认证考试三余弦定理的证明

认证考试三余弦定理的证明 三余弦定理 设A为面上一点，过A的直线AO在面上的射影为AB，AC为面上的一条直线，那么?OAC,?BAC,?OAB三角的余弦关系为: cos?OAC=cos?BAC×cos?OAB 通俗点说就是，cos平面斜线与平面直线夹角(OAC)=cos斜线射影与平面直线夹角(BAC)xcos平面斜线与斜线射影夹角(OAB)(又叫最小角定理或爪子定理，可以用于求平面斜线与平面内直线成的最小角( 如上图，自点O作OB?AB于点B，过B作BC?AC于C，连OC，则易知?ABC、?AOC、?ABO均为直角三角形(cosθ1=AB?OA，cosθ2=AC?AB，cosθ=AC?OA，不难验证:cosθ=cosθ1×cosθ2( 例1 如图，已知A1B1C1,ABC是正三棱柱，D是AC中点，若AB1?BC1，求以BC1为棱，DBC1与CBC1为面的二面角α的度数.(1994年全国高考理科数学23题) 例2 已知Rt?ABC的两直角边AC=2，BC=3(P为斜边AB上一点，现沿CP 将此直角三角形折成直二面角A,CP,B(如下图)，当AB=?7时，求二面角P,AC ,B大小((上海市1986年高考试题，难度系数0.28) 例3(已知菱形ABCD的边长为1，?BAD=60?，现沿对角线BD将此菱形折成 直二面角 A-BD-C(如图6)(( 1)求异面直线AC与BD所成的角;( 2)求二面角A-CD-B 的大小(