F百鸡问题-不定方程

F百鸡问题-不定方程 百鸡问题——不定方程 中国古代数学名著《张邱建算经》中曾记载一道闻名世界的百鸡问题，题曰:“公鸡一只值钱5，母鸡一只值钱3，小鸡三只值钱1，今有钱一百，买鸡一百只，问公鸡、母鸡、小鸡各几何,”这是一道不定方程的问题，它可以在许多不定方程的书中找到，百鸡问题既很实际又很有趣，在其流传的一千多年中，人们为它的来源编织了好多美妙的传说，下面的故事就是其中的一例:公元前五世纪，有位姓张的贫苦人家的少年，他们全家只靠少年的父亲张老头卖鸡来维持生活。这位少年聪明好学，又特别喜爱数学，他在十二三岁时，就已攻读了《九章算术》等数学名著，当地人称他为“张神童”，“张神童”的名字传开后，引起了一些人的兴趣。一天，一位官员拿来一百文钱，要求按当时的鸡价:公鸡每只五文，母鸡每只三文，小鸡每三只一文，购买恰好一百只鸡。“张神童”为一愁莫展的父亲解决了难题，他给来人送上4只公鸡，18只母鸡和78只小鸡，共百鸡，值钱百文。第二天此人又带来一百文钱，还要买一百只鸡，但不能与上次重复。这次“张神童”让父亲拿出18只公鸡，11只母鸡和81只小鸡，显而易见鸡值百钱，满足了来人的要求。第三天，这个人带着一百文钱再次来到张家，还要求百钱买百鸡，且不能与上两次重复，“张神童”又一次为父亲解了围，他让父亲给来人12只公鸡，4只母鸡和84只小鸡，又凑成了百鸡值百钱，三次的考验使这位官员对“张神童”的神机妙算赞叹不已，从此“张神童”的名气更大了，这位“张神童”据说就是我国著名的数学家张邱建。 百鸡问题实际上是不定方程问题，用现在的解法比较容易。我们不妨设公鸡、母鸡、小鸡各为x、y、z，则根据题意得: 求此方程的正整数解。 将(2)×3-(1)得7x+4y=100„„(3)由此得出x是4的倍数，且x,14，于是x只能是4，8，12代入(3)可得y的三个对应解是8，11，4，所以此问题有三组正整数解: 这就是张神童的三组答案。 张邱建与百鸡问题 在1 000多年前，有一个卖鸡的张老伯，他的儿子从小勤奋学习，到十二三岁时就读了不少书，尤其是古代的《九章算术》《孔子算经》等数学书，他特别爱读(邻居遇到疑难问题或者在银钱上发生纠纷时，都要找他解决，因此大家都称他张神童( 这件事传到当朝宰相耳中，他为了试探一下事情的真假，就把张老伯叫来，当时的鸡价是公鸡每只5文钱，母鸡每只3文钱，小鸡每3只1文钱，宰相就给张老伯100文钱，叫他明天带100只鸡，不准多，也不准少( 晚上张神童见父亲愁眉苦脸，等他了解了事情的经过后，就劝父亲不要发愁( 第二天清早他就要父亲带去4只公鸡、18只母鸡、78只小鸡，宰相一看，正巧100文钱买100只鸡;他又给张老伯100文钱，叫他再送100只鸡来，结果张神童叫父亲将8只公鸡、11只母鸡、81只小鸡送给宰相( 这时宰相赞叹不已，他又给了张老伯100文钱，叫他明天按要求送鸡(这下张老伯可发愁了，回去与儿子再次商量，未料张神童立即告诉父亲按12只公鸡、4只母鸡、84只小鸡配数，马上送给宰相，宰相把鸡数与鸡价一算，正好百鸡百钱( 这事使宰相佩服得不得了，把张神童请去，加以培养，几年以后，张神童研究数学问题，取得了不少成果，并且写了很多文章(而“百鸡百题”就是他所写的《张邱建算经》中的一个不定方程问题( 下面，我们来看看张邱建是怎样利用不等方程来解答这个问题的: 设张老伯带去公鸡x只，母鸡y只，则小鸡为(100,x,y)只，依题意有 1 3 5x，3y，(100,x,y),100 ? 化简后得7x，4y,100 ? 由于方程?有2个未知数，方程有无数组解，但x、y是鸡的只数，因此，x、y都是正 x 4整数，将方程?变形为y,25,2x， x 4 由于y是正整数，则也是正整数 x 4 设,t，则x,4t(t是正整数) x,4t,,y,25,7t, ? (t是整数) 4 7 又? y,O，即25,7t,0，?t,3 当t,1时，则x,4，y,18，100,x,y,78 当t,2时，则x,8，y,11，100,x,y,81 当t,3时，则x,12，y,4，100,x,y,84 ? 这三组解，恰好是张老伯每次所带各种鸡的分配数 所谓“百鸡问题”，实际上是求二元一次方程的正整数解的问题(