1905年 论运动物体的电动力学

论运动物体的电动力学 A. Einstein 1905 06 30 众所周知，麦克斯韦的电动力学——正如现在通常理解的——当应用于运动物体时，会导致不对称，使之无法揭示现象的本质。比如，举个例子，磁体和导体的电动力学互易效应。在这里可观察的现象仅仅依赖于磁体和导体的相对运动。比如，如果磁体是运动的而导体是静止的，在磁体的周围会产生电场，伴随着某种确定的能量，在导体所在的地方就会形成电流。但是如果磁体是固定的而导体在运动，在磁体的周围不会有电场。然而，我们在导体中发现了电动势，虽然在其中并没有相应的能量来产生它，但是它会产生——假设所讨论的两种情况下的相对运动是相同的——和前一种情况下的电势所引起的相同路径和强度的电流。 这个例子，和想要发现地球相对于“光介质”的任何运动的失败尝试一起，表明电动力学现象和机械力学现象不同，并不具有与绝对静止观念相对应的性质。它们其实表明了，正如已被小电荷一级近似所揭示的，同样的电动力学和光学定律在所有的参照系中都成立，对于它们力学方程都仍然有效。我们将这个猜想（它的主旨后来被称作“相对性原理”）确立到基本假设的地位，并且同时引入另一个基本假设，它只是在表面上与前者矛盾，即，真空中的光速总是以确定的速度c传播，而与辐射物体的运动状态无关。这两条基本假设足够建立一个简单而一致的，并且基于麦克斯韦的固定物体理论的关于运动物体的电动力学理论。“光以太”的引入将被证明是多余的，因为这里要展开的观点并不需要一个具有特殊性质的“绝对固定的空间”，也不需要给在电动力学过程发生的真空的一点赋予一个速度向量。 将要展开的理论是基于——正如所有的电动力学——刚体的动力学，因此该理论的任何主张都与刚体间的关系（坐标系）、时钟和电动学过程有关。当前的运动物体的电动力学所遭遇的困难的根本点，就在于对这些细节考察得不够充分。 I．动力学部分 ?1. 同时性的定义 让我们设想一个坐标系，其中牛顿动力方程仍然有效。为了使我们的表述更加精确并在口头上和以后要引入的另一个坐标系区分，我们称它为“固定系”。 如果一个质点相对于这个坐标系是静止的，它的位置可以利用刚性的度量和欧几里得几何学来确定，并可以用笛卡尔坐标来表示。 如果我们希望描述一个质点的运动，我们就给出它的作为时间函数的坐标值。现在我们必须记住这种数学上的描述并没有物理意义，除非我们十分清楚我们所理解的“时间”是什么。我们必须深入考察一下，我们的所有与时间相关的判断总是一种同时性事件的判断。比如，举个例子，我说：“那辆火车在7点钟到这里。”我的意思是：“我的手表指针指向7点和火车的到达是同时性事件。” 通过用“我的手表的指针指向”来代替“时间”，就出现了一种克服关于“时间”定义的所有困难的可能。而且事实上当我们关心的是为和手表处于同一空间的时间作专门定义时，这样的定义是足够的，但是当我们必须将处于不同空间的事件序列联系到时间中，或——同样的说法——评估远离手表的空间所发生的事件的时间，它就不再令人满意了了。 当然，我们可以满足于用下述定义时间值，一个观察者与一只手表一起位于坐标的原点，用来标志时间的每一个事件所对应的手表指针的指向，以光信号发出并通过真空到达他那里进行校准。但是这种校准方法的缺点是，正如我们从经验中得知的，它并非独立于带手表或时钟的观察者的立场。通过下列的思考我们可以得到一个更实用的论断。 如果在空间A点有一个时钟，一个位于A的观察者就可以对紧邻A的事件找到和它同时的指针指向，来确定这些事件的时间值。如果在空间B有一个在所有方面都与A相似的另一个时钟，在B的观察者也可以确定紧邻着B点的事件的时间值。但是如果没有进一步的假设，对在A和B的事件作关于时间的比较就是不可能的。我们至此仅仅确定了一个“A时间”和一个“B时间”。我们还没有找到一个A和B的通用“时间”，后者是根本无法确定的，除非我们在定义上确立起光从A到B所需的“时间”与它从B到A所需的“时间”相等。设一束光线在“A时间”tA从A向B出发，设它在“B时间”tB在B被反射回A，并且在“A时间”tA重新到达A。 根据定义如果                                 则两时钟同步。 我们假定这种同步的定义是无矛盾的，并且对任意多的点都适用；那么下列的关系就是普遍成立的：—— 1．如果B的时钟和A的时钟同步，那么A的时钟与B的同步。 2．如果A的时钟与B的时钟同步同时也与C的时钟同步，B与C的时钟也相互同步。 这样在这种假想物理实验的帮助下，我们已经有了对不同地点的固定时钟的同步的理解，而且显然得到了关于“同时”或“同步”和“时间”的定义。一个事件的“时间”就是位于该事件地点的固定时钟所给出的和该时间同时的事件。这个时钟对于所有的时间测定点，都需要和一个特定的时钟保持同步。 根据经验我们进一步推论出等式                                       作为一个普适常数——真空中的光速译注1。 这就是将时间定义为依赖于固定系的固定时钟的要点，这种适用于固定系的时间定义我们称之为“固定系的时间”。 ?2. 论长度与时间的相对性 以下的推断是基于相对性原理和光速恒定原理。我们定义的这两个原理如下： 1. 改变物理坐标系的状态，定律不受影响，不论这些状态的改变涉及到两个匀速平移运动的坐标系中的那一个。 2. 任何“固定的”坐标系中的光线都以确定的速度c运动，不论这光线是由固定或运动的物体发出。 因此                                     这里的间隔时间由?1给出定义。 设有一根固定的刚性棒；设它的长度I由一根也是固定的测量棒来测量。我们现在假定棒的轴沿着固定坐标系的x轴，然后赋予棒一个沿着平行于x轴正方向的，速度为v的匀速运动。我们现在研究一下这个运动中的棒的长度，假设它的长度由下面两种方法来确定： (a) 观察者带着测量棒一起运动，同时进行测量，直接将测量棒与被测棒重叠来测量它的长度，就像这三者都静止时一样。 (b) 依靠固定系中设置的时钟，并和?1一样进行同步，观察者要得到棒的两个端点在一个确定的时间时位于固定系中的两个点。这两个点之间的距离，由先前的测量棒在静止状态下测量，这个长度也可以被视为“棒的长度”。 依照相对性原理，由方法(a)得到的长度——我们称为“运动系中的棒长度”——必然与固定的棒长度I相同。 由方法(b)得到的长度我们可以称为“固定系中的（运动的）棒长度”。我们可以基于我们的两个原理来确定它，而且我们发现它与I不同。 当前的运动学默认的假设是这两种方法确定的长度是精确相等的，或换句话说，一个在时刻t的运动刚体可以在几何上由一个相同的处于确定位置的静止物体来描述。 我们进一步设想在棒的两端A和B，放置着和固定系同步的时钟，就是说它们处在自己的位置上，其指示在任何时候都与“固定系的时间”相协调。这些时钟因此是“与固定系同步的”。 我们进一步设想每一个时钟各有一个运动的观察者，这两个观察者都按照?1建立的时钟同步准则使用时钟。设一束光线在时间tA从A出发，设它在时间tB在B被反射，并且在时间tA又到达A。考虑到光速恒定原理我们发现                     和 译注2 这里rAB表示运动的棒的长度——在固定系中测量到的。随着运动棒一起运动的观察者会发现两个时钟不再同步了，然而观察者在固定系中就会明白时钟是同步的。 所以我们看到我们对同时的概念不能得到任何绝对的含义。从一个坐标系看来是同步的两个事件，当从另一个相对该坐标系运动的坐标系考察时就不再视为是同时的。 ?3. 坐标变换理论以及时间从一个固定系到相对于前者作匀速运动的另一个系的变换 让我们在“固定的”空间设想两个坐标系，也就是，两个坐标系的三条刚性线相互垂直，并且从一点发出。设两个坐标系的X轴重合，它们的Y和Z轴相对平行。设每个坐标系都有一个刚性测量棒和许多时钟，并设这两根测量棒和所有的时钟都是完全相同的。 现在对两个坐标系中的一个（k）的原点赋予一个恒定的速度v，沿着另一个固定系（K）的x正方向，并且设这个速度传递到了坐标轴、相应的测量棒和时钟上。对于固定系K的任意时间，对于运动系的三个轴都有一个特定的位置相对应，从对称的道理出发，我们有理由k的运动作这样的假定：运动系在时间t（“t”总是表示固定系的时间）时它的轴和固定系的轴平行。 我们现在假定在固定系K中用固定测量棒测量空间，同时在运动系k中用运动测量棒测量；这样我们就分别得到坐标x、y、z和、、。进一步，设固定系的时间t由位于所有点上的时钟利用光信号按照?1指出的方式来确定；类似的，设运动系的时间由位于所有点上的相对于该坐标系静止的时钟按?1给出的方法，利用这些放置了时钟的点之间的光信号来确定。 对于任何的坐标系值x、y、z、t，完全由固定系中的事件的空间和时间来确定，相对应的、、、由k系对应的事件确定，现在我们来尝试找出这些量之间的等式关系。 首先，显然这些等式必然是线性的，这是由于我们归结到空间和时间上的属性是一致的。 如果我们设x=x-vt，显然k系中的一个静止点必然有独立于时间的坐标系值x、y、z。我们先将定义为x、y、z和t的函数。为了做到这一点我们必须仅仅用k系中的静止时钟的数据来表达的等式，这些时钟已经按照?1给出的法则进行了同步。 从在时间0从k系的原点发出一束光线沿着X轴到x，在时间1被反射回坐标原点，在时间2到达；我们必然有，或者，代入的函数表达式并利用固定系中的光速恒定原理：         译注3 因此，如果选择x进行最小化，译注4                     或                             要注意的是我们可以选择坐标原点之外的任何其它点作为光线的起点，这样就得到对所有x、y、z值都适用的等式。 对Y和Z轴有类似的考虑，可以允许光沿着这两个轴传播，从固定系看来，结合速度我们有                           ， 因为是线性函数，它服从下列等式                           译注5 这里a是现在还未知的(v)译注6的函数，再有，这里简要地说一下在k的原点，设t=0时=0。 在这些结果的帮助下，利用光（正如光速恒定原理结合相对性原理所要求的）在运动系中测量时也是以速度c传播的等式表达，我们很容易地确定、、。对于在时间=0发出的沿正方向的光线                       或 但是在固定系中测量到的光线相对于k的原点的速度是c-v译注7，所以                               如果我们在的等式中代入t的值，得到                             考虑沿另两个轴运动的光线也用同样的方法                         当                         ，译注8 则                         ， 代入x的值，我们得到                           这里                           而仍然是一个关于v的未知函数。如果关于运动系的起始位置和的零点没有别的假定，这些等式右侧就会有一个附加的常数。 我们现在必须证明，在运动系中测量的任何光线，也是以速度c传播的，就像我们已经假设的，这正是固定系中的情况；因为我们还没有对光速恒定原理和相对性原理的一致性提供证明。 在时间t==0，这时坐标原点对于两个坐标系是相同的，设从这里发射一个球面波，以速度c在K系中传播。如果（x,y,z）是这个波所到达的一点，则                             利用我们的变换公式变换上式，在一些简单计算后，我们得到                           因此被考察的波在运动系中看来也正如一个以c速度传播的球面波。这表明我们的两个基本原理是一致的。译注9 在已经导出的变换公式中有一个未知的关于v的函数，我们现在来确定它。 为了这个目的我们引入第三个K系，它相对于k系处于沿轴平移运动的状态，这样K系的原点就沿着轴以-v的速度运动译注10。在时间t=0时设三个原点重合，并且当t=x=y=z=0时设K系的时间t为0。我们将在K系中的坐标称为x、y、z，再次应用我们的变换公式得到                 既然x、y、z和x、y、z之间的关系中不包含时间t，K系和K相互之间是静止的，很清楚从K到K的变换必然是同样的变换，这样                               我们现在来研究一下(v)的含义。我们注意到k系的Y轴中在=0，=0，=0和=0，=l，=0之间的部分。Y轴的这部分是一根垂直于它的轴、相对于K以速度v运动的棒。它的两个末端在K中的坐标为：                         ，， 和                         ，， 因此在K中测量的棒长度为l/(v)；它给了我们(v)函数的意义。出于对称性的理由，很明显一根给定的垂直于它的轴运动的棒的长度，必然仅依赖于速度而与运动的方向与感受无关。运动棒的长度在固定系中不变。因此有l/(v)= l/(-v)，或                             从这个关系和前一个关系可以发现l/(v)=1，所以我们已经得到的变换公式变成了                             这里                             ?4. 得到的公式对于运动的刚体和运动的时钟的物理意义 我们考虑一个半径为R的刚体球，相对于运动系k静止，它的中心处于k的坐标的原点。这个相对于K以v速度运动的球面有等式                                 这个等式在时间t=0用x、y、z表示为                             因此，一个在静止状态下测量到的球型刚体，在运动状态下——从固定系看来——具有一个旋转椭球的形状，它的轴为                           ，， 这样，虽然球体（以及不论什么形状的刚体）的Y和Z的尺度不会因为运动而改变，而X的尺度会以的比例显得缩短，即，v越大，缩短的越多。对于v=c所有的运动物体——从“固定”系看来——收缩成了一个平面。对于大于光的速度我们的认知就显得无意义了；然而，我们应该认识到，在我们的理论中光速就是物理上的极限速度。 很清楚，在一个匀速运动的坐标系看来，处于“固定”系中的静止物体会发生同样的现象。 进一步，我们设想这些用于标记相对于固定系静止的时间t，以及相对于运动系静止的时间的时钟中的一个，被置于k系的原点，因此它是用来标记的。当从固定系看去，这个时钟的速度是怎样的呢？ 在数值x、t以及与时钟位置有关的之间，我们显然有x=vt和                         所以                     由此，这个时钟标记的时间（从固定系看来）会每秒慢秒，或者——忽略四阶以上的级数——慢译注11。 从这里可以得出以下不寻常的推论。如果在K的A和B点有两个时钟，在固定系看来是同步的；如果在A的时钟以速度v沿AB运动到B，当它到达B时两个时钟不再同步，而那个从A到B的时钟将滞后于停留在B的时钟（略去四级以上的阶数），t是从A到B运动的时间。 很显然，当时钟沿着任意折线从A运动到B，以及当A和B点重合时，这个结论仍然成立。 如果我们假设这个对于折线已被证明的结论对于一条连续曲线仍然有效，我们就得到这个结论：如果在A点的两个同步时钟之一以恒定速度沿一条封闭曲线运动直到它返回A，旅程持续t秒，那么以保持静止的那个时钟为准，到达A的运动时钟将会慢秒译注12。由此我们肯定在其它条件不变下，一个在赤道上的平衡式时钟译注13较之于位于两极上的同样精度的时钟走时必然要慢一个非常小的量。 ?5. 速度的合成 在以速度v沿着K系的X轴运动的k系中，设一个点按照下列等式运动                           这里和为常数。 必然的：该点的运动与K系相关联。如果在?3导出的转换公式帮助下，我们将x,y,z,t引入到该点的运动方程中，我们得到                               这样对于我们的理论速度的平行四边形法则只有对于一级近似才成立译注14。我们设                               a则被看作是v和w之间的角度。在一些简单的计算之后我们得到译注15                   一个有用的说明是，这个最终速度的表达式中的v和w是对称关系。如果w也是沿着X轴的方向，我们有                               从这个等式得出，两个小于c的速度的合成，结果总是一个小于c的速度。比如如果我们令v=c-，w=c-，和是正的并且小于c，那么                           进一步得出，不可能通过将光速与一个小于它的速度合成来改变光速。在这种情况下我们得到                             当v和w在同一方向时，我们也可以将按照?3的两个变换合成来得到V的公式。如果在?3中的K和k之外，我们再次引入另一个与k平行运动的k系,它的原点以速度w沿轴运动，我们得到x、y、z、t变量和相应的k变量的关系式，与在?3中得到的区别仅仅是“v”的地方被替代为                               从中我们看出这样的平行变换——必然地——构成了一个群译注16。 我们现在已经推导出了符合我们的两个原理所必需的动力学定律，我们接下来要展示它们在电动力学上的应用。 II 电动力学部分 ?6. 真空中的麦克斯韦－赫兹公式变换。论在运动的磁场中 产生的电动力的性质 设真空中的麦克斯韦－赫兹公式在固定系中成立，所以我们有                     译注17 这里的(X,Y,Z)表示电势向量，而(L,M,N)表示磁势译注18。 如果我们在?3中创建的以速度v运动的坐标系中，对于电磁过程运用其中导出的公式，我们得到等式译注19                                                                               译注20 这里                           现在相对性原理要求，如果真空中的麦克斯韦-赫兹公式在K系中成立，它们也在k系中成立；那就是说根据对于独立的电或磁荷的作用力来定义的，运动系中的电势和磁势向量——(X,Y,Z)和(L,M,N)——满足下面的等式：                   很明显，对于k系这两个坐标系的公式必然有严格相同的表达，因为这两个坐标系的公式对于K系中的麦克斯韦-赫兹公式都是等价的。进一步，因为除了向量的符号，这两个坐标系的公式都相符，所以对于这两个坐标系中的公式，方程中相同的地方除了一个系数外必然相符合，这个系数对于同一坐标系公式中的所有方程都一致，不依赖于、、而只依赖于v。这样我们就有关系                     如果我们对这组公式求逆，第一步解刚得到的公式，第二步将这些公式用于反变换（从k到K），此时的速度为-v，它显示，当我们确定这两个坐标系的公式是相同的，那么。进一步，从对称性的原因出发有                                   这样我们的公式形式为                       对于这些公式所阐明的，我们给予下面的解释：设一个带有“一”单位电量的点电荷在固定系K中被测量，也就是当它静止在固定系中时，对于一个一厘米距离处相同的电量给予一达因的力。根据相对性原理这个电荷在运动系中测量时也具有“一”单位的电荷。如果这个电量是相对于固定系静止的，所定义的向量（X,Y,Z）就等于作用于它上面的力。如果该电量是相对于运动系静止的（至少在相关时间内），在运动系中测量到的作用于它上面的力，等于向量（X,Y,Z）。从而上面的等式的前三个可以用下面两种方式来叙述： 1. 如果一单位的点电荷在电磁场中运动，作用于其上的，除了电力之外，还有一个“电动力”，如果忽略v/c二阶以上的系数，它等于电荷的速率和磁势的向量积，除以光速。（旧的表述形式。） 2. 如果一单位的点电荷在电磁场中运动，作用于其上的力等于电荷在那一点受到的电力，也就是我们让电磁场坐标系相对于电荷静止所得到的那种变换。（新的表述形式） 对于“磁动势”也同理。我们看到在原有理论中电动势仅仅扮演了一个辅助概念的角色，这种理论导致了电和磁力不能独立于坐标系的运动状态而存在的观念。 此外，很清楚的是，当我们考察由相对运动的磁体和导体产生的电流时，这种理论所引起的不对称，现在消除了。而且，关于电动力学的电动势（单极结构）的“机理”的问题就没有意义了（have no point）。 ?7. 多普勒原理和畸变理论 在K系中，设离坐标原点非常远的地方有一个电波源，它在包含坐标原点的空间里可以在相当程度上由下列公式近似表示                             译注21 这里                           这里（X0,Y0,Z0）和（L0,M0,N0）是由波阵列的振幅定义的向量，而l、m、n是波面法线的方向余弦。我们希望得知当这些波由一个在运动系k中静止的观察者观测时的构造。 应用?6中的关于电和磁势的转换公式，以及?3中的坐标和时间的转换公式，我们直接得到                                       这里                                                         译注22                             从的等式可以看出如果一个观察者以速度v相对于无穷远处的频率为的光源运动，“光源-观察者”的连线与观察者运动速度构成角度，以这样的方式，在相对于光源静止的坐标系中，观察者感受到的光的频率由下式给出                             这就是任何速度下的多普勒原理。当=0公式就有清楚的形式                             我们看到，和传统观点相反，当v=-c，=。译注23 如果我们将运动系中的波面法线（光线方向）与“光源-观察者”连线之间的角度称为，关于的等式形式为                           我们仍要找到当波在运动系中显示的振幅。如果我们将电或磁势的振幅根据它在固定系或运动系中的测量分别称作A或A，我们得到                       译注24 这个等式，如果=0，简化为                             从这些结果导出，对于一个以速度c逼近光源的观察者，该光源必然呈现出无限大的亮度。       ?8 光线能量的传播。作用在全反射镜上的辐射压力理论 由于A2/8等于每单位体积的光的能量译注25，按照相对性原理，我们就必然将A2/8作为运动系中的光的能量。这样如果无论在K或k中测量一个光包的体积都是相同的，A2/A2就是给定的光包在“运动中测量”与“静止中测量”的能量之比。但是情况并非如此。如果l、m、n是固定系中的光的波面法线的方向余弦，没有能量可以穿越一个以光速运动的球形表面：——                   因此我们可以说这个表面永久包围了相同的光包。我们来探究一下在k系中看到的表面包围的能量，也就是，相对于k系的光包的能量。 球面——在运动系中看到的——成为了一个椭球面，在时间=0时，它的等式为         如果S是球的体积，S是椭球的体积，则经简单的计算有                             这样，如果我们将在固定系中测量到的这个表面包围的光能称为E，将在运动系中测量到的称为E，我们得到                       译注26 这个公式，当=0，简化为                             值得注意的是一个光包的能量和频率都按照相同的方式随观察者的运动状态而改变。 现在设=0坐标面为一全反射面，在?7中描述的平面波在它上面被反射。我们要寻求作用在反射面上的光的压力，以及方向，频率和反射后的光强度。 设入射光由参量A，cos，（K系中）定义。在k中观察到的相应参量为                           对于反射光，在k系中，我们得到                             最后，再变换回固定系K中，我们得到反射光的             在单位时间内作用在单位面积镜子上的能量（在固定系中测量）显然是。在单位时间内离开镜表面的能量为。根据能量原理译注27，这两个表达式的差就是，在单位时间内光的压力所作的功。如果我们设这个功等于乘积Pv，这里P是光的压力，我们得到                           译注28 和实验以及其它理论相一致，我们的得到一级近似为                             利用这里发展的理论所有运动物体的光学问题都可以解决。其实质是，光的受运动物体影响的电和磁力，要转换到相对于该物体静止的坐标系中。用这种方法所有运动物体的光学问题都可以被简化为一系列的固定物体的光学问题。 ?9. 当考虑电流时麦克斯韦-赫兹方程组的变换 我们从下面的方程开始               这里                         表示电流强度的4倍，而表示电荷的速度向量。如果我们假设电荷是恒定的耦合在小的刚体（离子、电子）上，这些方程就是运动物体的洛仑兹电动力学和光学的电磁基础。 设这些方程在K系中成立，并用第3和6节给出的变换公式，将它们转换到k系中。我们则得到方程             这里                         和                         因为——按照?5的速度叠加理论得出的结果——向量只不过是在k系中测量的电荷速度，我们就有证据表明，在我们的动力学原理基础之上，关于运动物体的电动力学的洛仑兹理论的电动力学基石，与相对性原理是相一致的。 作为补充我简要地说一下从已建立的公式中可以很容易地推导出下面重要的法则：一个运动中的带电物体当从运动系观察时，如果无论在何地它的电荷都不变化，那么它的电荷——当从“固定”系K看来——也保持恒定。 ?10. 慢加速电子的动力学 设有一个带电荷的粒子（后来称作“电子”）在一个电磁场里处于运动中，对于它的运动法则我们设想如下：—— 如果电子在一个给定的时段内是静止的，电子在下一时刻产生的运动符合公式                           译注29 这里x、y、z表示电子的坐标，m是电子的质量，此时它的运动非常慢。 现在，第二步，设电子的速度在给定的时段为v。我们要寻求电子在紧随其后的时间产生的运动的法则。 我们可以设想在我们开始观测那个电子的时刻，它是位于坐标原点，以速度v沿着K系的X轴运动，这不会影响我们的理论的性质。那么很清楚在给定的时刻（t=0）电子相对于以速度v沿X轴运动的坐标系是静止的。 从上面的设想出发，结合相对性原理，很清楚在紧随其后的时间内（t值很小），从k系看来，电子的运动遵从公式                             在公式中符号、、、X、Y、Z是关于k系的。如果，进一步，我们规定当t=x=y=z=0时，有====0，第3和6节的变换公式成立，所以我们有               在这些公式的帮助下我们将上面的运动公式从k系变换到K系，得到                             译注30              (A) 按照寻常的观点我们要得到运动电子的“纵向”和“横向”质量。我们将(A)式写成下面的形式                       首先说明一下X，Y，Z是作用在电子上的有质动力的分量，而且在以和电子相同的速度运动的，处于电子的时刻的运动系中看来是确实的。（这个力可以测量，比如，使用一个下面要提到的坐标系中静止的弹簧秤。）现在如果我们将这个力简称为“作用在电子上的力”，并保持公式——质量加速度=力——并且如果我们还规定加速度是在固定系K中测量的，我们从上面的公式中得到                         译注31 使用力和加速度的不同定义我们自然可以得到质量的其它值。这向我们显示在不同电子运动理论的比较上我们必须保持非常的谨慎。 我们要说明这些关于质量的结论对于可测量的质点也是适用的，因为一个可测量的质点可以通过附加电荷而变成电子（在我们这篇论文的意义上），而不论有多小。 我们现在可以确定电子的动能。如果一个在K系坐标原点的电子在静电力X的作用下沿X轴从静止开始运动，显然从静电场吸收的能量值为。因为电子是被缓慢地加速，从而不会以辐射方式散失任何能量，从静电场吸收的能量必然被认为等于电子的动能W。回顾我们所推导的整个运动过程，应用(A)式的第一个表达式，我们因此得到                       译注32 这样，当v=c，W变成无穷大。比光还大的速度——如我们之前的结论——不可能存在。 根据上面的讨论，这个关于动能的表达式，对可测量的质量同样成立。 我们现在要列举从(A)式得出的可用实验检验的电子的运动特性。 1. 当Y=Nv/c，从(A)的第二个等式得出电力Y和磁力N对于以速度v运动的电子有相同的偏移作用。这样我们看到利用我们的理论从偏转磁力Am和偏转电力A的比来确定电子的速度是可能的，对于任何速度，服从法则                               这个关系可以用实验来检验，因为电子的速度能够直接测量，比如，用一个快速振荡的电磁场。 2. 从电子动能的推导中可以得出横向势差译注33P，与电子获得的速度v之间必然有关系                       3. 当存在垂直于电子运动速度的磁势N（仅作为偏转力）时我们计算电子路径的曲率半径。从(A)式的第二个等式我们得到                         或                         根据在这里展开的理论，这三个关系式是关于运动电子的全部表达式。 最后我要说的是在解决这些问题的工作中，我得到了我的朋友和同事M. Besso的忠诚的帮助，我从他那里得到了许多有价值的建议。 译注： 1. 这里所用的代数符号与1905年的德文原始论文有所不同，如原文中对于运动系的坐标轴标记为（,,），而光速的符号为V，等等。1923年的英文版将这些符号改为了现代人更熟悉的形式。 2. 一根以速度v沿x轴运动的棒，在固定系中观察到的长度为rAB，光线从它的A端发出到达B端后反射回A端，如下图所示 在tA时刻，发出光线。在tB时刻到达B点，在固定系中观察，光线走过的路程为                         即                                     在tA时刻，光线反射回A点，走过的路程为                         即                             3. 这个等式只考虑光线沿x轴传播的情况。设运动系的时间是固定系时间t的函数，如上图所示，可以看出，棒AB的A端表示运动系的原点，x表示的是B端的坐标，x所表示的就是运动棒在固定系中观察到的长度，即上图中的rAB。而0、1、2就是上图中的A、B、A，t0、t1、t2就是上图中的tA、tB、tA。对于从t0时刻发出的光线，如果以A端作为坐标原点，在不同时刻光线末端的时间和空间坐标为 在t0时刻，有                                   在t1时刻，有                     在t2时刻，有                     将上面三个等式的t0用t代替，代入就有         4. 即对x求偏微分。再应用偏微分连锁规则，得到后面的等式。 5. 即求解偏微分方程。该方程对应的特征方程为                                 求这个特征方程的任意一组解，设t=u，则                             该方程的一个首次积分为                         因此方程的通解为                         为任意形式的连续可微函数。 考虑到必须是线性的这个附加条件，的形式只能是一个与t和x无关的函数a：                         当方程的首次积分取其他形式时，如                         不能满足线性化条件，因此给予排除。 6. 作者在文中没有对(v)给出定义，结合后面的算式可知                               7. 这里的光线“速度”c-v是光线相对于观察者之外的“第三者”的速度，而不是相对于观察者本身的速度，它的大小是可变的，这种情况不违反光速恒定原理。另外，只根据x的定义也有                                     8. 这个等式只考虑光线沿y轴传播的情况。如果一条光线在运动系中沿轴传播，那么在运动系看来是垂直于轴的，但在固定系看来光线并不是垂直于x轴，而是在这个方向有一个速度分量v，各速度间的关系如下图 就是说，在固定系中，光线沿y轴的传播速度为，而沿y轴的传播距离为                             这说明和传统观点不同，光的传播方式并不是与光源的运动完全无关的，这是否定“光介质”的必然结果。光线传播方向在不同参照系中是不同的，它们的具体关系在第7节中介绍。 光线在不同时刻沿y方向传播的情况如下图           设有一矩形在固定系中观察到的长和宽分别为x和y，以速度v沿x轴运动，矩形的左下角为运动系的原点。在0时刻，光线从原点发出垂直传播（在运动系中观察），在1时刻，光线到达矩形左侧最上端，2时刻返回原点。在固定系中观察到的光线并传播形式如图所示，参照译注3，则有                     根据有         对上式的y求偏导数得到                       即                                 这说明固定系中光线沿y轴运动的时间与y的坐标无关，而它在x轴上的投影始终在矩形的原点处，即x=0。考虑到译注5的结果，在y轴方向传播上的固定系时间和运动系时间的关系为                                 光线沿z轴的情况与y轴相似。 9. 在得到这个等式时，应用了前面推出的从K到k的坐标变换关系，而这种变换关系的推导需要作者提出的两条基本原理互不矛盾作为前提，因此作者关于两条原理一致性的这一段证明是无效的——这里面存在着循环论证，最多，它只能作为一种验算的手段。这种无效性不影响后面的推论。 10. 仔细考察一下就会发现，K实际就是K系，轴就是X轴，因此有                           另外，x变量在前面的第3节中使用过，表示的是另外的含义，不要和这里的混淆。 11. 将按泰勒级数展开为                 如忽略四阶以上的级数，则有                         12. 这一段推论不够严谨，虽然结果刚好是正确的。假设在同一地点的两个观察者A和B分别带有一个时钟，当A离开作封闭运动并最终返回时，按照本文的推导，在处于静止的B看来，始终处于运动的A的时钟会变慢；问题是根据作者提出的相对性原理，A观察者完全可以认为自己是“静止的”，而B在“运动”，这样在A看来B的时钟也变慢了。当两个观察者最终相聚时，到底是谁的时钟变慢了呢？这个问题就是后来所谓的“双生子佯谬”。作者的主要失误在于他的假设：物体“以恒定速度”并且“沿一条封闭曲线运动”，但是这两个条件是矛盾的，因为运动的物体要返回出发点必然会经历一系列加速和减速过程。实际上，本文中作者运用在匀速运动（惯性系）下得到的结果处理封闭运动时引入了额外的假设，即处于加速状态下的物体所处的时空与“固定”参照系的时空是不同的，而这一点在整篇论文中并未提及。实际上，按照作者后来发展的广义相对论的观点，作加速运动的物体的时间相对于匀速参照系会变慢，这使得两个作相对运动的物体相遇时，所受加速较大的物体时间变慢的更多些，对于这两个物体时间的总效应刚好和本文中所预测的一致。 13. 这里的“平衡式时钟”是指利用游丝装置控制走时快慢的时钟，另一种常用的摆钟由于摆锤的运动周期与当地的重力加速度有关，用来比较不同地点的时间快慢是不适宜的。 14. 根据向量的平行四边形法则，设两个速度为V1、V2，它们之间的夹角为，则合成的速度可表达为                       在附近该式按照泰勒级数展开为       其一级近似为                             这里实际意思为，由于沿不同方向的速度有不同的变换，只有当两个速度与坐标轴平行时才可按照原有的方法合成，此时平行四边形法则退化为勾股定理。 15. 将、，代入中，有                     又根据a的定义有                         也就是                       代入第一个式中可得                   要注意的是这里的a也在第3节出现过，代表的是另外的物理含义。 16. 这里的意思是对于-c到c之间的任意速度v和w： 1）按照的变换，得到的结果V仍处于-c到c之间； 2）v和w的值互换不影响结果，即变换关系服从交换律； 3）当v和w中有一个为0，变换结果为另一个的值，即0为这个变换的单位元； 4）当v=-w，变换结果为单位元0，即每一速度值都有它的逆元。 因此，所有v和w的集合就对于运算关系构成了一个阿贝尔群（交换群）。 17. 作者在这里对麦克斯韦-赫兹电磁波方程组的描述与现在通用的形式不同，现在习惯于用电场强度（Ex、Ey、Ez）和磁感应强度（Bx、By、Bz）来描述，它们与文中的“电势”和“磁势”的关系为                                           其中的a为单位磁荷，q为单位电荷，作者在文中省略了它们的标识。 18. “电势”和“磁势”原文为“electric force”和“magnetic force”。其中的force在整篇论文中的含义混淆不清，有时表示“势”，有时表示“力”，现在均按照它应有的含义来翻译。 19. 当一个单位电荷以速度v沿x轴正向运动时，受到磁场力（洛仑兹力）的影响，它的总受力（仍在固定系中观察）变为                       类似的，单位磁荷以速度v沿x轴正向运动时，受到电场力的影响总受力为                             又根据?3的坐标变换公式，有                             将这些代入第一个固定系的方程组中就得到运动系中的第二组方程。 20. 这组方程中的第二个等式有误，不知是否排版的原因，正确的表达应为                 21. 作者在这里设这个波可以表示成简谐波的形式（其它形式的波可以分解为简谐波）。其中的为波的相位，为角频率，/c就是传播数，波的初相位作者取为0。 22. 本节的“畸变”是指电磁波的传播方向（波面法线方向）在不同坐标系中观察到的是不同的。设在固定系中物体速度为V，沿x轴方向的速度分量为Vx，在运动系中物体速度为w，沿轴方向的速度分量为w，根据有               又按照方向余弦的定义有                                                             对于电磁波，V=w=c，因此                                                             另外两个方向的畸变可以用类似的方法导出。 这说明与经典理论不同，电磁波的传播方式是和波源的运动有关的。一个短促而定向的光脉冲在传播方式上与质点的运动遵从相似的规律，这里暗示着，电磁波同样具有惯性（质量）。 23. 这里的光源设定为在x轴负方向无穷远处，则速度v为正时观察者远离光源运动，为负时朝向光源运动。在不考虑相对论效应的传统理论中，观察者感受到的频率为，与本文的结果相差一个系数，这样当v=-c时，=2。 24. 对在一个周期内的简谐波求积分，可知在波的总能量一定的情况下，振幅与频率之比是常数，即                               则                               将代入就有                       25. 这里的A是指电磁波电场势分量的振幅，如果是磁场力，那末单位体积内光的能量为。 26. 注意运动系与固定系中的光能量之比和振幅之比是相同的：                                                             这种表面上的矛盾是由于“光能量”是指能量密度——单位体积中的能量，而相对运动的不同坐标系的空间度量是不同的。 27. 即能量守恒定律。 28. 即有等式               将前面的和的表达式代入，经过一系列化简和合并同类项运算后就得到文中的结果。在一般情况下，光压使镜产生的运动速度非常慢，使v相对于c可以忽略，就得到后面的近似等式                             当光垂直于反射镜时                             光（电磁波）能够对所作用的物体产生压力并使它运动，说明光也和运动物体一样具有动量。沿着文中的思路继续下去可以得到一些有意思的结论，设光线与镜面垂直，单位时间内作用在单位面积镜面上的光的总动量为F，反射回的光总动量为-F，根据动量守恒有                               即                             可以看出，如果所作用的表面不是全发射镜而是全吸收面，作用在上面的力就是。 在单位时间内经过镜面的光体积为c，该体积内的能量为                                   这个公式很容易推广到对于任何体积都成立，也就是说，在一定体积内电磁波的动量为                                 动量的经典定义是质量与速度的乘积，则设在该体积内电磁波的质量为m，有                             由此可得到电磁波质量和能量之间的当量关系                           可以看出这个关系式完全能够从经典电动力学中推导出来。 29. 为电子的电荷。等式的右侧为电子在电场中所受的力，整个等式就是牛顿第二定律的表达式。 30. 按照第3节的变换公式，有                             它们的全微分分别为                       因此                               设                             这是电子在固定系中观察到的速度。 则电子在运动系中的速度为                               因此                               而                   在电子加速初期，电子在运动系中的速度约为0，即uv，所以                           将d的值代入中，有                     将上式和代入就有                               (A)式的后两个等式可以用类似方法导出。 在这里电子沿X轴向受力的等式可以推广到电磁力以外的任何力上，即用力的通用符号F取代X，其它计算都不会改变，因此具有普遍的意义。 31. 要注意的是这里的“纵向质量”是一个等价的量而不是运动物体的质量，这是因为在静止条件下的牛顿第二定律表达式：                                   对于运动物体是不适用的。此时质量本身是运动速度的函数，因此表达式应写为它的原始形式：                             式中m表示运动物体的质量。 代入“纵向质量”的表达式有                           所以物体的运动质量与静止质量的关系为：                                 32. 推算过程为 根据                               有                         因此                       因为                                 上式变为                   另外一个办法，根据                       则             将                                   代入上式同样得到                         这里的W是物体从静止运动到速度v所增加的能量，因此可以看出当v=0时W=0，式中的mc2意味着物体的静止能量（见作者在1905年9月27日发表的补充论文《一个物体的惯性依赖于它所包含的能量吗？》），因此运动物体的总能量为                       可以看出v=0时，E=mc2；而v=c时E为无穷。 按照作者在《Relativity: The Special and General Theory》中的阐述，运动物体的总能量可以以泰勒级数形式表示为：               级数中第三项以后的可以忽略不计，前两项刚好为物体的静止能量与经典理论中的动能。 要注意这里的物体静止质量m与注28中出现的光的质量m的意义有所不同，因为光的静止质量为0。 还有进一步的，以速度v运动的物体的动量为                               将运动物体的能量的平方减去它的动量与光速乘积的平方：                       可以写为                         即一个物体运动能量与静止能量的平方差等于该物体动量与与光速乘积的平方。 对于光来说，它的静止质量m为0，因此得到                                   这与注28中的结果是一致的。 33. 原文如此，根据下文的等式，应为纵向势差。