[第27讲]炫丽的蝴蝶模型

在小学的学习中几何是一个很重要的部分，每一个几何图形都非常美妙，几何图形的美妙不仅来源于它的外形，更重要的是在几何模型上出现的那些美妙的规律，下面我们就一起来看看几个美妙的几何模型：模型一：任意四边形中的比例关系(“蝴蝶定理”)：①S1∶S2＝S4∶S3或者S1×S3＝S2×S4②AO∶OC＝(S1＋S2)∶(S4＋S3)蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径。通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系。模型二：梯形中比例关系(“梯形蝴蝶定理”)：①S1∶S3＝∶a2∶b2；②S1∶S3∶S2∶S4＝a2∶b2∶ab∶ab；③SABCD的对应份数为(a＋b)2。梯形蝴蝶定理给我们提供了解决梯形面积与上、下底之间关系互相转换的渠道，通过构造模型，直接应用结论，往往在题目中有事半功倍的效果。测试题1．在四边形ABCD中，已知S△AOB＝2平方厘米，S△AOD＝3平方厘米，S△DOC＝6平方厘米，求三角形BCO的面积是多少？2．在四边形ABCD中，S△ABD∶S△BCD＝2∶5，已知AO＝7厘米，求CO的长度。3．梯形的下底是上底的1.5倍，三角形obc的面积是12cm2，问三角形AOD的面积是多少？4．如图，梯形ABCD中，△AOB、△COD的面积分别为1.2和2.7，求梯形ABCD的面积。5．如图，梯形ABCD中，已知△AOB、△COB面积分别为9和12，求梯形ABCD的面积。6．如下图平行四边形被分成4块，其中两块面积为7和4，那么阴影部分面积为_____。1．【分析】根据蝴蝶定理，S△BOC＝2×6÷3＝4(平方厘米)。2．【分析】根据蝴蝶定理，S△ABD∶S△BCD＝AO∶CO＝2∶5，所以(厘米)。3．【分析】根据梯形蝴蝶定理，a∶b＝1∶1.5＝2∶3，S△AOD∶S△BOC＝a2∶b2＝22∶32＝4∶9，所以。 4．【分析】根据梯形蝴蝶定理，S△AOB∶S△COD＝a2∶b2＝1.2∶2.7＝4∶9，所以a∶b＝2∶3，S△AOD∶S△AOB＝ab∶a2＝b∶a＝3∶2，，S梯形ABCD＝1.2＋1.8＋1.8＋2.7＝7.5。5．【分析】由蝴蝶定理知：S△ABO×S△DOC＝S△BOC2，所以S△DOC＝12×12÷9＝16，所以梯形面积为49。6．【分析】连结AE。S△EOC∶S△DOC＝a2∶ab＝a∶b＝4∶7，所以S△AOD∶S△EOC＝72∶42，所以，S△AOE＝7。所以S△AEC＝4＋7＝11；S△ABE＝S△ABC－S△AEC＝(12.25＋7)－(7＋4)＝8.25，所以S阴影＝8.25＋7＝15.25。