数学
及答案8
一、:(每小题5分,共15分) 1 正交多项式
2 正项级数的比较判别法
n3 R上的基本列
二、:(每小题7分,共35分)
,241、 xtanxdx,0
212、计算 的cauchy主值 dx,0.5xlnx
,nn3,(,2)n3、求(x,1)的收敛半径和收敛域 ,,nn1
224、设z,x,ysin(xy),求函数的梯度
2225、求在(1,1,1)点的全微分 u,x,y,z
三、:(每小题10分,共30分)
22(y,x)1 讨论,(x,y)沿任何直线趋于(0,0)时的极f(x,y),,(x,y),(0,0)42y,x
限和函数的二重极限
,12 讨论的敛散性 ,q,2nlnnn
2n3 讨论函数项f(x),nx(1,x)(0,x,1)的一致收敛性。 n
四、:(每小题10分,共20分)
1q,x,为既约分数,1 证明Riemann函数在[0,1]上可积 R(x),pp,
,0x为无理数,
x,z1,zy2 设z,x(x,0,x,1),,z,证明它满足方程 y,xlnx,y
参考答案
一、1、设mn,,g(x)g(x)g(x)[a,b]是定义在上的多项式,若对任意的和,,在mnn
,0mn,b,bg(x)g(x)dx,,,g(x)[a,b][a,b]上可积,且有则称是上2,mnn,ag(x)dxmn,n,,a,
的正交多项式连续。
1
,,
2、设是两个正项级数,若存在常数,成立则x,yx,Ay,n,1,2?A,0,,nnnn,1,1nn
,,,,(1)当收敛时,也收敛(2)当发散时,也发散 yxxynnnn,,,,n,1n,1n,1n,1
n3、如果上的点列,,满足:对于任意给定的,存在正整数对任意的x,,0K,Rk
,,,成立,则称为基本列。 xk,l,Kx,x,,klk
,,,2,,122444二、1、xtanxdx,xsecxdx,xdx,,,ln2(7分) ,,,0004322
212、解:(cpv)dx,0(7分) ,0.5xlnx
nn43,(,2)n1、 :,收敛半径为1/3(4分),由于x,,时,级数收敛,lim,3n,,3n
242[,,,)x,,级数发散,所以级数的收敛域为(3分) 333
,z,z324、:2x,ycos(xy)2ysin(xy),xycos(xy)==(4分),y,x
32gradu,(2x,ycos(xy),2ysin(xy),xycos(xy))(3分)
xzy5、 (4分) u,u,u,xyz222222222x,y,zx,y,zx,y,z
1du,(dx,dy,dz)(3分)
3
22(,)yx2三、1、解、由于沿y,xy,kx趋于(0,0)时,,,而沿趋于 lim,142(,)(0,0)xkx,,yx(0,0)时极限为0,所以重极限不存在(5分)
1,,,,,|p,11dx,2p,12、 函数非负递减,(3分)且,(5,(1,p)lnx,qp,2xlnxxlnx,,,lnlnx|p,12,
分) 由此仅p,1,收敛(2分)。
3、(3分),取limf(x),0,f(x)nn,,
2
11n,,所以函数列不一致收敛(7分) f(x),f(x),(1,),1(n,,)xnnnn2nn
四、(每小题10分,共20分)
,1 证明:由Riemann函数的性质,在[0,1]上使得的点至多只有有限Rx,(),,,02
''个,(3分)不妨设是0,p,?,p,1k个,记为作[0,1]的分点0,x,?,x,1,1k02k,1
,'使满足p,[x,x],x,x,,i,1,2,?k,由于ii,1iii,12k
2k,1k,1k,1,,,x,,,x,,,x,而在右边的第一个和式中,有,,且xii2j,12j,12j2j,,,2j,1i,1j,0j,12k
k,1n,,,1,在第二个和式中有,,且,x,1,因此得到,,x,,,所以函数2j2j,1,,2jiij,12i,1可积(7分)
,u,uyy,12 证明:,xlnx,yx,(6分),y,x
x,z1,zx1y,1y,,yx,xlnx,z(4分) y,xlnx,yylnx
一、(从给出的四个答案中,选出一个最恰当的答案填入括号内,每小题2分,
共20分)
1、 函数f(x)在[a,b]上可积的必要条件是( )
A 连续 B 有界 C 无间断点 D 有原函数 2、函数f(x)是奇函数,且在[,a,a]上可积,则( )
aaaA f(x)dx,0 B f(x)dx,2f(x)dx,,,,a,a0
aaaC f(x)dx,2f(a) D f(x)dx,,2f(x)dx,,,,a,a0
3、 下列广义积分中,收敛的积分是( )
,,1,,1111A dxdxdx B C D sinxdx,,,013,,10xxx
,,
4、级数aa收敛是部分和有界的( ) nn,,n,1n,1
A 必要条件 B 充分条件 C充分必要条件 D 无关条件
5、下列说法正确的是( )
3
,,,
A 和收敛,也收敛 ababnnnn,,,n,1n,1n,1
,,,
B 和发散,发散 ab(a,b)nn,,,nnn,1n,1,n1
,,,
C a收敛和b发散,(a,b)发散 nn,,,nnn,1n,1,n1
,,,
D a收敛和b发散,ab发散 nnnn,,,n,1n,1n,1
,
6、a(x)a(x)在收敛于,且可导,则( ) [a,b]a(x),nn,n1
,''A a(x),a(x) B 可导 a(x),nn1,
,,bbC a(x)dx,a(x)dxa(x) D 一致收敛,则必连续 a(x),,nn,,aa,11nn,
7、下列命题正确的是( ) ,A a(x)在[a,b]绝对收敛必一致收敛 ,n,n1
,
B a(x)在[a,b]一致收敛必绝对收敛 ,n,n1
,
C 若a(x),则在[a,b]必绝对收敛 lim|a(x)|,0,nnn,,,n1
,
D a(x)[a,b]在条件收敛必收敛 ,n,n1
,1n2n1,8、x的和函数为( ) (,1),n2,1n0,
xA cosxesinx B C D arctanx9、函数z,ln(x,y)的定义域是( ) A ,,,,(x,y)|x,0,y,0(x,y)|y,,x B
C ,,(x,y)|x,y,0,,(x,y)|x,y,0 D
4
10、函数在可导与可微的关系( ) (x,y)f(x,y)00
A 可导必可微 B 可导必不可微
C 可微必可导 D 可微不一定可导
二、:(每小题6分,共30分)
9221、,求 f(x)dx,4xf(2x,1)dx,,10
,,12、计算 dx2,02,2x,x
,,n(,1)1n3、计算x的和函数,并求 ,,,,1nnn1n
222x,y,z,z,z4、设z,arctan,求 ,,221,xy,x,y,x,y
2xy5、计算lim 220x,xy,0y,
:(每小题10分,共20分)
xy,(,),(0,0)xy,222、 讨论 在点的可导性、连续性和可微(0,0)(,),fxy,,xy
,0(,),(0,0)xy,
性
,n2n2sinx,n13、 讨论(1),的敛散性 ,,nn2
四、:(每小题10分,共30分)
x1、设{S(x)}S(x),,证明在(,,,,,)上一致收敛 nn221,nx
x,z,zy2、设z,ex,y,0,证明它满足方程 ,x,y
,,,4、 设xf(sinx)dx,f(sinx)dxf(x)[0,1]在连续,证明,并求,,002
,xsinxdx 2,01,cosx
一、1、B 2、B 3、A 4、B 5、C 6、D 7、D 8、C 9、B 10、C
5
2212222二、1、(3分)令u,2x,1,xf(2x,1)dx,f(2x,1)d(2x,1),,002
2912(3分) xf(2x,1)dx,f(u)du,2,,012
A,,A11,2、=(6分) lim(1)limarctan(1)dxd,x,,x,22,,00,,,,,AA042,2x,x1(1),,x
,,11,'nn13、解:令f(x)x,=x,由于级数的收敛域(2分),=,f(x)[,1,1),,,1,n1,xnn1
n,x1(,1),ln2=dt,ln(1,x)(2分),令,得 f(x)x,,1,,0n,n1,t1
114、解:两边对x求导z,,(3分)z,xy221,x1,y
222,z,2x,z,2y,z(3分) ,,,,,0222222,x,y,x(1,x),y(1,y)
22xyxy5、解:lim,0(5分)(1分) 0,||,x22220x,,xyx,y0y,
由于x=-2,x=2时,级数均不收敛,所以收敛域为(-2,2)(3分)
f(0,,x),f(0,0)0三、1、解、f(0,0),0(0,0),lim,lim,0f,同理(4分),yx,x,0,x,0,x,x
mxy又但沿直线limf(x,y),趋于(0,0),,所以lim不存在,y,mx2220x,(,)(0,0)xy,xy1,m,y,mx
也即函数在(0,0)点不连续,(4分),因而函数在(0,0)点也不可微(2分)
n2n2sinx2,n122、解:由于n2sinx,1(3分),即级数绝对收敛lim|(,1)|,2sinxn,,n
222sinx,12sinx,1条件收敛,级数发散(7分)
所以原级数发散(2分)
四、证明题(每小题10分,共20分)
x11、证明:因为S(x)S(x),,,S(x),S(x),0(2分),因为,(4nn222n1nx,
11,,分),Sx,Sx,,,()(),,,0n,Nx,(,,,,,),取,当时,,对一切,Nn,,2,2n,,
{S(x)}(,,,,,)成立,所以在上一致收敛(4分) n
6
xxxx,1,,z,z1xzzxyyyy2、,,(7分)则(3分) ,,,x,y,xe,ye,0ee22,,,x,yyxyyyy
a) 证明:令 x,,,t
,,,0得证(7分)xf(sinx)dx,,,(,t)f(sin(,,t))dt,,f(sint)dt,tf(sint)dt,,,,,000
2,,sinsinxx,x,dx,dx,(3分) ,2,200281cos1cos,x,x
(从给出的四个答案中,选出一个最恰当的答案填入括号内,每小题2分,
共20分)
2、 函数在 [a,b] 上可积的充要条件是( ) f(x)
A ,,>0,, ,>0和,>0使得对任一分法,,当,(,)<,时,对应于,,,的那些区间,xii长度之和?,x< , i
B ,,>0,,>0, ,>0使得对某一分法,,当,(,)<,时,对应于,,,的那些区间,x长度ii
之和?,< , xi
C ,,>0,,,>0使得对任一分法,,当,(,)<,时,对应于,,,的那些区间,x长度之和ii
?,x< , i
D ,,>0, ,>0,, ,>0使得对任一分法,,当,(,)<,时,对应于,,,的那些区间,xii长度之和?,< , xi
2xd2、函数f(t)dtf(x)连续,则在[a,b]上=( ) ,1dx
A f(2x) B 2f(2x) C 2f(x) D 2f(2x),f(x)
113、 dx,( ) 2,,1x
A -2 B 2 C 0 D 发散
,4、a,则( ) lima,0n,nn,,n,1
A 必收敛 B必发散 C必条件收敛 D 敛散性不定
,,5、若级数ba是级数的更序级数,则( ) nn,,n,1n,1
,,,
A abb和同敛散 B 可以发散到+? nnn,,,n,1n,1n,1
7
,,,,C 若绝对收敛,也收敛 D 若条件收敛,也条件收敛 ababnnnn,,,,n,1n,1n,1n,1
,
6、在一致收敛,且可导(=1,2…),那么( ) a(x)a(x)n[a,b],nn,n1
,''A f(x)在可导,且f(x),a(x) [a,b]n,,n1
,''B f(x) f(x)在可导,但不一定等于a(x) [a,b]n,,1n
,'C a(x)点点收敛,但不一定一致收敛 n,,1n
,'D a(x)不一定点点收敛 n,,1n
,
7、函数项级数a(x)在D上一致收敛的充要条件是( ) ,n,n1
A ,,>0,, N(,)>0,使,m>n> N有a(x),?a(x),, ,n1m
B ,,>0, N>0,使,m>n> N有 a(x),?a(x),,,n1m
C ,,>0, , N(,)>0,使,m>n> N有a(x),?a(x),, ,n1mD ,,>0,, N(,)>0,使,m>n> N有a(x),?a(x),, ,n1m
,1n8、(x,1)的收敛域为( ) ,,nn1
A (-1,1) B (0,2] C [0,2) D [-1,1) 9、重极限存在是累次极限存在的( )
A 充分条件 B 必要条件 C充分必要条件 D 无关条件
,f(x,y)10、|,( ) (x,y)00,x
(,)(,)(,)(,)fx,,xy,,y,fxyfx,,xy,fxy00000000A limlim B 00,x,,x,,x,x
(,)(,)(,)fx,,xy,,y,fx,,xyfx,,xy000000C limlim D 00,x,,x,,x,x
8
:(每小题6分,共30分)
1sinxcosx,11、 dx2,,11,x
22、计算由曲线和x,e围成的面积 y,x,1,y,0,xy,2
2,x3、求e的幂级数展开
2,z4、 已知可微,求 z,f(x,y,xy),f(u,v),x,y
x,y5、 求f(x,y),在(0,0)的累次极限 x,y
(每小题10分,共20分)
,,3、 讨论lncos的敛散性 ,,3nn
,nx4、 判断的绝对和条件收敛性 ,2n,1,xn1
四、(每小题10分,共30分)
a1、设f(x)dx,0是上的奇函数,证明 f(x)[,a,a],,a
,4nx(4)2、证明级数,y,y满足方程 y,,(4n)!n0
c5、 证明SS为闭集的充分必要条件是是开集。 一、1、D 2、B 3、D 4、B 5、C 6、D 7、A 8、C 9、D 10、B
111sinxcosx,1sinxcosx1sinxcosx二、1、解:dxdx,dx=(2分)由于为2222,,,,1,1,11,11,1,xx,xx
11,sinxcosx1,1奇函数dxdxx,arctan|=0(2分)=(2分)所以积分值为(1,122,,,1,1221,1,xx
分)
2、解:两曲线的交点为(1,2)(2分)
2e2所求的面积为:1/2,2,2+dx,6(4分) ,1x
2n4n2n2xxx(1)x,,xx23、解:由于e,1,x,,?,?e,1,x,,?,?(3分),n2!n!2!!
(3分)
9
2,z,z,z,f,f,(x,y)f,xyf4、解:==(3分)(3f,fyf,fx11212221212,x,y,x,y
分)
x,y,yx,yx5、解:lim,lim,,1lim,lim,1,(3分)(3分) x,0y,0y,0y,0x,0y,0xyyxyx,,
,2,,1三、1、解:由于(6分),又收敛(2分) lncos~2,2,1n2nnn
所以原级数收敛(2分)
nxn2、解:当,|x|时,有,所以级数绝对收敛(4分), |x|,1x2x,1
nx1当,时,,原级数发散(2分) |x|,12x2,x1
1n()n,,xx当时,有,由上讨论知级数绝对收敛(4分) |x|,1,,,2n11,x2nnn,11,1,()x
四、证明题(每小题10分,共30分)
a0a1、证明:(1)(4分) f(x)dx,f(x)dx,f(x)dx,,,,a,a0
0aa(2)(4分) f(x)dxx,,tf(,t)d(,t),,f(t)dt,,,,a00
将式(2)代入(1)得证(2分)
2、证明:所给级数的收敛域为(,,,,,),在收敛域内逐项微分之,得
,,,,,,,,4n14n24n34n4xxxx''''''(4)(8分)代入得y,y,y,y,,,,,,,,,(4n,1)!(4n,2)!(4n,3)!(4n,4)!n1n1n1n1证(2分)
c3、证明:必要性 若x,SS为闭集,由于S的一切聚点都属于S,因为,对于任意的。
cO(x,,),SO(x,,),S,,不是的聚点,也就是说,存在的邻域O(x,,)使得,即,xSx
c因此S是开集。
ccc充分性 对任意的O(x,,),Sx,SO(x,,),由于S是开集,因此存在x的邻域使得,
即x不是S的聚点。所以如果S有聚点,它就一定属于S.
量,求证:
10