【doc】 例说新定义趣味自然数的解法

【doc】 例说新定义趣味自然数的解法 例说新定义趣味自然数的解法 中学数学杂志(初中)2005年第6期27 例说新定义趣味自然数的解法 广东省汕尾市陆河县东坑中学516722邱锦字 新定义趣味自然数问题,是近年来各种 能力测试及竞赛的热门考点,这种题型给出 一 定规划下的定义(如”漂亮数”,”吉祥数”, “幸运数”,”平方舞伴数”等),找出符合 这一的趣味自然数是哪些?有多少个?有 什么性质?学生在解答这类题目时往往感到 比较困难,其实,只要深刻理解了题目中新定 义的含义,发现新定义的一些性质,并以此为 依据,努力探索,准确推理,问题就可迎刃而 解.下面举例说明. 例l一个自然数若能表示成两个整数 的平方差,则称这个数为”智慧数”.1,2,3, … ,98共98个自然数中,”智慧数”的个数是 —— . (1998年全国初中数学联赛 改编) 解对=一/7”l=(“+z)(“一 )(1?z<1’l?98,/7”t,”为整数) 因为+/7”1与一同奇同偶,所以 是奇数或是4的倍数,所以l至98共98个自 然数中,智慧数有49+24=73(个). 例2对于一个自然数n,如果能找到 自然数a和b,使”=a+b+ab,则称为 一 个”好数”,例如3=l+1+l×l,则3是 一 个”好数”,在】,20这20个自然数中,”好 数”有——个.(2005年全国初中数学联 赛初赛试题) 解因”好数”,有,2+1=(a+1)(b 十1),可见”+1是一个合数,注意到2,3,4, … ,2l中共有8个质数,于是其中还有21—8 :12个合数,相应地,l,20这20个自然数 中,有l2个”好数”. 例3为自然数,若+6l.+1996, 则称”为1996年的”吉祥数”,比如4+6l4. +1996,4就是1996年的一个吉祥数.试求 出1996年所有吉祥数的和.(1996年北京市 初中数学竞赛试题) 解因为,z+1996=(+6)(一6 +36)+1780,贝0+6l+1996,所以+ 6l1780.又1780=2×2×5×89,故,z+6 = 10,20,89,178,356,445,890,1780.从而 7z=4,14,83,172,350,439,884,1774.所以 1996年的所有吉祥数的和是3720. 例4将自然数N接写在每一个自然数 的右面(比如,把2接写在87的右面得872), 如果得到的新数都能被N整除,那么称N为 “魔术数”,在小于130的自数中,”魔术数”的 个数为. 解设魔术数N是忌位数,P是任一自 数数,作数PN=P×10+N.根据已知条 件,N整WY’N,可见N整除l0. (1)若N是l位数,即忌=l,则N是l0 的约数,N=l,2,5; (2)若N是2位数,即忌=2,则N是l0 的约数,N=10,20,25,50; (3)若N是3位数,即忌=3,则N是l0 的约数,又因N<130,故N=100,125. 所以小于130的魔术数共有9个. 例5一个三位正整数称为”凹数”,如 果同时有a>a2及a3>a2(例如104,525, 849都是凹数,而123,684,200都不是凹数). 试求所有三位凹数的个数. 解设这个三位凹数为,则a: 是a.,a2,a3中最小的一个. 若取a2=0,则a.可取1,9,a可取l , 9,此时凹数有9个; 若取n=1,则a.可取2,9,n可取2 中学数学杂志(初中)2005年第6期 , 9.此时凹数有8个; 若取口=2,则口可取3,9,口3可取3 , 9.此时凹数有7个; 若取a=7,则a.可取8,9,a可取8, 9,此时凹数有2个; 若取a2=8,则a.可取9,a3可取9,此 时凹数有l个; 故所有三位凹数的个数是1+2+3+ … +9z:285. 例6试求出这样的四位数,它的前两 位数字与后两位数字分别组成的二位数之和 的平方,恰好等于这个四位数(这样的四位数 称为”藕合数”).(2003年全国初中数学联赛 试题) 解设这样的四位数为,则(+ ):.令=,/7,-c--d=Y,N(x+) = lOOx+y.即(z+y)(,/7+Y一1)=99x, 故知z+Y或,/7+Y一1中必有一个为11的 倍数,也必有一个为9的倍数,易检验知只 有如下的解:45×44=99×20.55×54=99 ×30,99×98=99×98,得到四位数中的”藕 合数”为2025,3025,9801. 例7把一个正整数的数码按顺序倒写 后所得的数与原数相同,这个数称为”回文 数”.例如:22,101,342243,…. (1)将任意两个四位回文数的差记为, 求.32的最小正值m; (2)证明:每一个四位回文数能被m整 除.(1992年云南省初二数学竞赛试题) 解(1)设这个回文数为abba,而abba = lO00a+lOOb+lOb+n=11(91a+ lOb),可见每一位四位回文数都是11的倍 数.因而任意两个四位回文数的差也是1l 的倍数,故z的最小正值,,z=11. (2)证明:因为m=11,每一个四位回 文数都是11的倍数,故每一个四位回文数能 被ir/-I整除. 新定义趣味自然数问题内容新颖别致, 灵活多样,能较好地测定学生的适应能 力和探索能力.解答这类问题往往没有固定 的规律可循,重要的是要迅速适应题目的要 求,把问题转化为普通的常见的问题来解答. 巧用增元技巧妙解代数方程 浙江省乐清市乐成六中325600王志 在数学竞赛中,有些复杂的或具有某种 特殊结构的方程用常规方法求解较繁难.但 运用增元法可达到化繁为简,快速求解的目 的.本文略举几例予以说明. 1解整式方程 侈41解方程./7=(,/7+3x一2)+ 3(z+3x一2)一2.(1996年四川省初中数 学竞赛试题) 分析若去括号,会得到一元四次方 程,对初中学生来说求解实非容易,故不可 取.若注意到括号内整体特征,设Y:z2+ 3x一2,从而将一元方程转化为二元二次方 程组,易解. 解设Y=,/7+3x一2,则有 f=Y+3y一2,(1) 1:z2+3z一2.(2) (1)一(2)得(z—Y)(+Y+4):0. 当=Y时,由(2)解得,/71.2=一l?; 当+Y+4=0时,将Y:一(z+4)代 入(2),解得.=一2??2,