基于阈值阵列模型的超阈值随机共振信噪比增益研究

基于阈值阵列模型的超阈值随机共振信噪比增益研究 基于阈值阵列模型的 超阈值随机共振信噪比增益研究 张礁石 杨子贤 卢结成 (中国科学技术大学 信息科学技术学院，安徽 合肥 230027) 研究了阈值阵列模型和超阈值随机共振现象。对该模型进行剖析，认为阈值阵列系摘要: 统可以分解为单个阈值系统与集总平均器的级联。为了研究周期输入下的超阈值随机共振现 象，理论分析了周期输入下的阈值阵列模型输出随机过程的统计特性，以输出信噪比增益作 为随机共振的测度，固定输入信噪比，观测输出信噪比增益相对于阈值噪声方差的变化规律。 证实当输入噪声为高斯噪声时，在阈值阵列系统中加入统计独立的高斯白噪声可使输出信噪 比增益大于1，当输入噪声为非高斯噪声时，可获得更高的输出信噪比增益。 关键词:超阈值随机共振; 阈值阵列模型; 集总平均; 信噪比增益 中图分类号: TP183 Study on Signal-to-noise Ratio Gain of Suprathreshold Stochastic Resonance based on Threshold Array Model ZHANG Jiao-shi YANG Zi-xian LU Jie-cheng (School of Information Science and Technology, University of Science and Technology of China, Hefei 230027, China ) Abstract: The threshold-array model is presented to study Suprathreshold Stochastic Resonance(SSR) phenomenon . Analysis of the model proves that that the threshold-array system can be decomposed into a cascade of a single threshold system and an ensemble averager. In order to study the Suprathreshold Stochastic Resonance with periodic input, the statistical properties of the output process of the threshold-array model is evaluated. With a fixed input signal-to-noise ratio, the output SNR Gain of the model varies in a non-monotonic way when injecting independent threshold noises into the array. If the input noise is Gaussian, when adding independent Gaussian white threshold noises into the array, a SNR Gain larger than unity can be obtained. Moreover, when the input noise is non-Gaussian, there will be a better SNR Gain. Key words: suprathreshold stochastic resonance; threshold array model; ensemble averaging; SNR gain 1、引言 随机共振(Stochastic Resonance, SR)是等)随着加入噪声的改变呈现出非单调变化 一种现象:在某些非线性系统中，衡量随机的规律。国内外早期的研究大多集中在一类 [1]共振的测度(如输出信噪比增益、互信息量非线性动态系统——双稳态系统: 基金项目:塔里木油田项目资助，项目编号971009090126。 1 11等价于这个滤波器。只不过这个特殊的非线dx24,其中，,,,，,，VxAtt()cos(),Vxaxbx(),,，24dt性滤波器借助了噪声的有效性，对“模糊”但该模型受限于绝热近似理论的输入信号进行处理，得到更“清晰”的输()。 A,,,,, 1 1，出信号。 [2]Wiesenfeld等在1994年首次提出SR 2、随机共振的测度—信噪比增益 实际上是一种阈值效应，低阈值信号、噪声、 阈值系统是产生SR现象的必需因素。在最早用于衡量随机共振现象是否存在 [3]2000年N.G. Stocks提出超阈值随机共振概的标志就是信噪比是否得到改善，人们对于念以前，人们仅研究由一个阈值单元组成的随机共振是否能够使系统输出信噪比高于 [4]随机共振系统，并认为只有当输入信号幅值输入信噪比存在争论。但公认的是，在线低于系统阈值时(即输入为低阈值信号)，才性响应理论下，限定输入信号幅值远小于噪能产生随机共振现象。N.G. Stocks提出阈值声幅值，随机共振不能提供大于1的信噪比阵列模型，证实当输入信号幅值高于系统阈增益。本文利用Suprathreshold SR理论模型值时 (即输入为超阈值信号)，通过此模型可证实在周期输入信号下可获得大于1的信噪得到另一种形式的SR现象——超阈值随机比增益。 共振(Suprathreshold SR)。目前，对于超阈值 F.Chapeau-Blondeau提出的静态阈值随 [5]随机共振的研究主要针对非周期信号输入机共振理论中给出输出信噪比为输出信 [3],B号谐频上的谱线高度与附近带宽内mT/信号下，输入输出互信息量、输入输出相s [4]关系数等随阈值噪声的加入非单调变化噪声功率之比: 2的情况，但对于周期输入却很少有研究。 EYtimtT()exp(2/),,,,,,,ms (1) SNR,,,out对于周期输入，采用输出信噪比增益为Tvar()YttB,,,,s,, 衡量其随机共振测度。本文采用阈值阵列模 其中 ...代时域平均，EYt()为输出信号,,型为研究对象，研究输出信噪比增益是否大 于1的问题。然而，与之前对于输出信噪比var()Yt均值，为输出信号方差。 ,,增益研究不同的是，本文所处理的输入信号 输入信噪比为: 为周期信号与噪声的混合信号，即含噪信 2号。这样一来，输入信噪比是固定的，通过,,,stimtT()exp(2/),,ms (2) ,SNR,,in2T阈值阵列系统，在阈值噪声的作用下 (注,,tB,,,s, 意，含噪输入信号通过阈值阵列系统又受到2,其中，s(t)为输入有用信号，为输入噪声,阈值噪声的作用，即相当于在本来就受污染 ,()t的方差。 的信号中再加入噪声)，可观察到输出信噪 比相对于输入信噪比有所提高(即输出信噪输出信噪比增益为: 比增益大于1)，且输出信噪比增益随着阈值SNRmT,,，，mouts (3) G,,,SNR噪声方差的变化而非单调变化。从黑盒角度TSNRmT，，,,ssin 看，对原本含噪声的信号进行处理，期望其 表示输出信号谐频，文中仅研究mT/m,1s输出信噪比相比输入信噪比增加，相当于对 输入信号进行滤波去噪。而阈值阵列系统就的情况，即输出信号基频。 2 ,()t的方差为输出信号y(t)。若输入噪声3、阈值阵列模型 22,，那么输出信号y(t)的方差为,。则/N最初，人们研究的阈值随机共振是基于 单阈值模型的，该模型的传递函数为 输出信号的信噪比SNR会提高约N倍。鉴 ,1, ()()0;stt，,,,,,于集总平均能改善周期信号的信噪比，可在yt(), (4) ,1, ()()0.stt,，,,,,,,单阈值系统之后级联集总平均器，改善单阈 ,()ts(t)为输入信号，为引入的噪声项，为,值系统的输出信噪比。本文提出适用于周期系统阈值，y(t)为输出信号。对于超阈值周输入的超阈值随机共振系统如图2。 期信号输入，单阈值系统输出信噪比增益小 于1。 单阈集总输入信号输出信号值系平均 N.G. Stocks研究以非周期信号为输入的统器[3]超阈值随机共振，提出了阈值阵列模型，图2 阈值系统与集总平均器的级联 如图1，该模型由N个独立的阈值单元组成， 在N个阈值单元的输入端分别引入独立同图2所示系统展开可得图3所示周期输 1分布的加性阈值噪声，将N个阈值单元的输入下的Suprathreshold SR阈值阵列模型。 1出累加得到系统的输出。 yt()11,1yt(),()t111,1,()t1yt()2111,2yt(),()t22111,2,()tperiodic ()xt2yt()Yt()31,xt()1/N,3yt()yt()3,()t3,,3,()t3 yt()N,Nyt()N,()tN,N,()tN 图3 周期输入的Suprathreshold SR阈值阵图1 非周期输入Suprathreshold SR阈值阵列模型 列模型 此处引入集总平均(Ensemble Averaging)基于Suprathreshold SR的阈值阵列共 [6]的概念:最初由统计学中提出，后被引入有N个阈值单元，每个阈值单元有两个输入到信息领域，集总平均技术曾广泛应用在声端。其中一个为共同输入x(t)， 另一个输入纳信号处理中，并在生物信号、雷达信号、,()t端引入阈值噪声，N个阈值单元输入的i 神经元信号处理中等得到应用。 阈值噪声彼此独立且同分布，其概率密度函 N1 (5) ,，,ytxtt()[()()],数(pdf)为，分布函数(cdf)为。第f(),F(),i,,N,i1 集总平均可由5式描述，输入周期信号,()t,个阈值单元的阈值为，在阈值噪声iiix(t)与噪声的N次独立实现样本 的作用下，其输出为: ,,,(),()...()ttt相加 (N个独立同分布的12N ytsignxtt()[()()],，,,, (6) iii噪声样本与输入周期信号叠加得到N个含 噪信号样本)，并对累加结果取平均，得到xtt()()0，,,,,sign为符号函数，，ii 3 2yt()1,yt()1,,，or 。个阈值单元的输N与均值为0、方差为,的statT()cos2/,,,，，sii, 独立高斯白噪声,()t的混合，在阈值阵列出累加后平均得到系统输出，即 N1 (7) 中，每个单元的阈值噪声,,()...()tt为独立,Ytyt()(),N1ii,1N 本文中研究输入为有用信号和噪声的2同分布的均值为0、方差为的高斯白噪,,xtstt()()(),，,st()混合，，即为输入周期信 ,()t独立于xt()。频率声，且st()i,()t号，为高斯白噪声，其pdf为。固f(),, 10.1/THz,1Hz,()t，采样频率为，的方差s定所有阈值单元的阈值为。那,,,,, 1,2,...iNi 2,,0.5或1，固定所有单元的阈值为么，根据条件期望公式可知: , EytEEytxt()()|(),,,,,,,ii,,0G,()t。图4所示为随阈值噪声方iSNR，,(8)Eytxtfx()|()(),,dx,,xi,,,差递增产生非单调的变化。因为输入信号 12(()),,Fxt,,,SNRxt()已经确定，即输入信噪比是常数，in ，则x(t)的pdf为,fxst(()),xtstt()()(),，,,SNR所以图4也可以看作是输出信噪比out且都相等，所以 EytiN(),1,2,...,,,i,()t随着阈值噪声加入产生的非单调变化。 EYtEyt()(),,,,,i ，, (9) ,,,,,[12(())](())Fxtfxstdx,,,,,, 同理， 2，，N,,12,,，， EYtxtEytxt()|()()|(),,,,i,,,,,,，，Ni,1,,,,，， 11N,22，， ,,，EytxtEytxt()|()()|() ,,ii,,，，NN 2，，Eytxt()|()1,由(6)式知，所以 i ,,，， (a) ，,N,122，，,EYtFxtfxstdx()14(())(()),，,,,,,,，，,,N N,1，, (10) ,,,, 4(())(())Fxtfxstdx,,,,,,N 22 (11) ，，var()()()YtEYtEYt,,,,,,，， 4、信噪比增益的实验分析 4.1 高斯输入噪声下的Suprathreshold SR xt() 考虑输入信号为余弦周期信号 4 的时候，开始超越1，峰值在1.2GN,8SNR 附近。 值得一提的是，Suprathreshold SR不再 适合强噪声下的微弱输入信号，而是要求输 入噪声强度小于有用信号幅度或二者相当。 图5所示每条曲线对应不同的输入有用信号 幅值，随阈值噪声aGstatT()cos2/,,,，，sSNR 2,()t方差的递增产生非单调的变化。其中,, ,()t阈值单元个数N为64，输入噪声的方 (b) 2图4 对于不同的阈值单元个数N，输出信噪比增差。可知，当时，始终不能a,1,,1GSNR, G益随阈值噪声方差增加非单调地变化 突破1，而当时，大于1，并随a,1.2GSNRSNR 着的增加而上升。 a 图4中每条曲线代表不同的阈值单元个 数，从1到1024。当时，随阈值N,1GSNR ,()t噪声的加入逐渐降低，这也是直观的感 觉:加入噪声使得有用信号变得模糊。这也 证明了在输入为超阈值信号时，单个阈值单 元无法产生随机共振现象。此处“超阈值” 并非指输入信号任何时候都大于阈值，而是 指输入信号有时在阈值之上，有时在阈值之 下。当阈值为输入信号均值时，阈值阵列系 [7]统的性能将达到最优。这里选择的阈值 图5 对于不同的s(t)幅值a，输出信噪比增益xt()就是输入信号的均值。当N,1，随,,0i 随阈值噪声方差增加非单调地变化 GSNR着阈值噪声的加入，信噪比增益曲线会产生 4.2 非高斯输入噪声下的Suprathreshold SR 非单调的变化，且N越大，曲线峰值越高。 以上实验都是限定输入噪声服从高斯但是当N很大(大于256)时，峰值趋于稳定。 分布的情况下进行的。F.Chapeau-Blondeau2当s(t)的幅值为1，考虑输入噪声方差,,1,研究在非高斯噪声中利用阈值阵列随机共 [8]振系统检测微弱周期信号。典型的非高斯2和两种情况，分布如图(a)和(b)所示。,,0.5,噪声服从拉普拉斯分布(Laplacian Gaussian) 图(a)中“x”标记N,1024时的峰值为GSNR和混合高斯分布(Gaussian Mixture)。服从拉1.0362，对应的阈值噪声方差为1.45。图(b)2普拉斯分布，均值为0，方差为的噪声,,中“x”标记N,1024时的峰值为1.2571，GSNR 对应的阈值噪声方差为0.60。被认为1,G1,SNR其pdf为。 ,,,f()exp(2),,2,,,是阈值阵列系统对输入含噪信号产生积极 当输入信号为余弦信号与拉普拉N作用的标志。图4(a)中随着的继续增加， 斯噪声的混合时，通过阈值阵列系统后，输趋于恒定，仅在1附近。图4(b)中当GSNR 5 st()出的变化如图6所示。图中，幅G当输入噪声服从非高斯分布，相比服从高斯SNR 2分布情况，可以获得更好的输出信噪比增值a为1，,()t均值为0，方差,,。 1,益。而且，非高斯情况下，当输入信号幅值 不大于输入噪声的均方根时，也可以产生大 不仅于1的信噪比增益。可以认为G1,SNR 与阈值阵列模型参数有关，也与输入噪声的 分布及方差有关。 5、和讨论 综上所述，我们研究了输入超阈值周期 信号和不同分布的输入噪声混合，经阈值阵 列系统得到了输出信噪比大于输入信噪比 (即输出信噪比增益大于1)的结果，这正是,()t图6 输入噪声服从Laplacian分布时， 输出信噪比增益随阈值噪声方差增加非单GSNR超阈值随机共振现象的体现。尽管很多学者 调地变化 认为输出信噪比增益作为衡量随机共振的 服从混合高斯分布，均值为0，方差为测度实践性较小。然而，在一般的信号处理 2的噪声其pdf为: ,中，总是先对输入信号进行滤波，尽可能滤, 除有害噪声，再将滤波后的信号送入信号处，，,,,,2222,,,ccc1,,,,,,, f()expexp,,,,，,,,理单元，如果利用阈值阵列系统对输入信号222,,,,,,2,,,22,,,,,,,,,,,,，，进行预处理，利用噪声的有效性，提高其信 1/22，，噪比，则可能会获得更好的效果。目前在图,,,,,,，,,,,c(1),01,0 ,,，，[9][10]像分割和数字图像水印检测领域，超阈,()t当输入噪声服从混合高斯分布时，值随机共振得到了应用。 ,,,,0.5,0.5，其余条件同图6，输出的GSNR 变化如图7。 参考文献 [1] Gammaitoni L, Hanggi P, Jung P, et al. 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