【doc】区间中素数的上界

【doc】区间中素数的上界 区间中素数的上界 数学年刊 m固1.8p 区间中素数的上界 楼世拓姚琦 (上海科技大学) 提要 本文考察了区间[,世一L?)中的素数个数的上界,:芏明了如下结果: 对任一0<0<1,存在叶:()>满足 +,一如,:砉蓦c), 其中当日鲁时J )=可lOO目普. ?1.引言 石(世+?)一()<器. 1wa?je指出;对任一,O<<1.存在—(>满足 +)一)<{葛}豢,>‰(s),(』) 当虿1t< 百 1时 , )一罟一吾;当>吾时,q()可取为三. 率文证明了当昔<日?茜时取 ()晋(1一)一百100一等 则(1-1)式成立.当鲁<?面1l时, 一 旦>土 』1112' 可见在区域鲁<口?画11r范围内改进了1waeoc中的结果. ?2筛法 记.巴,霉<?+,5,I 奉文1934年4月强日馥搠. 数学年刊10卷A辑 面11?>音 一 ?df%}, - ' (.)l{%?.(.P())旨1}I, 这里.P(一?且记()一II(1--]/p). 引理2.1[(.)?(){F)+}+,这里"一—, .目一c8+O((1og.D)I1), 一 ;d南,(e)嚣(,一), 其中(.D)取遍满足下列条件的.D个数列,包括空子列; .D1?.Dj?…?.DiI .D1D?.D=rI)+1?.D(O?r?(,1)12),(2.1) 而?示关于及(1??)求和,并限于 lP(.D),—lP(g),(2.2) G面(8)仅决定于)p,8,且满足 』d(8)f?1. 面数F(%)定义为 F)一2?,,)一0当0<u<2时, (F("))一,—1)(("))一F-i),u>2, 这里o是Enlor常数. 如果证明了对于某个成立 《g.,(2.3) 8是适当小的正常数若取一.D则由引理2.i成立 )一?(. 为证明(2.3),我们讨论下列Dirichlo$级数 (?皿lJ…,M)-…凸…,(仇i..'%0,(2? 其中ll?1, .c,[半卜嘲一詈, 为方便起见对于不满足世?<一?.的讹定义-.,且记五==瓦j,以及 五(s)一?一. M,(s)一?口,m,(1??) 与】中类似可以得到(?lJ,…世的解析表达式.应用Tjhm8r丘中射 理3.12取0l+log一成立 晷,一吨…(r铆m…讹1一[I) e新楼世拓姚琦区间中素数拘上界25 = 世…皿)+ , . 记8一c+村当f{?<五时,应用[3]中定理4.1可知 )一一eOqL. 当珊?$时, (+)一一一+0(1sf)《一 及击竿出 r十='卫;兰皿((s)鱼西肿』口一'.1一s一'3 +0(E1)十O(E.), 其中.El—l三f世1(o+)皿(.+?…皿(.+)Iyx出 《占(i31?)一c一《-础协_., 目一 I./2Jn(.+衍)…M(.+dIisIgt. 《T珏.(M:tM?M)《庐,, 而且成立1』竺肌(s)…(s)da 善蒜基+o(). 选To一三"及T=z一,取s使得1一十8<6//11. 丑(?皿,…)一击(+二:))生?孕ds+0(). (2.5) 在(2.5)式中按积分路线分成不超过2logx个子区间[2i之和满足?2,对每 一 个子医问[,2取分点?<<…<<,+1一?1,于是对于,?? ?2及点成立 蜀皿,世.…,世)《+(10gm)Vz薯f(o+I.(2.6) 我们约定68都是适当小的正数,且在不同地方可表示不同的数. 其中 ?3.Vaug'han恒等式的应用 Bi理8.1设??1,则 , (),)=一一, 一 .,., f(km)(1ogm),=1,2, 一 善O~y(km),'m《iP 数学年刊10卷A辑 系数JdJaI《』J',啊 (3. ((j),(.?.) 一?(),(3.3) c一(m).(3.4) 取丑.c,)(-", 则对 . )11?(n)(.-) 的估计,将证明:P<T,<一时,(3—5)式的估计可以化为估计和式 日?(m)十(.?.) 其中皿>%I"直>一如=—暑臣世一Pa0如(3.3),(3_4)式定义. 应用引理3.1可知这实际上是在引理3.1中取,(=Br(D)(,并且证明相应的两《 , ,(j一12). 记(s) . d?,, (s). (10gmm)一 (s)一萋("竹), 郅J成立r:f1/"?(s)占(s)(s)—?:二—ds+O~(一)剐成立岛一jJ?(s)占(s)(.)——— _() 及)一?如+0(), 其中当J一1时z()一一'0);当j一2时z()一?().于是 研一一专.(s)z(s+)(s+)(s)拙 十0(归:j?(?+)a(丢+础)i出)+0一 越里r,『s)z+)(s+)『s)鱼?三ds这里J1,.一 ?(s)z0+)(s+(s)兰L—竺_ 《一(?糊)l础)(』:Z(丢糊十))m ×糊++) 《一(+P)")《. 类似地可证明研《妒(一1,2]故由引理8.1(3.5)式可用(3.6)式来估计. 综E所述.欲证(2.3)式,由(2.6)式可见,只要证明对于(D)中任一数列()能够将 8期接世拓姚琦窿间中素数的上界 五百z,现…,_D分戚若千组,其积分别记为1|…,及?戚立 一 l(o+)…(.+船)】(.+0l《?一.(3.7) 若_D.D.__-_D<.一.D1<T我们将_D1分解为1_D三且满足()D?.?--~j--S, ?,然后对于_D,1)2,…_DfJ工进行分组,其积分别为lj…,厦厶.由本 节的讨论可见,在这种情况下(皇.3)式的证盼可以化为证明(3.6)式《一.用证明(2.6) 式的类似方扶义可以化为证明(3;f)式.我们约定,若Lo?则 .厶<. 在这种情况下,?2的讨论l都能够通过,(2.6)式同样成立.. ?4Dirichlet和式的估计 本节讨论婶-7)式左端的Diriob/et级致的估计式,由此得剑的估计式. 目f理1.1当一2时, 丑(皿,M2)《一M血,dI+,, 这里.,' ^(qaj)一{,q?如?啦, f1/2—6q?口.>机 如?q?啦, 其中凸.一12,一1一啦一,h(aa,.)一(口吼), 十孚+一(争吾十<亨.j>2,' +号+n(詈吾+{}),当<<导时, — n (号,吾+鸯)当孚时J 【.+血詈,詈+贵)当<导?时.' 系4.1.1若~<4-8to铴?to则(,)<1/2即0.3)成立. 弓l理4.2(母hM)《一+/一-军1,2,3,当啦<如时, h(一吉如+击士丢.("口1)一击(吼,, (.)一百3t击十号()一击(乱+),(吼,.)一百t音十专(+口.)一亩(乱+), (吼,)一吾如+斋}(+?)一击(旬+) j苤里i=m(乇q),. 一m (南,1一缸一. 寨4.2.1若也《.嘞.<士巽札划(2,却式成盘.] (4.1) (4.2) (4.3) l(4.4) (4.5) (4.5) (4.6) (4.6) 煦..学年刊10卷A辑 系4.2.2若啦?岛,a—6机?粤则(2.3)式成立. 系l?2,8若?foJ啦>苦口?鲁则(2.3)式成立.我们用引理4?2即可证啦 引理'.8若工一工0,'1??,.D1三…<一h,-J剐 为了方便起见,一一:一,吼?有…?吼挑 +…++船<d.若{D.午可的则静假}是许可的,这里>;d一 本文记号世m表示当取定时使(m,0.)<1/2或(m,嘞)<1/2(&--i,23) 引理'.'设数组{目J}(1??)满足条件 (i)对某+<世一: (ij)在{l一,,口1,…+1j…目.一i)中可选出若于甄其和为< } (iii)J?肌" 剐{目}为0许可的. 注意巩当<o/6时J<一撕.且甄.>1/2. 系'.3.1若<t./且满足 ()在一,,以,…,一中可选出若干数,其和为<l/2; ?5.定理的证明 综台上述讨{包欲证定理仅需证明(D)中数列怛都是口许可的,或者说,)都是p 许可的.和d的定义见?4. 6.1当<1一粤时,竹}为p许可.11. 由引理5?1可见,我们仅需证明满足善口,?1一粤N{OJ}墨许可的.j 由(.?)式可见,若岛?1一詈,<8,则 . <*一+勃<导一丢十鲁..) 8捌楼世拓姚琦西同中素数的上界'261 我们记g为捅足 客1一鲁,,塞s(5.2) 的正整数.下面可以按几种情况讨论. (1)q<3.. 由(2.1)式,以+目十如<吾d+丢d一丢十鲁<1一鲁可见这种情况是不可能出现 的. (2)4. 由1一鲁+目s《巩++3如?d可见如《d—l+荽则 Oj+Oj>l一鲁一20.?i_鲁一2(d一1十 一 3(1,韵一2d(6.昌) 又当O~+Oa+O4?f0哆取电一al++日嘞一以<罟<4—8由系4?1?1知为. 许可.当乩+扫s+吼>时,由(5.3)式O=+Oa+O?+号一01一)一号d一号Oi十 10?吾d一丢(以+曰<1一.,故可以设以一l,由以+?吾d<1一l旦如故当> 鲁时取电一以+一Oi一1一以二>百8b由曰i?鲁<1一百2O当既?札 时由系4.23当电<时由(6.3)式a<应用系4.2.1可得,}为.许可.当? 鲁时若妻<1/2,取口一高一由引理4_1知(目,}为口许可I若壹>i/.,易 见巩+0+>1/.一 . 巩+杰?d/3十2一1+9/2)<1一知. 取吼'1一口l一~_Oar>to,一+ 可. (3)一5. 易见a<百1h~i$4. 1知,)为口许 当十+以<o时,由(6.I)式Oi+扫6?罟十寺一1十孚)<4—8札由系4.1,1 知{为0许可.而当口+巩+巩?时,由引理4.1,仅需考虑+目s十>丑f的情 形,当以+(1一妾)?如时,取.=以+(1一壹),啦一++目由>及一 >8,应用gf理4.1即得{口,)是0许可的.当Oi+(1一)<如耐若巩+目+< 因巩+?2~/5<4—8fo,放由系4.1.1知{,)为0许可.着以十如+?札而Ol+ 口.一寺(d一1+等)(由(5.1)式),则 262教学年刊1O卷A并 口.《丢(d一以,口.)《丢(吾d一百1一i3 <1,如,(5.4) 由(5.1)式可见<一m故若巩+以<m则<如<以+以+<Mo..由射理 4.1即知为0许可.仅糯讨论以+》e.的情形.于是01+0?m,因丽仅稻 讨论以+?皿.. ,^, 当<../5时,取一以十(一).由(5-4)式及系4-2-1,舌0<a"故由I琏 4.4或系4.2.1,当?.或<m时必有+吼+>慨可见为许可. 当?/5,由系4.2m?8./9仅需讨论巩+(1一耋)<鲁的情形.由 以+以》..可见?丢则(1一砉)<吾舌.一丢又由巩?丢(d一,鸯)< . d,1+吾如,丢?+口6)<誓.由皿>i1口>丢,++口?+吾(d,以一 , )<号一古故岛++以+<I一这与+(一)知矛盾? '4)?6的情形,可按同样原理证得. 由此可见.(5.1)式中不管取何值.{口}]均为0许可的,即证明了本定理. 参考文献 [1】MontgOmery,?.L.andVa~ghan,R0.,TheLc~rge9}地'氓舯(isz3),1l9—1艇- [2]1wanieeH.Onthe]~tun-TJtchmazshtheorem,,rowr.幻n,-?艇'1(1?,蝣—1髓. 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