数学与应用数学毕业论文- 矩阵的应用

数学与应用数学毕业- 矩阵的应用 学科分类号 0701 本科生毕业论文() ,题目(中文): 矩阵的应用 , Matrix (英文): The Application of 学生姓名: 学 号: 系 别: 数学与应用数学 专 业: 数学与应用数学 指导教师: 起止日期: 2011.11—2012.05 2012 年 5 月 8 日 怀化学院本科毕业论文(设计)诚信声明 作者郑重声明:所呈交的本科毕业论文(设计)～是在指导老师的指导下～独立进行研究所取得的成果～成果不存在知识产权争议(除文中已经注明引用的内容外～论文不含任何其他个人或集体已经发或撰写过的成果(对论文的研究做出重要贡献的个人和集体均已在文中以明确的方式标明(本声明的法律结果由作者承担( 本科毕业论文,设计,作者签名: 年 月 日 目 录 摘 要 ............................................................... I 关键词 .............................................................. I Abstract ........................................................... II Key words .......................................................... II 1 前言 .............................................................. 1 2 矩阵 ............................................................ 3 , 2.1 矩阵的概念 ................................................ 3 , 2.2 矩阵的结论 ................................................ 5 , 3 矩阵的应用 ...................................................... 8 , 3.1 矩阵的逆矩阵 .............................................. 8 , 3.2 矩阵的smith标准形 ....................................... 10 , 3.3 矩阵的相似对角化 ........................................... 12 3.4 若当标准形 ................................................. 14 3.5 零化多项式、特征多项式和最小多项式的关系 ................... 20 结论 ............................................................... 22 参考文献 ........................................................... 23 致 谢 .............................................................. 24 矩阵的应用 , 要 摘 本文讨论矩阵的应用.首先给出了矩阵的逆的两种计算方法及矩阵的,,, smith标准形的三种计算方法,然后利用矩阵的性质、定理得到了一般矩阵的相, 似对角化、若当标准形的两种求解方法～以及同步求解若当标准形和过渡矩阵的三种方法～最后利用矩阵的性质得到计算一般矩阵的最小多项式和若当标准形, 的方法～并由此探讨了最小多项式、零化多项式和特征多项式的关系. 关键词 矩阵,若当标准形,相似对角化,最小多项式 , I The Application of Matrix , Abstract This paper discusses some applications of matrix. Firstly, two calculation , methods of inverse matrix as well as three calculation methods of smith normal form about matrix are given in the paper. Secondly, we use properties and theorems of , matrix to discuss similarity diagonalization of general matrix, and there are two , calculation methods of Jordan canonical form as well as three solutions to synchronously calculate Jordan canonical form. Finally, we use properties of , matrix to calculate minimal polynomial and Jordan canonical form of general matrix, and thereby the relations between minimal polynomial, annihilation polynomial and characteristic polynomial are discussed. Key words matrix; Jordan canonical form; Similarity diagonalization; Minimal matrix, II 1 前言 在矩阵论中～我们把矩阵定义为数的阵列～即它的元素是数域F上的数～统称数字矩阵(现在～把数字矩阵加以推广～设是数域F,上的一个未定元～我们引进矩阵(由于的多项式可作加法、减法、,, 乘法三种运算～并且它们与数的运算有相同的运算规律,而矩阵的加法、减法、乘法和数量乘法的定义仅用到其元素的加法、减法、乘法～因此～我们可以同样定义矩阵的加法、减法、乘法和数量乘法～并, 且矩阵的这些运算同数字矩阵的加法、减法、乘法和数量乘法具有, 相同的运算规律(矩阵行列式的定义也仅用到其元素的加法和乘法～因此～我们可以同样定义一个阶矩阵的行列式(一般来说～矩n,,阵的行列式是的多项式～矩阵的行列式与数字矩阵的行列式有相,, 同的性质～有了矩阵行列式的概念～可以同样定义矩阵的子式、,, [1]余子式、代数余子式.还有矩阵的其它性质和结论可以参考文献, [2-5]～文献[6]、[7]研究了矩阵的逆矩阵的求法～文献[8]研究了, 矩阵的smith标准形的求法～文献[9]、[10]利用矩阵研究了一,, 般矩阵的若当标准形的求法～文献[11]、[12]利用矩阵研究了如何, 同步求解矩阵的若当标准形和过渡矩阵( 矩阵的标准形问题不仅在矩阵理论和矩阵计算中有着重要地位～而且在力学、控制理论等学科中也有着广泛的应用(通常涉及的矩阵标准形有两种:1.对角矩阵,2.若当标准形(一个阶矩阵如果有An 个线性无关的特征向量～则必相似于对角矩阵～如果的线性无AAn 1 关的特征向量的个数小于～则一定不能和对角矩阵相似(这个问题n 就是我们要讨论的矩阵在相似条件下的若当标准形问题～一个阶矩n阵总可以相似于若当矩阵(若当矩阵在数值计算中经常采用～利用它不仅容易求出矩阵的方幂～还在矩阵函数、矩阵级数、微分方程等方面有着广泛的应用(求矩阵到其若当标准形及过渡矩阵自然成为一个重要性的研究课题～由于过渡矩阵涉及到复杂的计算问题～在众多的包含矩阵理论的著作中～有些只讨论了矩阵的若当标准形而未讨论过渡矩阵的求法～有些给了算法～但较为繁琐～由此可见～为了更全面地掌握矩阵的理论～我们有必要对其进行研究( , 在本文中～我们侧重的是利用矩阵的性质定理研究矩阵的应,,用问题:包括求解矩阵的逆矩阵、矩阵的smith标准形～一般矩,, 阵的相似对角化问题～矩阵的若当标准形的求解方法～同步求解一般矩阵的若当标准形和过渡矩阵的方法～探讨最小多项式、零化多项式及特征多项式的关系(本文以矩阵的应用为中心点～将主体部分分, 为三部分～第一章论述是第二章的基础～第三章根据第二章推导出论文的结论( 本文从知识的归纳到一些证明题的证明方法和计算题的方法技巧～都可以用来借鉴～无论是考研～还是学习矩阵(但是～本文也, 有待完善～需要添加更多的有关矩阵的应用知识～或者可以将有关, 矩阵的延伸知识加进去( , 2 2 矩阵 , 本节由两部分组成(第一部分介绍了矩阵的概念～第二部分介, 绍了矩阵的性质和定理～重点是了解矩阵的标准形理论～不变因,, 子、行列式因子及初等因子这三个重要的概念( 2.1 矩阵的概念 , [1]定义2.1 设是一个数域,是一个文字,作多项式环.一P,P[,]个矩阵,如果它的元素是的多项式,即的元素～就称为矩阵. ,,P[,] 与数字矩阵类似,对矩阵也可以引入秩、逆矩阵、初等变换、, 等价关系的定义. r(r,1)A(,) 定义2.2 如果矩阵中有一个级子式不为零,而所有, rA(,)级子式(如果有的话)全为零,则称的秩为.零矩阵的秩r，1 为零. 如是阶数字矩阵,则的秩为. Ann,E,A A(,) 定义2.3 一个的矩阵称为可逆的,如果有一个的,n，nn，n A()B(),B()A(),E,,,,B(,)矩阵使,这里是级单位矩阵,其中En, ,1B(,)A(,)A(,)称为的逆矩阵,记为. 如果阶矩阵可逆,则它的逆矩阵是唯一的,这和数字矩阵是一n, 样的. 定义2.4 下面的三种初等变换叫做矩阵的初等变换:?矩阵的, ;?矩两行,列,互换位置;?矩阵的某一行(列,乘以非零的常数c ,(,),(,)阵的某一行,列,加另一行,列,的倍,是一个多项式. 3 与数字矩阵一样,上面三种初等变换对应着三种初等矩阵:?P(i,j)P(i(c))P(i,j(,));?;?,它们都是可逆初等矩阵. 下面介绍矩阵三个重要的概念,即行列式因子、不变因子、初, 等因子,它们为我们后面讨论矩阵的相似对角化条件和矩阵的标准,形理论做准备. 定义2.5 任意一个非零的的矩阵A(,)都等价于下列形式,s，n 的矩阵 (),,,d1,,(),d,,2,,？,, (2.1) (),,d,r,,0,, ,,？,,0,, d(,)(i,1,2,？,r)其中,是首项系数为1的多项式,且 |d(,)r,1d(,)i，1ii [2](i,1,2,？,r,1)A(,).最后化成的这个矩阵就称为的smith标准形,且 d(,),d(,),？,d(,)A(,)是唯一的.在上述标准形中,称为的不变因12r 子. A(,)A(,)1,k,rr 定义2.6 设矩阵的秩为,对正整数,,中必,k A(,)有非零的阶子式.中全部级子式的首项系数为1的最大公因式kk A(,)称为的级行列式因子. kD(,)k [2] 定义2.7 将矩阵的所有不变因子在数域上分解为标P,A(,) 准分解式,则在标准分解式中出现的全部不可约因式的方幂,相同的按出现的次数计算,称为的初等因子( A(,) 特别地,在复数域上,由代数基本定理～的初等因子都是一A(,) 4 次因式的方幂( 矩阵中几乎涉及高等代数的各个部分,如下面介绍的零化多项, 式和最小多项式( [3] 定义2.8 设为阶矩阵,如果存在多项式使得,An,(A),0,(,)则称为的零化多项式( A,(,) 显然～特征多项式是零化多项式( 定义2.9 阶矩阵的所有零化多项式中,次数最低且首项系数An 为1的多项式称为的最小多项式( A 2.2 矩阵的结论 , 这一节我们主要介绍有关矩阵的一些性质、定理,由于部分是, 参考文献中的主要结论或者推广～所以没有全部给出证明,, 在熟悉有关矩阵的重要性质及定理的基础上～下一章我们将介绍矩阵的,,一些应用. [1]定理2.1 一个的矩阵是可逆的充分必要条件为行列n，n,A(,) 式是一个非零的数. |A(,)| 在数字矩阵中,级矩阵A可逆的充分必要条件是(或A满n|A|,0 A(,)A(,)秩).当矩阵可逆时,必有,即是满秩的.但满秩的,,A(,),0 矩阵不一定是可逆的,因为满秩矩阵的行列式可以是不恒为零的,,的多项式,只有当它的行列式为非零的数时,才称为可逆的. [2]A(,)性质2.1 行列式因子与不变因子的关系:设是秩为的r D()(i,1,2,？,r)A(,)d()(i,1,2,？,r),,的矩阵,是的行列式因子,而s，n,ii 5 是的不变因子,则 A(,) ,,,,D(),d()d()？d()(i,1,2？,r)i12i (2.2) ,D()i,,,d(),D(),d(),(i,1,2,？,r)11i,D()i,1 由此性质可知,行列式因子和不变因子是相互确定的. 下面给出矩阵相似的几个条件. [1]定理2.2 设是数域上两个矩阵,与相似的充分PABA,Bn，n 必要条件是它们的特征矩阵与等价. ,E,A,E,B [1]推论2.1 矩阵与相似的充分必要条件是它们有相同的不AB 变因子或行列式因子. 特殊的～在复数域上～不可约因式只有一次因式,由推论2.1得定理2.3. [1]定理2.3 两个同级复数矩阵相似的充分必要条件是它们有相同的初等因子. 下面给出矩阵相似于对角矩阵的条件. [1]定理2.4 阶矩阵与对角矩阵相似的充要条件是A的最小多An 项式无重根. 定理2.5 复数矩阵A的最小多项式就是A的最后一个不变因子 . d(,)n 证明 设的全部初等因子为 A nn1r111,,,,,(,),？,(,),n,？,n,11111r1,,？？, ,nnsrs1s,,？,,n？n(,),,(,),,,,,sss1srs, nnsr1rs1,,？,,(,,,)？(,,,)d(,),其中互不相同,则.另一方面, 由1s1ns 6 若当定理知 ,,Jn1r1,,1 ,,？，=, AJ,,,,Jsnsrs,, ,,,i,,1？,,,其中,i,1,2,？,s;j,n,n,？,n,而 Jij1r2rsr,,12s？？,,,,1,i,,j，j j.则 m(,),(,,,)Jiij nnnnnnsrsr1r1rsss11111,m(),,[(,,),？,,(,,),？,,(,,),？,,(,,)],,(,,)？(,,,)Asss111,d(,) n [4] 定理2.6 矩阵相似于对角矩阵的充分条件为 A 1)的某一个零化多项式无重根; A f(,),|,E,A|2)特别是的特征多项式无重根. A J,,1,,J,,2性质2.2 级若当矩阵的全部初等因子为 nJ,,,？,,,,Js,, nnns12(,,,),(,,,),？,(,,,)(n，n，？，n,n). 12s12s 由性质2.2可得定理2.7. 定理2.7 复数域上的每个级矩阵A都与一个若尔当形矩阵nJ 相似,这个若尔当形矩阵除去其中若当块的排列次序外是被矩阵AJ 惟一确定的,称为A的若尔当标准形. J 定理中被矩阵A惟一决定就指的是被A的初等因子及初等因子 的方幂所惟一决定. 7 3 矩阵的应用 , 这一章利用2.2中的性质、定理讨论矩阵的应用,考研中出现, 的很多关于矩阵的题目都是涉及到这些性质、定理. , 3.1 矩阵的逆矩阵 , 本节重点介绍求可逆矩阵的逆矩阵的一种新方法( , ,10,,,, 例1 判断是否可逆～若可逆,求出它的逆,,(),21C,, 22,,,,，12，1,, 矩阵. C(,)解 由定理2.1知是可逆的.由求逆矩阵公式知道～ 33,,,,,,,,,,,，1，,22222,,22,,111,,,1C(,),，,, ,,22222,,33,,,,,,,，,2,,，1,,22222,, [6] A(,)E,,A(,) 新方法设是的可逆矩阵～构造分块矩阵, ,n，n,,,,E0,, s,,,,EP(),,i,EP()A()E,,,,,一系列初等变换,i,,1,,,,,,,,,,其中E是的,,n，nt,,,,,,Q(,)0E0,,,,Q()0,,j,,j,1,, P(,),Q(,)P(,)A(,)Q(,),E单位矩阵,是的矩阵.由得, ,n，n ,1,1,1,1A(,),P(,)Q(,)A(,),(Q(,)P(,))A(,),Q(,)P(,),即,故. 例2 用新方法求例1中的逆矩阵. 解 8 10100,,,,, 21010,,, ,,22()，12，1001,,AE,,,,,,,,,,0100000,,E,, ,,010000,,,,001000,, 100100,,,, 21010,,,,,,232121001，,,，，,,,,C,,C,,21 ,,,,10000,,,, ,,010000,,,,001000,,100100,,,,01210,,,,,,,r,r232221021101,,，，,,,,,,2r,,，r(1),,31 ,,,,, 10000,,,, ,,010000,,,,001000,, 100100,,,, 010210,,,,,22,012,101，,,C,C,,23,,,, 10,000,,,,,001000,,,,01,000,, 100100,,,, 010210,,, ,,22,,012101，,,C，,C32,, ,,,,,10000,,, ,,001000,,,,01,000,, 9 100100,,,,010210,,, ,,22,,002111，,,2r,,，r(1)32,, ,,,,,,10000,,, ,,001000,,,,01,000,,, 100100,,,, ,010211,, ,,22,,，,,001111,,,1C，3,,,10000 2,,,,2,,1,,00000,,2,,,01000,,,,2 33,,,,,,,,,,,,,,，1，,10,,,22222,,2100,,,,22,,,,1111,,? . 1,,,,，,,,()00210,,A,,,,,,22222222,,33,,,1,11，,,,,,,,,,,,,00,,，,2,,，1,,,,222222,,,, 从例2可见,新方法尽管篇幅大一点,但整个计算过程简洁、自然,因而较之传统方法而言,它是一个行之有效的简便方法. 3.2 矩阵的smith标准形 , 矩阵的标准形是矩阵理论中一项重要而基础的内容,求矩阵,,的标准形具有很强的灵活性和技巧性.下面我们介绍两种基本的方法:初等变换法和不变因子法. 方法一 初等变换法,即对矩阵进行一系列初等行(列)的变换,, 使得最后化成的矩阵如定义2.6中2.1的形式. 322,,,,11，,,，,,,,2,,,,(),,A 例3 求的标准形. ,, ,,2,1,1,,,,, 10 解 对进行初等变换 A(,) r,r31232100,,,,,,C，C,,11,，,21C，C32,,,,3C,,，,,C(1)231C,C213,,,,,,,,,0,,,,()0,,,,, A,,,, 23,,,,0,，,,,，,1,2,1,,,,, ,C，C32100,,,r，(，1)r32,,r，(,1)2,,,,,,00 ,, ,,00,(,，1),, 最后一个矩阵即为所求的标准形. [8] 方法二不变因子法.我们分以下两种类型( 类型一 利用性质2.1中行列式因子与不变因子的关系2.2求出矩阵的不变因子即可求出矩阵的smith标准形. ,, 2,,，00,,,,,,A,()00 例4 求的标准形. ,, 2,,00(,，1),, 2(,,(,，1)),1,D(,),1A(,) 解 由于故.的非零的二阶子式有三1 22,0,,,,，0，0223个: ,,(,，1),,,(,，1),,,(,，1),220(，1),00(，1),, 2,,，00 23D(,),,(,，1)故.而. 2D(,),0,0,,(,，1)3200(，1), ,D()2dDd,(),,(),1,(,),,,(,，1), 于是的不变因子为: A(,)112D(),1 100,,,,D,()23d,,(,),,,(,，1)A(,).故的标准形为:. 0(1)0，,,3D(),22,,00,(,1)，,, 类型二 利用初等因子和不变因子的关系求smith标准形. 11 ,,0(,1)0,,,,,,, 例5 求的标准形. A(),0，1,, ,,00,,，2,, ,,,0110，,,,,C,C31,,,,C,Cr,r1312 解 ,,,,, ()0(1)00(1)0,,,,,,,,,,A,,,, ,,,,00,2,200,，,，,,,,100,,,r,,，r(2)31,,C,,C31,,0(1)0,,,,,,,已是对角形,但还不是标准形.此时,,, ,,00,(,2),,, ,,,,1,,,,,2矩阵的秩为3,且全部初等因子为:.于是矩阵的不变因, 100,,,,1,,,,(,,1)(,,2),子为.故标准形为:. 00,, ,,,,,00(,1)(,2),, 3.3 矩阵的相似对角化 为了研究矩阵的相似对角化问题～直接处理矩阵的相似关系是比 较困难的,本节将利用定理2.4、推论2.1、定理2.5、定理2.7、定 使得问题具体化. 理2.10来研究矩阵的相似对角化, A,B,C 例6 设是实矩阵. bcacababc,,,,,,,,,,,, . A,cab,B,abc,C,bca,,,,,, ,,,,,,abcbcacab,,,,,, A,B,C 证明彼此相似. ,,,b,c,a,a,b,c,,,,,,,, 证明 ,,,E,A,,c,a,b,,c,a,b,,,, ,,,,,,,a,b,c,b,c,a,,,, ,,,c,a,b,c,a,b,,,,,,,, . ,,b,c,,a,,a,,b,c,,E,B,,,, ,,,,,c,b,c,b,c,a,,,,,, 12 这说明与等价,由定理2.2得:，. AB,E,A,E,B 类似可证明，.再由于相似是一种等价关系,得:，.从而BACCA,B,C彼此相似. ' 例7 证明与相似. AA ',E,A 证明 与对应的级子式互为转置,因而对应的kk,E,A ',E,A级子式相等.这样与有相同的各级行列式因子,由推论,E,A '2.1得:与相似. AA B,C,D例8 判断下列矩阵中,哪些与相似?其中 A,diag(1,2,,1) 1,10010,,,,,,,,. B,,120,C,100,D,diag(,2,1,1),,,, ,,,,003002,,,, 解 ,的初等因子为A,E,A,diag(,,1,,,2,,，1) 2,,1,,,2,,，1;,的初等因子为B,E,B,diag(1,,,3,，1,,,3) 3，53,52～;,的初等因子为,E,C,diag(1,,,1,,,2)C,3,,,,,, 22 ;,的初等因子为,，1,,,1,,,2D,E,D,diag(,，2,,,1,,,1),,1,,,1,,，2. 由定理2.3得:仅有,. AC 2k 例9 设复数矩阵的最小多项式为.证明:与对角AAf(,),,,1阵相似. '2k2k,1(f(,),f(,)),(,,1,2k,),1 证明 因为.即A的最小多项式无 重根,定理2.4得:相似于对角阵. A m 例10 级矩阵称为周期矩阵,如果存在正整数,使,其AnmA,I 中为单位矩阵.证明:复数域上的周期矩阵一定可以对角化. I 13 m 证 由已知条件知,有零化多项式:. Af(,),,,1 ' 而,即的零化多项式无重根.由定理2.6中的1)(f(,),f(,)),1A 得可对角化. A 0,1,,4,, 在实数域上的矩阵不一定可对角化,比如,,则.A,IAA,,,10,, 2|,E,A|,,，1但无实特征值. 1,3,1,,,, 例11 设,试证明:在复数域上可对角化. AA,210,, ,,311,, 32f,(),|,E,A|,,,3,，12,,8 证明计算可得～ ''2(f(,),f(,)),1f(,),3,,6,，12, 用辗转相除法可得,即的特征多A项式无重根.由定理2.6中的2)得相似于对角阵. A 3.4 若当标准形 矩阵的若当标准形理论在数学、力学和计算方法中有广泛的应用.本节将介绍两种方法求解若当标准形:初等因子法;波尔曼法.并且还给出了同步求解若当标准形和过渡矩阵的三种方法:一般方法;行列 矩阵初等变换法. 互逆初等变换法;, 首先我们讨论求解若当标准形的两种方法( [9] 方法一初等因子法.由性质2.2和定理2.7,知道了矩阵的初等因子即可求出矩阵的若当标准形. 2,11,,,, 例12 设,求出的初等因子,并写出的若当标准AA,22,1A,, ,,12,1,, 形. 14 ,,,21,1,21,1,,,,,,,, 解 ,,,,,,,2,21,,4,10EA,,,, 2,,,,,,,,,1,2，1,,3,10,,,, 100100,,,,,,,, ,,,,,0,1,4,0,1,4,,,, 22,,,,,,,,,0,1,,300,2,1,,,, 100100,,,,,,,, ,013003,,,,,,,,, 2,13,,,,00(,1)03(,1)(,1),,,,,,,, 100,,,,3 ,则的初等因子为:. A(,,1)010,,, 3,,00(,1),,, 100,,,,由的初等因子知道,的若当标准形为. AAJ,110,, ,,011,, 方法二 波尔曼法.其基本步骤如下: ,(i,1,2,？,n)第一步～求出的所有特征值. Ai jj(j,1,2,？,n)(,I,A)第二步～对每个不同的特征值和每个求的,ii 秩,记为 jr(,),r(,I,A) jii 在计算秩时,若对某个,使 j0 r(,),r(,) jij，1i00 j,j则对所有,都有 0 r(,),r(,) jiji0 ,,,,(i,1,2,？,n)第三步～对每个求关于的若当块的阶数和若jii b(,)当块的个数. ji 15 ,,,b(),n,2r()，r()1i1i2i b,(),r,(),2r(,)，r(,),j,2jij，1ijij,1i ,,,b(,),s这里需要说明的是,若求出,则说明有个关于的阶若sjiji 当块. ,第四步～写出与相似的若当标准形,它由的每个特征值的AAi ,,,b(,)个关于的阶若当块的直和组成. jjii 下面以例13来说明波尔曼法. ,1,26,,,,例13 求矩阵A,,103的若当标准形. ,, ,,,1,14,, 解 第一步～求的特征值 A ,，12,6 3 ,I,A,1,,3,(,,1) 11,4, ,,,,,,1特征值为:. 123 j(,I,A)第二步～求的秩 i 22,6,,,, r(1),r(I,A),r11,3,,1 ,,11,3,, 000,,,,2 r(1),r(I,A),r000,,2 ,,000,, r(1),03 第三步～求若当块的个数和阶数 b(1),n,2r(1)，r(1),3,2，1，0,1112 b(1),r(1),2r(1)，r(1),0,2，0，1,12321 这说明的若当标准形必有1个关于的1阶若当块和1个AJ,,1 b(1)关于的2阶若当块,它们的直和已是3阶,故不必再求了.所,,13 16 1,,,,以的若当标准形为. J,1A,, ,,11,, 接下来～如何把矩阵到若当标准形的过渡矩阵求出来呢,我们有 三种方法( [11]方法一 :一般方法. ,的全部根为(互异),其中的 设A,C,,,,？,,f(,),|,E,A|,n，n12tAi 重数为,,对每个求齐次线性方程组基础解s,i,1,2,？,t(,E,A)X,0iii j系,,若,令,再解方程组 (A,,E)Y,,,,,k,sl,s,k？,,iiiii1112iij1ki ,,？,,(j,1,2,？,l),求出个解,记为(的广义特征向量),令Al1,k，11,siiii ,1P,(,,？,,,？,,,？,,),则. PAP,J111st1ts1t 232,,,, 例14 已知,求的若当标准形,并求可逆矩阵AJA,182,, ,,,2,14,3,, ,1,使PAP,J. P ,,2,3,2 2 解 ,所以, ,,11f,(),,|E,A|,,1,,8,2,(,,1)(,,3)A 214，3,,,3(二重). 2 对特征根,求相应的特征向量:解方程组得基础,,1(1,E,A)X,01 T解系. ,,(2,0,,1)1 ,,3 对特征根,求相应的特征向量:解方程组,得基(3,E,A)X,02 T础解系. ,,(1,1,2)2 因为,再求广义特征向量,解方程组,得基础解系 (A,3,E)Y,,1,22 T,(,1,0,0), . 3 17 21,1100,,,,,,,,,1令,则. ,(,,),0,10031P,,,PAP,,J,,,,123 ,,,,003,120,,,, 方法二:行列互逆初等变换法. A,,设为任意阶方阵,先作一个矩阵,对的列施以若2n，nAnC,,C,,,E,, 干次初等变换,记相应的初等矩阵依次为,在每次(第次)列变P,？,Pi1s ,1换后立即对行施以一次与初等矩阵相对应的初等行变换Pi (i,1,2,？,s),使的子块化为若当标准形矩阵,此时的子块即AECJC变为过渡矩阵. P 例15 我们利用方法二解答例14. 解 232212312,,,,,,,,,,,,,,182142034,,,,,, ,,,,,,2143001001,,,C,2CC,2C23,,,,,,12,,Ar，2rr，2r 3221,,,,,,,,,,,,,,,,,？？？？？？？？？,,E,,,,,,,,100100100,,,,,, ,,,,,,010010110, ,,,,,,001021221,,,,,,,, 314310331,,,,,,,,,,,,,, 030030030,,,,,, ,,,,,,001001001C,2CC,2C,C,,,,,,3231222r，rr，r,r23132,,,,,,,,,,,,,,,,,,？？？？？？？？？ ,,,,,,100102102,,,,,,,, ,,,,,,112110110,,,,, ,,,,,,225221221,,,,,,,, 18 31010,2,,,,,,,, J,030,P,,1,10所以. ,,,, ,,,,001221,,,, 方法三:矩阵初等变换法. , 设为任意阶方阵,对进行矩阵初等变换,化为对角矩An,,E,A kk1sdiag{(,,,),？,(,,,),1,？,1}阵形如,并进而化为的形式,求出,E,Js1 ,于此同时对单位矩阵进行上述变换中的列变换,当变为IJ,E,A ,1时,变成了,令,则可逆,且满足( PAP,JIN(,)P,N(J)P,N(J),E,J 例16 我们利用方法三解答例14. 解 2232,,,,,010132(1),，,,,,,,,,,,,,182,,,182,,,,,,,,, ,,,,2143，02(1)1,,,,,r，,r,(2)12,,,,,,,EA,r，r232,,,,,,,,,,,, ？？？？？？,,E,,,,,,100100,,,, ,,,,010010,,,,,,001001,,,, 22,,,,010132(1)0(3)0,，,,,,,,,,,,, 100100,,,,,, ,,,,r，r23202(1)1001,,,,,,C,CC，,C,,,,,23212(8)C,Cr，r311322,,,,,,,,,,,,,,,？？？？？？ ,,,,182142,,,,,,,,,, ,,,,010010 ,,,,,,,,001021,,,,, 19 1(3)0310,,,,,,,,,,,,,,300030,,,,,,,, ,,,,001001,,,,r，,(,3)r,r211,,,,C,(,,3)CC,C2112,,,,,,,,,,,,,, ？？？？？？ ,,,,110110,,,,,, ,,,,010100 ,,,,021201,,,,,, 310,11,2,,,,,,,,所以. J,030,P,100,,,, ,,,,001,201,,,, 方法二与方法三都可以实现矩阵若当标准形及过渡矩阵的同步求解,比方法一要来的简单,特别是方法二,当的阶数不大时,每一An步初等变换的选取都不难.这两种方法最后求得的若当标准形,除了若当块的排列次序外是唯一的,但过渡矩阵一般不唯一. p 3.5 零化多项式、特征多项式和最小多项式的关系 本节主要应用定理2.5求矩阵的最小多项式及若当标准形(例17、18),还探讨了有关零化多项式、特征多项式及最小多项式的关系(例19、20). 1000,,,,,1,1,10,, 例17 求的最小多项式 A,,,1111,,,,2220,, 解 对矩阵作初等变换,可得 ,E,A ,,10001110,,,,,,,,,,,,,,,111000，,,,, ,,,,EA2,,,,,,,111101(1)0,,,,,,,,,,,,,,222,002,,,,,,,,,, 20 ,,,,10001,,,,2,,,，01101,,,, ,,32,,,,,,,,010,,,,32,,,,,,,,,,002,,,, 3232 由于,由定理2.5得:的最小多项式为. ,,,Ad(,),,,,4 43 例18 设的特征多项式及最小多项式 Af(,),(,,2)(,,3)A 22,试求出的可能的若当标准形. Am(,),(,,2)(,,3)A 解 首先由假设和定理2.5知道是7阶方阵,且最后一个不变因A 22子为( d(,),(,,2)(,,3)7 2(1)当时,,因此的初等因子d(,),？,d(,),1d(,),(,,2)(,,3)A156 222为,故的若当标准形为 A(,,2),(,,3),(,,2),(,,3) 2,,,,12,, ,,2,, 12,, ,,3,, ,,13 ,,3,, (2)当时,,因此d(,),(,,2)(,,3)d,(),,(,2),d(,),？,d(,),16514 22的初等因子为,从而的若当标准AA(,,2),(,,3),(,,2),(,,2),(,,3) 形为 2,,,,12,,,,3,, 13,,,,2,,,,2,,3,, f(x)m(x) 例19 设矩阵的最小多项式为,是任意多项式.证明AA f(A),0,m(x)|f(x). A 21 f(x)证明 “”:若,则是矩阵的零化多项式,设,Af(A),0 ,(r(x)),,(m(x))f(x),m(x)q(x)，r(x)r(x),0,其中或. AA r(x),0r(A),0 因,若,而, 0,f(A),m(A)q(A)，r(A),r(A)A m(x),由定义2.9知这与次数的最小性矛盾,故,(r(x)),,(m(x))AA r(x),0,m(x)|f(x). A “”:若m(x)|f(x),则f(A),m(A)q(A),0. ,AA 例20 设是阶矩阵,证明 An f(,)m(,)(1)的特征多项式与最小多项式的根相同; AAA (2)若的特征根互异,则. Am(,),f(,)AA f,(),,|E,A|,d(,)d(,)？d(,)证明 (1)因,其中 A12nd(,)(i,1,2,？n)d(,)|d(,),i,1,？,n,1是的不变因子,且. ,E,Aiii，1 d,()d(,)？d(,),f(,),0设是的任一特征根,则,一定存A,1020n000 m(,),d(,),0d(,)|d(,)d(,),0f(,)在某一个,而,所以,即的A0n0i0inA m(,)f(,),m(,)根都是的根.故有相同的根. AAA (2)由(1)和题设,,所以. f(,),m(,),(f(,)),,(m(,)),nAAAA 4 结论 矩阵的运用比较广泛～在很多数学分支中都有着广泛的应用～, 尤其是在高等代数方面的应用显得很重要～虽然矩阵的相关概念比,较简单～但是我们在做有关习题的时候发现很多地方都需要灵活转 变～所以有关矩阵的内容一直是一些学生不容易领会和掌握的( , 本文深入总结有关矩阵的一些性质定理～并运用这些性质定理, 22 解决了有关矩阵的问题:1.如何计算可逆矩阵的逆矩阵(2.怎样,, 计算矩阵的smith标准形(3.矩阵的相似对角化的判定(4.如何,, 求解矩阵的若当标准形～有哪些方法,以及如何同步求解矩阵的若当标准形和过渡矩阵(5.探讨了最小多项式、零化多项式及特征多项式的关系(我在研究的过程中～加强了我对矩阵的认识～并且这个工, 作有利于今后对矩阵的进一步研究.这个过程并不能止于此～我们, 需要更多地应用矩阵去解决相关的问题( , 参考文献 [1] 北京大学数学系.高等代数[M].北京:高等教育出版,2003:328-358. 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