子式和代数余子式

子式和代数余子式 3.4 子式和代数余子式 行列开的依行依列展开 教学目的: 1. 掌握计算行列 式的能力 2. 通过一些比较典型的例题分析和习题训练,掌握行列式计算中的一些技巧 教学: 1. 子式和余子式: 定义1 在一个n阶行列式D中任意取定k行k列.位于这些行列相交处的元素所构成的k 阶行列式叫做行列式D的一个k阶子式. 例1 在四阶行列式 aaaa11121314 aaaa21222324 D= aaaa31323334 aaaa41424344 中，取定第二行和第三行，第一列和第四列，那么位于这些行列的相交处的元素就构成D的一 个二阶子式 aa2124 M= aa3134 定义2 n(n>1)阶行列式 a？a？a111j1n ？？？？？？？？？？？ a？a？a D= i1ijin ？？？？？？？？？？ a？a？an1njnn aMa的某一元素余子式指的是在D中划去所在的行和列后所余下的n-1阶子式. ijijij 例2 例子的四阶行列式的元素 aaa111214 M = aaa23313234 aaa414244 i，jaMa定义 3 n阶行列式D的元素的余子式附以符号后,叫做元素的代数余子(,1)ijijij 式. aA元素的代数余子式用符号来表示: ijij i，jAM=. (,1)ijij a例3 例1中的四阶行列式D的元素的余子式是 23 aaa11121423，MM=(,1)M=-=- aaa232323313234 aaa414244 现在先看一个特殊的情形，就是一个n阶行列式的某一行(列)的元素最多有一个不是零的情形。 定理3.4.1若在一个n阶行列式 a？a？a111j1n ？？？？？？？？ a？a？a D= i1ijin ？？？？？？？？？？ a？a？an1njnn ijijij中，第I行,或第j列,的元素除a外都是零，那么这个行列式等于a与它代数余子式A的乘积: ijijD= aA 证 我们只对行来证明这个定理。 ij1, 先假定D的第一行的元素除a外都是零。这时 00a？11 aa？a21222n ？？？？？？？？ aa？an1n2nn D= 我们要证明， 1，1111111111111 D=aA= a,-1,M= aM， 也就是说， aa？a22232n aa？a32333n ？？？？？？？？ aa？an2n3nn11 D= a ,1, 11子式M的每一项都可以写作 2j3jnj23naa……a， 3n211此处j，j，…，j是2，3，…n这n-1个数码的一个排列。我们看项,1,与元素a的乘积 2j3jnj1123n a aa……a， 这一乘积的元素位在D的不同的行与不同的列上，因此它是D的一项。反过来，由于行列式 11D的每一项都含有第一列的一 个元素，而第一行的元素除a外都零，因此D的每一项都可以 1111写成,2,的形式，这就是说，D的每一项都是a与它的子式M的某一项的乘积，因此D 1111与aM有相同的项， 乘积,2,在D的符号是 ,(1j,(j？j？j))nn22 ,-1,=,-1, 111111另一方面，乘积,2,在aM中的符号就是,1,在M中的符号。乘积,1,的元素 3n211既然位在D 的第2，3，…，n行与第j，j，…j列，因此它位在M的第1，2，…，n- ,((j,1)？(j,1))n23n2111行与j-1，j-1，…，j-1列，所以,1,在M中的符号应该是,-1,。 nn221111显然，л,j…j,=л,,j-1,…,j-1,,。这样，乘积这,2,在aM中的符号与D中的符号一致。所以 1111 D= aM 现在我们来看一般的情形。设 a？aaa？a111,j,11j1,j，11n ？？？？？？？？？？？？？ 0？0a0？01j ？？？？？？？？？？？？？？ a？aaa？an1n,j,1njn,j，1nnD= ijij我们变动行列式D的行列，使a位于第一行与第一列，并且保持a的余子式不变。 为了达到这一目的，我们把D的第I行依次与第I-1，I-2，…2，1行变换，这样，一共经过了I-1次交换两行步骤，我们就把D的第I行换到第一行的位置。然后在把第j列依次与j- ij1，j-2，…，2，1列交换，一共经过j-1次交换两列的步骤，a就被换到第一行与第一列的位置上，这时，D 变为下面形式的行列式: a0...00...0ij aa...aa...a1j111,j，11,j，11n .......................................... aa...aa...ai,1,ji,1,1i,1,j,1i,1,j，1i,1,n aa...aa...ai，1,ji，1,1i，1,j,1i，1,j，1i，1,r .......................................... aa...aa...anjn1n,j,1n,j，1nn1 D= D1是由D经过(i-1)+(j-1)次换行换列的步骤而得到的.由命题3.3.3,交换行列式的两行或两列,行列式改变符号.因此 (i,1)，(j,1)i，jDD(,1)(,1)11 D==. aDij1在中,位在第一行与第一列,并且第一行的其余元素都是零;由1), a？aa？a111,j,11,j，11n ？？？？？？？？？？？？ a？aa？ai,1,1i,1,j,1i,1,j，1i,1,n a？aa？ai，1,1i，1,j,1i，1,j，1i，1,n ？？？？？？？？？？？？ a？aa？aaaMn1n,j,1n,j，1nnijijij D= = 因此 i，ji，ji，jaMaMaAD(,1)(,1)(,1)ijijijijijij1D====. 这样,定理得到证明. 定理 3.4.2 行列式D等于它任意一行(列)的所有元素与它们的对应代数余子式的乘积的和. 换句话说,行列式有依行或依列的展开式: aA，aA，？aAi1i1i2i2ininD=(I=1,2,…，n)， , 3, aA，aA，？aA1j1j2j2jnjnjD=(j=1,2,…，n)。 ,4, 在证明这一定理这前，我们先注意以下事实: 设 aa？aaa？a11121n11121n ？？？？？？？？？？？？？？？？ aa？abb？bi1i2ini1i2in ？？？？？？？？？？？？？？？？ aa？aaa？aDDn1n2nnn1n2nn12 = ，= D1是两个N阶行列式，在这两个行列式中除去第I行外，其余的相应行都不得相同。那么， aDij1的第I行的对应元素有相同的代数余子式。事实上，的子式是划去的第I行第J列后所 DD12与只有第I行不同，所以划去这两个行列式的第I行和第J得的N-1阶行列式。由于 abijij列，我们得到同一的行列式。因此与的子式相同，而它们的代数余子式也相同。 显然对列来说，也有同样的事实。 现在我们来证明定理3.4.2.我们只对行来证明,换句话说,只证明公式(3).公式(4)的证明是完全类似的. 先把行列式D写成以下形式: aa？a11121n ？？？？？？？？ a，，？，，a，，？，？，？，，ai1i2in0000000 ？？？？？？？？ aa？an1n2nn D= 也就是说,把D的第I行的每一元素写成N项的和.根据命题3.3.9,D等于个行列式的和: aa？aaa？a11121n11121n ？？？？？？？？？？？？？？？ a0？00a？0i1i2 ？？？？？？？？？？？？？？？？ aa？aaa？an1n2nnn1n2nnD= + aa？a11121n ？？？？？？？？ 00？ain ？？？？？？？？ aa？an1n2nn +…+ . 在这N个行列式的每一个中,除了第I行外,其余的行都不得与D ii的相应行相同。因此，每一行列式的第行的元素代数余子式与D的第行的对应元素的代数 余子式相同。这样，由定理3.4.1， D,aA，aA，？，aAi1i1i2i2inin 以下定理在某种意义下和定理3.4.2平行。 定理3.4.3 行列式 aa？a11121n ？？？？ aa？ai1i2in ,D？？？？ aa？aj1j2jn ？？？？ aa？an1n2nn 的某一行,列,的元素与另外一行,列,的对应元素的代数余子式的乘积的和等于零。 换句话说: aA，aA，？，aA,0(i,j),i1j1i2j2injn ,5, aA，aA，？，aA,0(s,t).1s1t2s2tnsnt ,6, 证 我们只证明等式,5,。看行列式 aa？a11121n ？？？？ (i)aa？ai1i2in D,.？？？？ (j)aaa？j1j2jn ？？？？ aa？an1n2nn jjDD,0DDi1111的第行与第行完全相同，所以。另一方面，与D仅有第行不同，因此 jjjD1的第行的元素的代数余子式与D的第行的对应元素的代数余子式相同。把依第行展 开，得 D,aA，aA，？，aA1i1j1i2j2injn 因而 aA，aA，？，aA,0i1j1i2j2injn 例4 计算四阶行列式 31,12 ,513,4D,201,1 1,53,3 在这个行列式里，第三行已有一个元素是零。由第一列减去第三列的二倍，再把第三列加到第 四列上，得 51,11 ,1113,1D,0010 ,5,530 根据定理3.4.1 511 3，3D,1，(,1),111,1 ,5,50 把所得三阶行列式的第一行加到第二行，得 511,621，3,620,1，(,1),40.,5,5,5,50 所以D=40。 例5 计算阶行列式 x,10？00 0x,1？00 00x？00,,n？？？？？？ 000x1？, aaa？ax，an,1n,2n,321 按第一列展开，得 x,10？00,10？000x,1？00x,1？0000x？00，1n，，,,x，,1a0x？00nn？？？？？？？？？？？000？x,100？x,1aaa？ax，a,1,2,321nnn ,,n,1n,1nn,1这里的第一个阶行列式和有相同的形式，把它记作,第二个阶行列式等于 n,1，，,1。所以 ,,x,，a.nn,1n n(,2)这个式子对于任何都成立。因此有 ,,x,，ann,1n ,x(x,，a)，an,2n,1n 2,x,，ax，an,2n,1n ,？？？？？？ n,1n,2,x,，ax，？，ax，a.12n,1n 但。所以 例6 计算行列式 111？ aa？a12n222,Daa？an12n ？？？？ 2n,12n,12n,1aa？a12n 这个行列式叫做一个阶范得蒙,Vandermonde,行列式。 a1由最后一行开始，每一行减去它的相邻的前一行乘以，得 111？1 0a,aa,a？a,a2131n1D,0a(a,a)a(a,a)？a(a,a)n221331nn1 ？？？？？ n,2n,2n,20a(a,a)a(a,a)？a(a,a)221331nn1 根据定理3.4.1 a,aa,a？a,a2131n1 a(a,a)a(a,a)？a(a,a)221331nn1D,n？？？？ ,,,n2n2n2a(a,a)a(a,a)？a(a,a)221331nn1 提出每一列的公因子后，得 ？111 aa？a23n222Daaaa？aa,,,,aa？a()()()n2131n123n ？？？？ n,2n,2n,2aa？a23n Dn,1n,1最后的因子是一个阶的范得蒙行列式，我们用代表它: D,(a,a)(a,a)？(a,a)Dn2131n1n,1 同样得 D,(a,a)(a,a)？(a,a)Dn,13242n2n,2 此处是一个阶的范得蒙行列式。如此继续下去，最后得 D,(a,a)(a,a)？(a,a),(a,a)？(a,a),？？,(a,a).n2131n132n2nn,1