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单项式乘法

2017-09-29 17页 doc 427KB 57阅读

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单项式乘法单项式乘法 【】:单项式相乘,把它们的系数、相同字母分别相乘,对于只在 一个单项式里含有的字母,连同它的指数作为积的一个因式 【】 1322例1:计算7abx?(-acxy) 2 11732232253解: 7abx?(-acxy)=[7×(-)](a?a)bc(x?x)y=-abcxy 222 说明:做两个单项式相乘,初学必须按法则一步步来做,熟练后才能省略中间步骤。 另外做题要仔细,不要遗漏项。 222例2:计算(-3ab)?(-abc)?4ab 222222 解:(-3ab)?(-abc)?4ab=[(-3)×(-...
单项式乘法
单项式乘法 【】:单项式相乘,把它们的系数、相同字母分别相乘,对于只在 一个单项式里含有的字母,连同它的指数作为积的一个因式 【】 1322例1:计算7abx?(-acxy) 2 11732232253解: 7abx?(-acxy)=[7×(-)](a?a)bc(x?x)y=-abcxy 222 说明:做两个单项式相乘,初学必须按法则一步步来做,熟练后才能省略中间步骤。 另外做题要仔细,不要遗漏项。 222例2:计算(-3ab)?(-abc)?4ab 222222 解:(-3ab)?(-abc)?4ab=[(-3)×(-1)×4]?(aaa)?(bbb)c 54 =12abc 说明:三个以上的单项式相乘,仍可利用单项式乘法法则。另外注意系数-1不要漏乘 例3:计算:(m, n为正整数) 1n2n+142n+12nn+1n+2n+1n+1 (1) ax?(ax) (2) (-3a)?ab (3) b?c?b?c2mn2232 (4) (-2xy)?(-xy)?(-3xy) n2n+142n22n+283n+210 解:(1) ax?(ax)= ax?(ax)=ax 119n+12n2n+2n3n+2 (2) (-3a)?ab=(9a)?ab=ab 222n+1n+2n+1n+1n+1n+1n+2n+12n+22n+3 (3) b?c?b?c=(b?b)?(c?c)=b?c mn22322m2n632 (4) (-2xy)?(-xy)?(-3xy)=(4xy)?(-xy)?(-3xy) 2m+72n+5 =12xy 说明:根据混合运算法则,一个式子有乘方运算又有乘法运算的,应先算乘方,再做乘法, 若几个单项式的系数都为1,系数可省略不乘。 例4:计算,把结果用科学记数法示: 6673 (1) (4.2×10)×(3×10) (2) (-5.5×10)×(4×10) 66121213 解:(1) (4.2×10)×(3×10)=12.6×10=1.26×10×10=1.26×1073101011 (2) (-5.5×10)×(4×10)=-22×10=-2.2×10×10=-2.2×10 例5:计算 536242332(1) [2(x+y)]?[-3(x+y)] (2) (x+y)?(-x-y)?[-(x-y)]?(y-x) 1245246解:(1) [2(x+y)]?[-3(x+y)]=-6(x+y) 5362332 (2)(x+y)?(-x-y)?[-(x-y)]?(y-x) 1245 5362332 =(x+y)[-(x+y)][-(x-y)]?[-(x-y)]1245 33332552 =-(x+y)(-(x+y))(x-y)(x-y)=(x+y)(x-y) 88 1 2 【】 单项式乘以多项式,是通过乘法分配律,把它转化为单项式乘以单项式,即单项式与 多项式相乘,就是用单项式的每一项去乘多项式的每一项,再把所得的积相加 【】 13222例1:计算(-ab)?(ab-ab+b) 243 13213112222222解:(-ab)?(ab-ab+b)= (-ab)? (ab)+(-ab) ?(-ab )+(-ab)?( b) 24324223 311333222 =-ab+ab-ab 823 注意:在与单项式相乘时,不要漏乘符号,可把单项式与多项式各项相乘的结果,用 “+”连结,最后写成省略加号的代数和的形式 例2:计算 1122222 (1) ab[3ab(a+b)-5a(ab-b)] (2) -4a(ab+b)+5ab(a-1) 42 1122222222解:(1) ab[3ab(a+b)-5a(ab-b)]= ab[3ab+3ab+(-5a)?ab+(-5a)(-b)] 44 1222222 =ab[3ab+3ab-5ab+5ab] 4 12222 =ab[-2ab+8ab] 4 11222222 =ab?(-2ab)+ ab?8ab44 14334=-ab+2ab 2 11222222(2) -4a(ab+b)+5ab(a-1)=(-4a)?ab+(-4a)?b+5ab?a-5ab 22323 =-2ab-4ab+5ab-5ab 32 =3ab-4ab-5ab 注意:在混合运算中,要注意运算顺序及去括号原则 2253例3 已知:ab=-6,求-ab(ab-ab-b)的值 2 解:由ab=-6则 253253-ab(ab-ab-b)=-ab?ab+(-ab)?(-ab)+(-ab)?(-b) 36242 =-ab+ab+ab 23222 =-(ab)+(ab)+ab 36 =-(-6)+(-6)+(-6) =216+36-6 =246 3 4 【】 :多项式与多项式相乘,先用一个多项式中的每一项乘以另一个多项 式的每一项,再把所得的积相加。 1多项式与多项式相乘,要防止漏项,检查方法是:在没有合并同类项之前, 积的项数应等于原两个多项式项数的积 2多项式相乘的结果应注意合并同类项 23 (x+a)(x+b)=x+(a+b)x+ab (a, b作为常数) 【】 22例1:计算(2a-5b)(2a-3ab+b) 分析:按法则先用2a与第二个多项式中的各项分别相乘,再用-5b与第二个多项式中的各项分别相乘 222222解:(2a-5b)(2a-3ab+b)=2a?2a+2a?(-3ab)+2a?b-5b?2a-5b?(-3ab)-5b?b 322223=4a-6ab+2ab-5ab+15ab-5b 3223=4a-11ab+17ab-5b 例2:计算 (1) (x+1)(x+2) (2) (x-1)(x+3) (3) (x-4)(x-6) (4) (x+3)(x-2) 2分析:利用(x+a)(x+b)=x+(a+b)x+ab来计算 22解:(1) (x+1)(x+2)=x+(1+2)x+1×2=x+3x+2 22(2) (x-1)(x+3)=x+(-1+3)x+(-1)×3=x+2x-3 22(3) (x-4)(x-6)=x+(-4-6)x+(-4)×(-6)=x-10x+24 22(4) (x+3)(x-2)=x+(3-2)x+3×(-2)=x+x-6 2例3:计算 7x-(x-2)(3x+1)-2(x+1)(x-5) 2222解:7x-(x-2)(3x+1)-2(x+1)(x-5)=7x-(3x-6x+x-2)-2(x+x-5x-5) 222 =7x-(3x-5x-2)-(2x-8x-10) 222 =7x-3x+5x+2-2x+8x+10 2 =2x+13x+12 322例4:若不论x取何值,多项式x-2x-4x-1与(x+1)(x+mx+n)都相等,求m, n 分析:两个式子相等,对应项的系数应分别相等 322解:由题意可知x-2x-4x-1=(x+1)(x+mx+n) 32322 x-2x-4x-1=x+mx+nx+x+mx+n 3232 x-2x-4x-1=x+(m+1)x+(m+n)x+n m,1,,2,m,,3,,即 m,n,,4,,n,,1,,n,,1, 2223例5:求出使(x+px+8)(x-3x+q)的积中不含x和x项的p, q的值 2223提示:求出(x+px+8)与(x-3x+q)的积,由于x与x项的系数为零,可求出p, q的 值 5 6 对于一些具有特殊形式的多项式乘法,我们可以把结果写成公式加以熟记: 22 (a+b)(ab)=ab: 注:(1)(a+b)(ab)也可以写为(ab)(a+b) (2)公式中的a, b可表示一个数、一个单项式、一个多项式,若表示分数、多项式 时要加括号 【例题】 例1运用平方差公式计算 (1)(2x+y)(2x-y) (2) (a-3b)(a+3b) (3)(-x+y)(-x-y) 331122 (4)(7x-y)( 7x+y) (5) (-m+4n) (-m-4n) 22332222解:(1)(2x+y)(2x-y)=(2x)-y=4x-y 2222 (2) (a-3b)(a+3b)=a-(3b)=a-9b 2222 (3)(-x+y)(-x-y)=(-x)-y=x-y 33392222242 (4)(7x-y)( 7x+y)= (7x)-(y)=49x-y 2224 11112222(5) (-m+4n) (-m-4n)= (-m)-(4n)=m-16n 3339注:首先观察式子是否符合公式,即是不是两个二项式的积,再看看若其中一个二项式是 两数和,另一个二项式是这两数的差,才能运用公式。 例2 计算 1111224 (1)(x-3)(x+9)(x+3) (2)(x-)(x+)(x+)(x+) 2421622224解:(1)(x-3)(x+9)(x+3)= (x-3) (x+3) (x+9)= (x-9) (x+9)=x-81 111124 (2)(x-)(x+)(x+)(x+) 24216 111124 =(x-) (x+)(x+) (x+) 22416 111224 =(x-)(x+)(x+) 4416 111448 =(x-)(x+)=x- 1616256 例3 利用平方差公式计算 (1)102×98 (2) 49.7×50.3 22解:(1)102×98=(100+2)(100-2)=100-2=10000-4=9996 22 (2) 49.7×50.3=(50-0.3)(50+0.3)=50-0.3=2500-0.09=2499.91 12例4 利用平方差公式计算 3(a-2b)(a+b) 33 121222 解: 3(a-2b)(a+b)= 3(a+b) (a-2b)= (a+2b) (a-2b)=a-4b3333 7 8 【】 222完全平方公式: (a+b)=a+2ab+b 222 (ab)=a2ab+b即: 两数和(或差)的平方,等于它们的平方和,222加上(或者减去)它们的积的两倍。也可以写为: (ab)=a2ab+b ,, 【例题】 例1计算: 1122222 (1) (x+2y) (2)(m-) (3)(a-3b) (4) (-x-y) 2322222解:(1) (x+2y)=x+2x?2y+(2y)=x+4xy+4y 111122222242 (2)(m-)=(m)-2m×+()=m-m+ 2224 111122222 (3)(a-3b)=(a)-2×(a)×3b+(3b)=a-2ab+9b 333922222 (4) (-x-y)=(-x)-2(-x)y+(-y)=x+2xy+y 22222 或:(-x-y)=[-(x+y)]=(x+y)= x+2xy+y 例2计算: 1222 (1) (3a-2b+) (2) (x-x+2) 3 分析:括号中是3项,可以把其中两项的和看作一个整体,再运用完全平方公式 1122解:(1) (3a-2b+)=[(3a-2b)+ ] 33 1122 =(3a-2b)+2 (3a-2b)×+() 33 4122 =9a-12ab+4b+2a-b+ 392222 (2) (x-x+2)=[x-(x-2)] 2222 =(x)-2x(x-2)+(x-2) 4322 =x-2x+4x+x-4x+4 432 = x-2x+5x-4x+4 例3计算:(x+y-z)(x-y+z) 解:(x+y-z)(x-y+z)=[x+(y-z)][x-(y-z)] 22 =x-(y-z) 222 =x-(y-2yx+z) 222 = x-y+2yx-z 222例4 已知:a+b+c=ab+bc+ac,求证a=b=c 222证明:由 a+b+c=ab+bc+ac 可得 222 2(a+b+c)=2(ab+bc+ac)即 222 2 a+2b+2c=2ab+2bc+2ac 222222 (a-2ab+b)+(b-2bc+c)+(a-2ac+c)=0 222 (a-b)+(b-c)+(a-c)=0 222 因为 (a-b)0, (b-c)0, (a-c)0 ,,, 所以 a-b=b-c=a-c=0 即 a=b=c 9 10 【】 1.:同底数幂的相除,底数不变,指数相减,即 02.任何不等于0的数的0次幂都等于1,即 a=1 (a0) , 3.: 任何不等于0的数的-p(p是正整数)次幂、等于这个数的p次幂的倒数,即 1,pa=( a0, p) ,pa 【例题】 例1 计算: 3n+1n+14(1)-y?y(n是正整数) (2) (-ab)?(-ab) 3244232(3) [(3x+2y)]?(3x+2y) (4) [(a-2b)]?[(a-2b)] 分析:第(3)、(4)题应先做乘方,再做除法 -3n+1n+13n+1(n+1)2n解:(1)-y?y=-y=-y -441333(2) (-ab)?(-ab)=(-ab)=(-ab)=-ab -3246464222(3) [(3x+2y)]?(3x+2y)=(3x+2y)?(3x+2y)=(3x+2y)=(3x-2y)=9x-12xy+4y -42328686222(4) [(a-2b)]?[(a-2b)]=(a-2b)?(a-2b)=(a-2b)=(a-2b)=a-4ab+4b 例2计算: -2n25n+1n (-x)?(-x)?[x?x?(-x)] 分析:题中有乘法运算、除法运算、乘法运算,按有理数混合运算的法则,应先乘方,再 乘除,乘除法按从左到右的顺序进行,若有括号可先去括号 -2n25n+1n解:(-x)?(-x)?[x?x?(-x)] -2n25n+1+n+1 =(-x)?(-x)?[-x] -2n2+52n+2 =x?(-x) -2n+3(2n+2) =-x =-x 例3用科学记数法表示下列个数 (1) -56000000 (2) 0.0067 (3) 0.000000123 (4) -0.0075 -73解:(1) -56000000=-5.6×10 (2)0.0067=6.7×10 --73 (3) 0.000000123 =1.23×10 (4)-0.0075=-7.5×10 n注: 用科学记数法把一个数表示成a×10(1a<10)的形式,注意a的范围,另外小, 于1的数用科学记数法时,小数点向移, a的范围仍为1a<10,10. ,例4求下列各式中的x 2,xxx+5 (1) (-3)=81 (2) 81=27 分析:先把等号两边化为同底数幂,当两个相等的幂的底数相等时,指数也一定相等 x4解:(1) 原式化为 (-3)=(-3) 可得 x=4 2,x43x+5 (2) 原式化为 (3)=(3) -84x3x+15 3=3 8-4x=3x+15 x=-1 -mn2m3n例5 若3=6 ,27=2 ,求3 的值 -2m3n2m3nm23nm2n提示: 3=3?3=(3)?(3)=(3)?27 11 12 【】:单项式相除,把,作为的因式,对于在被 除式里含有的字母则连同它的指数作为的一个因式 【例题】 例1计算 111343224 (1)ab?ab (2) (-abx)?5abx 345 15486 (3) 3(x-3y)?[-2(x-3y)] (4) ab(x+y)?a(x+y) 3 111343224解:(1)ab?ab (2) (-abx)?5abx 345 111334224 =(?)(a?a)(b?b) =(-?5)(a?a)(b?b)(x?x) 345 4123 =b =-ax 325 15486 (3) 3(x-3y)?[-2(x-3y)] (4) ab(x+y)?a(x+y) 3 31-112 =-(x-3y) =(1?)ab(x+y) 23 392 =-x+y =3b(x+y) 2222 =3bx+6bxy+3by-102222 例2计算: (-1.8×10)×(-2×10)?(3×10)-1044解:原式=(-1.8×10)×(4×10)?(9×10) -10+(4)4 =-(1.8×4)×10 ?(9×10) 64 =-7.2×10?(9×10) 2 =-0.8×10 =-80 6423例3计算: 15(2a-3b)(2a+3b)?[3(2a-3b)(2a+3b)] 6463解:原式=15(2a-3b)(2a+3b)?[27(2a-3b)(2a+3b)] --6643 =(15?27)(2a-3b)(2a+3b) 5 =(2a+3b) 9 1015 =a+b 99 4-mm4nn例4 已知3=4,3=,求1999的值 81m解:由3=4则 44-m4nm4n4nn3=3?3=4?(3)=4?81== n8181n1可得 n=1 则 1999=1999=1999 13 14 多项式除以单项式,先把这个多项式的每一项除以这个单项式,再把所得的 商相加。 mnm+n 我们学过的幂的运算性质有: a?a=a mn mnmn (a)=a mn nnn (ab)=ab n mnmn aa=a (a0, m , nm>n) ,【例题】 例1计算 323223 (1) (16a-24a+8a)?8a (2) (21xy-7xy+28xy)?(-7xy) 32解:(1) 原式=16a?8a-24a?8a+8a?8a 2 =2a-3a+1 3223 (2) 原式=21xy?(-7xy) -7xy?(-7xy) +28xy?(-7xy) 22 =-3y+xy-4x 说明:对于这类题我们可以根据乘法与除法互为逆运算来进行验算,即将商与除数相乘, 看是否等于被除数 例2计算 m+3m+1mm (1) (ax-bx+cx)?(-x) (m是正整数) 142 (2) [3(x+y)-(x+y)-x-y]?(x+y) 2m+3mm+1mmm解:(1) 原式= ax?(-x)-bx?(-x)+cx?(-x) 3 =-ax+bx-c 142 (2) 原式=[3(x+y)-(x+y)-(x+y)]?(x+y) 2 142 =3(x+y)?(x+y) -(x+y)?(x+y) -(x+y)?(x+y) 2 11133223 =3(x+y)-(x+y)-1=3x+6xy+6xy+3y-x-y-1 222 112232例3 一个多项式除以-xyz,商为3xyz-xyz+yz,求这个多项式 32解:由被除式=除式×商式,可得 112322 (3xyz-xyz+yz)?(-xyz) 23 1111232222=3xyz?(-xyz)-xyz?(-xyz)+yz?(-xyz) 3323 11334322232=-xyz+xyz-xyz 即为所求 36 14223例4将{[5a(a-2)-(-a)?(-a)]?(-a)}?(-a)化简。若=2,求这个代数式的值 a2 提示:因为=2,故a可能有两个值+2与-2,应分别代入化简后的式子 a 15 16
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