收敛域为( ) ,,nn1 A (-1,1) B (0,2] C [0,2) D [-1,1) 9、重极限存在是累次极限存在的( ) A 充分条件 B 必要条件 C充分必要条件 D 无关条件 ,f(x,y)10、|,( ) (x,y)00,x (,)(,)(,)(,)fx,,xy,,y,fxyfx,,xy,fxy00000000A limlim B 00,x,,x,,x,x (,)(,)(,)fx,,xy,,y,fx,,xyfx,,xy000000C limlim D 00,x,,x,,x,x 8 :(每小题6分,共30分) 1sinxcosx,11、 dx2,,11,x 22、计算由曲线和x,e围成的面积 y,x,1,y,0,xy,2 2,x3、求e的幂级数展开 2,z4、 已知可微,求 z,f(x,y,xy),f(u,v),x,y x,y5、 求f(x,y),在(0,0)的累次极限 x,y (每小题10分,共20分) ,,3、 讨论lncos的敛散性 ,,3nn ,nx4、 判断的绝对和条件收敛性 ,2n,1,xn1 四、(每小题10分,共30分) a1、设f(x)dx,0是上的奇函数,证明 f(x)[,a,a],,a ,4nx(4)2、证明级数,y,y满足方程 y,,(4n)!n0 c5、 证明SS为闭集的充分必要条件是是开集。 一、1、D 2、B 3、D 4、B 5、C 6、D 7、A 8、C 9、D 10、B 111sinxcosx,1sinxcosx1sinxcosx二、1、解:dxdx,dx=(2分)由于为2222,,,,1,1,11,11,1,xx,xx 11,sinxcosx1,1奇函数dxdxx,arctan|=0(2分)=(2分)所以积分值为(1,122,,,1,1221,1,xx 分) 2、解:两曲线的交点为(1,2)(2分) 2e2所求的面积为:1/2,2,2+dx,6(4分) ,1x 2n4n2n2xxx(1)x,,xx23、解:由于e,1,x,,?,?e,1,x,,?,?(3分),n2!n!2!! (3分) 9 2,z,z,z,f,f,(x,y)f,xyf4、解:==(3分)(3f,fyf,fx11212221212,x,y,x,y 分) x,y,yx,yx5、解:lim,lim,,1lim,lim,1,(3分)(3分) x,0y,0y,0y,0x,0y,0xyyxyx,, ,2,,1三、1、解:由于(6分),又收敛(2分) lncos~2,2,1n2nnn 所以原级数收敛(2分) nxn2、解:当,|x|时,有,所以级数绝对收敛(4分), |x|,1x2x,1 nx1当,时,,原级数发散(2分) |x|,12x2,x1 1n()n,,xx当时,有,由上讨论知级数绝对收敛(4分) |x|,1,,,2n11,x2nnn,11,1,()x 四、证明题(每小题10分,共30分) a0a1、证明:(1)(4分) f(x)dx,f(x)dx,f(x)dx,,,,a,a0 0aa(2)(4分) f(x)dxx,,tf(,t)d(,t),,f(t)dt,,,,a00 将式(2)代入(1)得证(2分) 2、证明:所给级数的收敛域为(,,,,,),在收敛域内逐项微分之,得 ,,,,,,,,4n14n24n34n4xxxx''''''(4)(8分)代入得y,y,y,y,,,,,,,,,(4n,1)!(4n,2)!(4n,3)!(4n,4)!n1n1n1n1证(2分) c3、证明:必要性 若x,SS为闭集,由于S的一切聚点都属于S,因为,对于任意的。 cO(x,,),SO(x,,),S,,不是的聚点,也就是说,存在的邻域O(x,,)使得,即,xSx c因此S是开集。 ccc充分性 对任意的O(x,,),Sx,SO(x,,),由于S是开集,因此存在x的邻域使得, 即x不是S的聚点。所以如果S有聚点,它就一定属于S. 量,求证: 10
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