一年级数学20以内退位减法 口算练习题

键槽应力集中及优化摘要：键和键槽是最常见的轴毂连接方式的一种。然而，很少见到关于数值分析方面的文献。设计所遵守的规范已有近半个世纪，且文献中的大多数结果，是基于光弹实验分析得出的。本文介绍了数值有限元分析（FE）如何提高键槽的应力集中的预测。结果表明，在使用形状优化和简单的超椭圆形后，最大应力水平降低了50％，键槽的疲劳寿命可以大幅提高。该设计便于更改，只需改变两个可变的设计参数，因此就比较实用。关键词：键槽，平键，应力集中，优化，拉普拉斯方程，有限元1引言键和键槽常用来连接轴和轮毂。键和键槽的设计由不同的标准而定，如参考[1]。根据不同的设计原理，键可以分为平键，锥形键或半圆键。其中，最常见的是平键，也是本文的主题。键和键槽的设计，完全是根据一个参数——--轴直径的标准来控制。就提高疲劳强度的设计而言，这方面的成果寥寥无几，比如应力集中的最小化。目前笔者所知，这方面虽然由Orthwein指出，但之后没有进行。其它设计或许在文献中提出，例如文献[7]和[8]。大概是菲隆首次提出有键槽的轴的扭转刚度。该文中，轴的建模是椭圆形横截面形状，键槽的建模是双曲线形状。这篇分析文章发表之后，很多实验性论文论述了键和键槽连接的应力集中问题。这些论文中（所讨论的方法），有许多使用的是光弹性分析方法，例如文献[8]到[13]。其他的是在表面电镀铜，例如文献[14]到[15]。除了文献[7]和[8]，其他论文论述了实验性的应力集中证明，请参阅在Orthwein的文献[4]。最常用的关于应力集中因素的论述是Peterson提出的，Pilkey进行了转载和扩展[17]。本文的键槽结果就是取自文献[8、9、15]。采用有限元（FE）的建模和计算可以对结果改善，但目前尚未完成。因此，本文的目的有两个：首先，通过使用有限元分析现有的标准设计，找到应力集中；然后，通过降低应力集中改进/优化键槽设计。键槽应力的三维效果如彼得森所述。通过分析发现，许多不同的因素，都会对复杂的有限元分析以及计算最大应力产生影响。这些因素是：（一）负载：拉伸，弯曲，或扭矩;（二）键：有负载的键（有/无插入键槽）;（三）应力：在键槽末端或圆柱形部分图1两个标准平键键槽末端。（a）圆头平键键槽（b）平头平键键槽由于数值分析的局限性，本文仅论述扭矩;关于其他负载或负载组合，读者可以参考费斯勒[9]。Leven对数值和实验做了简单的比较[8]。试验条件可能是加载扭矩时键槽中没有键，说明这种情况没有必要做接触分析，这使得数值分析相当复杂。该报告的结果（在Okubo[15]）指出，不通过键而施加纯扭矩载荷下的最大应力，与通过键施加扭矩载荷的情况有所区别。这篇文章中的实验[15]分为两组（A组和B），以对应轴直径不变情况下不同尺寸的键槽。实验结果是，相对于无键的情况下，A组中圆柱形键槽的最大应力大于8-12％，B组的大于4-7％。不同的是，A组键末端的最大应力大于16-24％，B组大于12-14％。这些数值不受圆角半径对轴直径的比值的影响。结论是，应力集中可以通过研究发现。研究的方法不是通过键施加扭矩，而是在键槽圆柱形部分施加大于应力最大值12％的应力。键槽末端有两种标准设计，如图1。圆头平键键槽是由一个立铣刀铣出，平头平键键槽（sled-runnerkeyway）是由普通铣刀铣出。在圆头平键键槽中，键槽末端的应力集中最严重。所以对于疲劳测试，平头平键键槽是最好的设计。Orthwein[4]提出一种改变平头平键键槽末端的设计，该设计能够进一步提高键槽的疲劳性能。Leven[8]发现，圆头平键键槽末端在纯扭矩作用下，应力集中系数K=3.4，该键槽的宽度与轴直径之比b/d=1/4。这个值不受键槽底部圆角半径的影响。如果圆头平键键槽末端的设计能够改进的话，我们可以不用圆形设计，这很可能会增加加工成本，并且不是本文进一步讨论的内容。如果用同样的铣刀加工孔，相对于键槽末端而言，平头平键键槽在纯扭矩作用下的应力集中系数比圆柱形键槽高。本文中，通过简化（模型），使得分析的应力集中系数完全取决于圆柱形键槽底部的圆角。该设计的二维图如图2所示。按照标准，改善应力集中的唯一方法如图2中的设计，即选取最大圆角半径r。以往对于机械元件形状优化的成果（见参考文献[19]和[20]）表明，由圆形变为椭圆形对应力集中影响显著。这也在本文中得到了证明。本文的结构如下：在第2节用数学公式阐述扭矩问题，并且介绍有限元处理过程。第3节介绍了标准设计的结果，和基于一定比值r/d（t/d和b/d是确定值）的应力集中实际曲线的拟合方程。第4节提出优化设计，同时对标准设计做出不同的修改，从而大大减少了应力集中。因此，第5节中提出了新的键槽标准设计。图2.平键键槽的圆柱形截面，轴心为坐标系原点。根据DIN6885-1[1]，相关尺寸为轴直径d=100mm（t=10mm，b=28mm，0.4mm≤r≤0.6mm）2数学公式和有限元分析（Fe）扭矩如下G-----剪切弹性模量J------横截面的扭转刚度系数，φ-----扭转截面的旋转角度l------轴的长度在文献中经常使用θ=φ／L，即单位长度的旋转角度。这是假设一个圆柱形轴与笛卡儿坐标系X，Y—和Z方向对齐。例如，轴线与Z方向对齐。Saint-Venant给出了变形函数y（x，y），其中力矩作用下轴的位移函数如下根据定义，截面剪切应力（所有其他应力为零）如下：根据零体积变化和力的平衡进行拉普拉斯微分方程变换，变形函数必须满足为了解决这个微分方程，需要有边界条件。自由边界没有表面牵引力。如果把正交的表面定义为{Nx，Ny}，没有表面牵引力的边界条件由下式给出：通过使用等式（3），上式可以改写成变形函数的Neumann边界条件：图3利用对称性显示了轴横截面的一半。对称线的边界条件如下：如果对称线y=0，如图3，对称线（7）的边界条件可以简化。由于nx=0和ny=1，边界条件变为tZX=0或根据方程（3）DY/DX=0。这与Dirichlet边界条件是相同的。其中，C为任意常数。由于只有变形函数的一次导数有用，我们可以让C=0。通过边界条件（6）和（8）阐述扭矩问题（4），可以使用标准偏微分方程（PDE）求解。本文中用到程序COMSOL[21]。应当指出的是，位移（2）是相对于扭矩中心的坐标系定义的。然而，所涉及的应变和应力的计算，是不受运动或坐标系统的旋转影响的。图3.图像是图2中的轴的一半。例（a）是有限元网格划分，插图有917个网格。狄利克雷Dirichle边界条件（8）应用于底部的边，而Neumann边界条件（6）应用于其余的边。（b）是由此产生的应力水平线，该图说明了边角的应力集中情况。2.1应力集中应力集中一般定义为在键槽应力集中其中δNOM是公称应力，即没有键槽的最大应力，δmax是键槽的最大应力。这两者都是最大的主应力。下标t表示，这仅是理论上基于几何形状和载荷/边界条件的应力集中，不包括材料敏感度。对于扭转问题的应力集中，可以由以下等式求出当前扭转问题公称应力和最大应力是在相同外部荷载作用下的应力。根据线性弹性（linearelasticity）的假设，外部负载大小不影响应力集中。Mt的大小应由下式选取公称应力和最大应力的计算为其中JÇ是圆轴横截面的扭矩刚度系数JĶ是有键槽处轴横截面的扭矩刚度系数2.2有限元模型有限元模型如图3所示。轴的设计按照DIN标准，如图3所示。只需对轴的一半建模。底边是对称线，狄利克雷Dirichlet边界条件（8）适用。Neumann边界条件（6）应用于到其他的边界。为了达到直观的效果，网格数被限制（917片）。在本文中，网格是被划分成很多片（30000〜60000）的情况下进行的数值计算。采用收敛测试(Convergencetests)确认有限元分析结果。最大应力是主要的目的，因为应力集中由应力决定。在所有数值计算中，键槽边界发现了最大应力。沿着圆角的应力集中（分布）如图4（a）所示（s为弧长），沿着键槽边界的应力集中（分布）如呈下降趋势的（closeup）图4（b）所示，。从优化的角度来说，这是不是最佳的设计，因为为了达到设计优化的目的，希望应力是沿表面的主要部分连续不变的。参考【19】图。应力水平为：圆角半径r=0.6mm时Kt=2.93；r=0.4mm时Kt=3.32。这对于符合标准几何形状的设计而言，应力集中有相当大的变化。图4该图是图2所示中轴的一半，并以弧长函数的形式显示了应力集中。（a）图是沿键槽边界的应力集中系数，从外部的点开始，直到中点结束。（b）图中应力集中呈闭合状，这里只显示在拐角处沿圆角半径r=0.6mm的值，该值为最大值为Kt=2.93；圆角半径r=0.4时，Kt=3.32。应力集中点附近的网格有必要进行细微划分，以便通过有限元分析来得到精确的最大应力值。按照标准规定设计的半圆形圆角，见第3节中，网格密度由有限元程序控制。收敛测试使得网格密度足够大，以确保结果可靠。在第4节的优化设计中，离散的外部边界使得沿圆角有500个节点。这样，应力集中系数的准确度会很高。3键槽圆角（DIN）的应力集中标准的键槽设计中[1]，圆柱部分的圆角在公差范围以内。对于相同的直径，r/d可变。如图2所示。根据特定轴的直径，标准还规定了b/d和t/d的比值。根据标准，直径范围为6mm≤d≤500mm，不同比率的限制范围是：深度t/d和宽度b/d的变化如图5（a）所示。圆角比值t/d的上下限如图5（b）所示，以上都是根据DIN6885。很明显，图5中的设计有很大的变化。在已经发表的论文中，圆柱部分在纯扭矩作用下的应力集中（分析）是根据利文[8]的研究得到的。对于b/d=0.25和t/d=0.125的具体情况，已经给出了结果。根据DIN6885，对于键槽设计的整个范围是否有合适的平均值，值得怀疑。从上一节中100mm轴的集中应力值来看，似乎不是如此。利文的研究结果[8]略微高估了K的值，因此，Pilkey[17]的研究中的拟合曲线也同样高估。然而，得到的结果仍然是保守的。更好的拟合曲线如下式这是b/d=0.25和t/d=0.125特定情况的拟合曲线。Pilkey[17]的拟合曲线是由方程（20）得出。方程（20）给出的Kt平均值比方程式（19）的平均值高4％。键槽设计是由四个变量控制，直径d，深度t，宽度b和圆角比r。如第2节中所述，对于特定值，可以得到应力集中系数K。然而，这有利于得到一个与拟合曲线接近的应力集中系数代数表达式，（19）。在此不会去尝试得到一个同时涵盖所有不同设计的应力集中的表达式。根据DIN标准，尝试把应力集中系数与设计变量取得联系是可行的。两组曲线图像可以看出，从宽度比到厚度比，这两个设计参数根据轴直径的变化呈自然下降趋势。图5（a）根据DIN6885，以深度比t/d、宽度比b/d为轴直径的函数。（b）根据DIN6885，以圆角比r/d的上、下限为轴直径的函数。图6（a）中直径范围6mm≤D≤38mm，图6（b）中直径范围38mm≤D≤500mm。假设根据数据拟合的线性曲线适当，为了与深度t的建立联系，消除一个设计参数（宽度B）。线性拟合曲线是应注意的是，不应当对d=38mm时的连续性做出分析。两个数值实验已经完成，一个如图7所示，直径范围6mm≤D≤38mm；另一个如图8所示，直径范围38mm≤D≤500mm。在这两种情况下，DIN标准规定设计变量做出了不同的限制。从数值计算（这些点）来看，显然能得到一个可表示结果的简单拟合曲线。应该注意，在图7和图8中显示的结果，是由以方程（21）和（22）为限制条件的设计得出。为两个直径范围中的每一个添加拟合曲线。应当指出，拟合曲线的正确性被图7和8所示的设计空间所限制。拟合曲线由下式给出：应注意，d=38mm时，不需要尝试让曲线具有连续性。图6（a）根据DIN6885，直径范围是6mm≤d≤38mm时，宽度比随深度比变化的函数如图，同时也给出了线性拟合曲线（21）。（b）根据DIN6885，直径范围是38mm≤d≤500mm时，宽度比随深度比变化的函数（22）如图。图7直径范围为6mm≤d≤38mm时，应力集中系数随圆角比而变化的情况如图。根据DIN6885,这个直径范围内，满足0.005≤r/d≤0.027并且深度比满足0.13≤t/d≤0.25。通过（21），宽比b/d与深度比产生关联。由点和实线所显示的数值计算结果，就是以上数据的拟合曲线，见公式（23）两条拟合曲线，和一个简单的应力集中系数。该系数是按照DIN6885给出的设计，在纯扭矩作用在键槽圆柱部分时估计出的。至于具体的设计，可以不按照在第2节规定的全数值模拟标准DIN6885。从一个标准键槽得出的应力集中系数，也可以以图形的方式显示，如图9。对应圆角比上限和下限的点，在此处用直线连接。不同的设计的k系数，将位于两条线所限制的区域中。最上方的线作为最坏情况的应力集中系数4键槽优化和很多其他机械元件设计一样，在键槽设计中，标准的首选形状是圆形或半圆形。这可能是因为参数化简单和/或容易制造。然而，对于平头平键键槽设计或圆头平键键槽，采用不同的圆角形状并不难。对于应力集中，从形状最佳的角度来说，圆形并非最理想的形状，这是众所周知，如见彼得森[19]。在数字化的形状优化方面，有详细的或更好的形状分析说明是非常重要的。分析说明也可以对其他设计进行验证和对比成为可能。另一个原因由形状优化中得知（例如，见[22]和参考文献），即有限元模型的节点不能作为设计参数使用。图8在直径范围为38mm≤d≤500mm时，应力集中系数随圆角比而变化的情况如图。根据DIN6885，这个直径范围内，满足0.003≤r/d≤0.01并且深度比满足0.06≤t/d≤0.14。通过方程（22），宽比b/d与深度比产生关联。由点和实线所显示的数值计算结果，就是以上数据的拟合曲线，见公式（24）图9在纯扭作用下，键槽圆柱部分的应力集中系数随直径变化。不同的设计变量由DIN6885的控制。对应数值模拟的点，由直线连在一起。图10设计领域：半个键槽的圆角是一个半长轴是A和B超的椭圆从实用的角度，重点应该是简单，虽然优化结果仍然应接近最佳设计。一个确定的参数具有足够的灵活性，即得到的最优设计，只能实际优化过程后进行检查或验证。如果应力一直沿面的主要部分，则该形状被认为是最理想的，见彼得森[19]。这里选择的参数化，是通过使用超椭圆形得到的。这是因为参数化简单，并且在其他问题上，原来由这种形状获得的结果与应力集中有关。圆角的椭圆形状可以在图10的设计领域中看到。超椭圆（超椭圆幂η）的参数形式为根据图10，键槽的设计完全由以下5个设计参数决定：宽度为b，深度T，长度L1、L2和超椭圆功率η。所有进行的优化中，一些参数当做是已知的，这样只有两个起作用的设计参数。对100mm轴所有参数的研究，和所有例子中宽度的选取，都是根据标准进行的，即B=28mm。这当然是特殊选择的轴直径，但能表明应力水平改善如何的结果，更有普遍性。4.1设计方案1第一个设计方案的公差仅适用于最小可能的设计变更，该设计变更与DIN标准规定的原设计有关。预选值是B=28mm，t=8mm，L1=7.4mm即宽度和深度符合标准，轴肩长度L1符合允许的最大圆角比r=0.6mm。因此，设计变量是末端长度L2和超椭圆幂η。研究得到的最佳参值L2=13.19mm，η=1.63图11是最大主应力的等值线图。从该图中可以看出，这些等值线接近圆角平行线，说明沿着外形有连续的应力。这在显示沿键槽边界集中应力系数的图12中可以直观地看到。从呈下降趋势的图12（b）可以看出，该应力沿圆角接近稳定不变。最佳的应力集中系数值为Kt=2.53。该数值可以与原来Kt=2.93时的结果相比。Kt=2.93时，是按照DIN标准的半圆形圆角设计的。由于这个相当小的设计变化，最大应力因此降低了13.6％。由于轴肩长度L1没有改变，因此可以认为这种键槽设计完全和原设计的作用一样。图12是半个键槽的图，显示了集中应力随弧长变化的情况：（a）应力集中系数沿所述键槽边界的外部点开始，直到中心点结束（b）集中应力呈闭合趋势，这里只显示沿超椭圆键槽边界最大应力集中系数，为K=2.534.2设计方案2在第二个设计方案中，取消了深度t的限制，允许键槽更深，以研究这种办法来实现应力改善。预选值仍是B=28mm，L1=7.4mm即宽度符合DIN6885，轴肩长度L1符合允许的最大圆角比r=0.6mm。原则上，现在有三个设计变量：深度t、长度L2和超椭圆幂η。然而，从预定参数的研究中发现L2=0，并且长度参数L2不是可变的设计参数。最佳研究结果的参数值是L2=0mm，T=11.51，η=1.99图13是最大主应力的等值线图。与前面的例子一样，图中接近圆角的等值线与圆角并行，说明沿外形有持续不变的应力。图14显示的沿键槽边界的应力集中系数，说明了这一点。虚直线表示最大值，此时K=1.65。可以看出，沿圆角的应力接近于常数。图中显示的是沿着半键槽的的应力集中系数。已知开始的角位置处应力必须为零，然后压力必须逐渐增大到最大值。在这种情况下，沿圆角的最大值几乎不变。虽然只有两个可变的设计参数，参数化选择很简单的，设计是接近最佳。更好的参数化有较多设计变量，可能使得沿外形的应力更加稳定。但是从图14来看，可改善的空间很小。这种设计的最大应力，相对于原设计减小了43.7%。该设计的改进，是按照与标准规定相同的轴肩长度完成的。因此，承载能力相同。然而，必须改变键的设计，使其与新的键槽设计相符合。图13优化设计的最大主应力等值线图图14应力集中沿所述键槽边界的外部点开始，直到中心点结束4.3设计方案3在最后的方案中唯一确定的变量是宽度和深度B=28mm，t=8mm在这个例子中，有三个设计变量。但是与前面例子的情况下一样，参数研究的结果是长度L2应该为零。优化设计变量L2=0mm，L1=4.56，η=2.22图15是该设计和最大主应力的等值线图。与前一段落的评价相同，在这种情况下，应力集中得到更大的改善。虚线直线表示最大值，此时Ķ=1.50，最大应力减少48.8％。相对前面的例子，这里改善的部分原因是由于键槽变小。由于深度变小，对于轴承失效，在这种情况下比前面的例子中的承载能力要小。图15优化设计的最大主应力等值线图16沿从键槽外部点到中心点，应力集中随弧长而变化5新标准建议上一节中的例子表明，基于键槽设计标准的不同的设计改变，应力可能减的情况。结果表明，要想充分实现应力减少，设计必须针对不同的轴直径。但是，与最佳设计相比，有微小更改的设计来说，也可以有相对大的改进。建议新标准按照设计方案2。考虑到在原设计上的差异，建议小于或大于d=38mm轴直径上的差异更小。新建议的键槽设计常见的设计变量是（a）L1=按照DIN6885允许的最小轴肩长度（b）L2=0;（c）η=2;（d）b=DIN6885标准;（e）6mm≤d≤38mm时t=1.4L1；38mm≤d≤500mm时t=1.5L。图17给出了直径范围6mm≤d≤500mm时的K系数，同时给出了根据标准获得的最小集中应力。可以看出，对于直径范围的大部分内，K系数几乎不变。该设计最适合较大的直径范围，但总是比由标准给出的更好。根据DIN6885规定，在集中应力最小的d=8mm条件下，得到的最小差异是Ķ=2.65，而新键槽设计K=2.41，即减少了9％的压力。对于大多数的直径范围，最大应力的降低约35%时，改善比较大。这个数字可以与比前一节提到的43.7％相比6结论本文展示了在纯扭矩作用下，找出键槽的圆柱部分的应力集中系数是是相当简单的。采用按DIN6885规定的键槽设计，本文得到的结果是应力集中系数的代数表达式。同时，给出了符合DIN6885标准的应力集中系数区域。本文第二部分关注的，是键槽设计方案中最大限度地减少应力集中系数。同时给出了根据标准设计的三个不同方案。应力水平有近高达50％的显著降低。这是通过引入一个非常简单的超椭圆形状实现的，并且只用两个设计参数。对最优应力集中是根据参考[15]的结果，通过纯扭矩载荷作用发现的。通过键对键槽施加负载，从而使所得到的应力集中系数发生变化。最后，提出了对于整个直径范围的整体的设计方案或键槽设计新标准。其结果是，平均而言，相对于按照DIN6885所达到的最佳设计，最大应力减少35％，最小的改善是9%，但相对于为每个轴直径定制的设计，这个是要选新标准。图17纯扭矩作用下，圆柱部分的应力集中系数随直径而变化的函数。顶部曲线是按照DIN885设计允许的最大圆角半径条件下的系数，底部曲线是提出的新的键槽设计条件下的系数。与数字模拟对应的点连成了一条直线。