概率论公理化进程的历史研究

概率论公理化进程的历史研究 山东大学 硕士学位论文 概率论公理化进程的历史研究 姓名张鑫 申请学位级别硕士 专业基础数学 指导教师包芳勋 2012-10-20山东大学硕士学位论文 摘要 概率论自创立以来已经从起初分析赌博中的问题发展成为现代 数学的主流分支之一现代概率论的研究方向和研究方法已经获得了 极大发展特别是近十几年概率论与其他学科逐渐交叉结合形成 了一些新的学科分支和增长点并且在科学研究和实际应用中都取得 了突出成果这些成果的取得都缘于概率论公理化体系的建立 年柯尔莫哥洛夫提出的公理化体系已经成为目前为止得到最为广泛 认可的概率论的理论基础公理化体系的建立标志着概率论成为一门 具有坚实逻辑基础的数学分支它不仅让概率理论结构清晰逻辑严 密并且让概率理论本身和与概率论相关的其他数学理论获得了实质 性发展因此研究概率论的发展史尤其是其公理化的历史对我们 探索概率思想的发展变化及其未来的发展有重要意义 十九世纪概率论经过法国数学家拉普拉斯和泊松德国数学家高 斯俄国数学家切比雪夫等人的进一步研究积累了很多重要成果 遗憾的是当时的概率论仍缺乏一些基本概念如概率随机事件 随机变量等的清晰定义由于没有严格的逻辑基础一些悖论应运 而生其中最著名的是法国数学家贝特朗给出的一个几何概率的悖论 悖论敲响了警钟人们不得不重新审视概率论的数学基础 年德国数学家希尔伯特在巴黎第二届国际数学家大会上作 了题为《数学问题》的讲演提出了个指引二十世纪数学发展的重 年法国数学家 要问题其中的第六问题涉及概率论的公理化 波莱尔首次把概率论与测度论结合起来定义了可数事件集的概率年苏联数 相对古典概率而言这一工作拓展了对概率的认识年奥地利数学 学家伯恩斯坦构建了概率论的第一个公理体系 家米泽斯完成了概率的频率定义和统计定义的公理化之后还相继出 现了一些主观概率的公理体系然而所有这些工作都只是前奏它 们或欠缺合理性或缺乏权威性随着大数定律和极限理论的深入研山东大学 硕士学位论文 究人们逐渐意识到概率论与测度论之间存在着深刻的联系概率论 公理化的曙光才真正来临 年苏联数学家柯尔莫哥洛夫总结了 前人的工作在他的《概率论基本概念》中首次利用测度论构建了科 学的概率论公理化体系该体系为大部分数学家所接受从此概率论 成为近代数学最重要的分支之一并得到迅速的发展 本文在前人工作的基础上通过分析国内外研究概率论发展历史 的相关结合对原始文献的研究以年代为线索以代表人物及 其著作为依托在简要介绍概率论历史发展过程的基础上着重论述 了概率论的公理化进程详细探讨了柯尔莫哥洛夫对概率论的公理化 所做出的突出成就梳理出概率论公理化思想方法的整体演进过程 关键词概率论公理化柯尔莫哥洛夫测度论 ? 订 山东大学硕士学位论文 一一?够 订 够 够呵 山东大学硕士学位论文 概率论公理化进程的历史研究 前言 如果我们想要预见数学的未来适当的途径是研究这门科学的历史和现状 庞加莱法 概率论是研究随机现象规律性的数学理论产生于世纪中叶它不仅有自 己独立的研究问题还在现实世界中有着重要应用世纪以来概率论逐渐渗 入到自然科学社会科学以及人们的日常生活等领域成为物理学遗传学信 息论的重要工具是金融学神经学人工智能和通信网络等学科的常用方法 概率论为数学及其他科学提供了观测和研究的新角度例如泛函分析中的不少 概念可以在概率论中找到对应测度是一种泛函而在概率论中测度是分布分 布是直观的统计性质这样就可以用统计观点理解抽象的泛函性质概率论可以 直观的表述位势并给出其解的形式因而可以用概率论方法求解偏微分方程 概率空间对理解物理现象有重要意义概率论不仅研究随机现象也研究确定性 数学且有时比确定性数学更精细现在有一些数学家利用概率论的观点和技术 解决传统数学中的一些问题如陈木法院士利用耦合技术解决了一系列的特征值 估计问题 任何一门学科的创造形成以及发展都有其连续性割断历史忽略历史都 会给教学和科研造成损失同时概率论本身一些基本问题尚存在争议概率思想 及其演化过程较为微妙因此关于概率论历史的研究也日益成为科学史学家 们的 关注热点之一 概率论的发展历史一般分为四个时期 萌芽时期年之前以统计数据为主要手段分析贸易保险 赌博占卜等人类实际生活领域中的一些问题 古典概率论时期年用代数及组合方法为研究手段以 研究离散型随机变量为主 分析概率论时期年用微分方程特征函数等分析方法山东大学硕士学位论文 为研究手段以研究连续型随机变量为主 现代概率论时期年至今以集合论测度论的思想方法为主要 理论基础研究方向呈现多元化 概率论发展各阶段的标志性著作是 惠更斯的《论赌博中的计算》该书是历史上最早的概率论著作它的 出版被看作是概率论诞生的标志 拉普拉斯的《分析概率论》该书对拉普拉斯之前的古典概率理论进行 了系统完整的总结并在概率推理中引入了当时已经发展起来的数学分析方 法 使概率论进入了分析概率论时期开创了概率论发展的新时代 柯尔莫哥洛夫的《概率论基本概念》该书在历史上首次建立了科学的 概率论公理化体系为概率论奠定了坚实的理论基础从而使其成为一门严格 的 数学分支促进了概率论在世纪的迅速发展 本文共分为五章 第一章主要讨论概率论公理化之前的发展根据概率论在不同历史阶段的发 展特点分成了古典概率论时期和分析概率论时期两个主要阶段进行研究以代 表性人物的著作为主要研究内容研究概率论的前期发展轨迹有助于我们理解重 要概率思想的产生发展过程以致于研究对公理化的影响 第二章讨论了概率论公理化的基础测度论的发展概率论公理化的历史 过程与测度论的发展过程密切相关事实上在测度论产生之前概率论不具备 完成其公理化的数学思想和工具本章以对测度论的发展及测度论与概率论之间 关系的研究做出代表性成果的数学家的数学思想为主要研究内容并在节讨论 了柯尔莫哥洛夫刚进入概率论领域时的研究情况 第三章讨论了概率论的公理化发展过程以在概率论公理化过程中产生了重 要影响的的几种公理化思想为主要研究内容在节讨论了柯尔莫哥洛夫的测度 思想这是在节的基础上更进一步分析柯尔莫哥洛夫公理化概率论的思想基 础可以看出正是由于深入洞察到测度论与概率论之间的关系柯尔莫哥洛夫 才给出了迄今为止最为广泛接受的概率论的公理化体系 第四章讨论了柯尔莫哥洛夫的《概率论基本概念》在该书中他以六个公理 山东大学硕士学位论文 为基础给出了条件概率独立性连续公理条件数学期望大数定律等概率 论的基本理论建立起较为完善的概率论体系使概率论成为一门具有严密的数 学逻辑基础的学科为概率论及随机过程在世纪的快速发展打下坚实的基础 本章主要分析了六个公理条件概率等该书的最基本数学内容并且讨论了柯尔 莫哥洛夫眼中的公理与世界的关系这从一定程度上反映其概率的哲学认 识通过以上分析试图从较为根本的层面研究柯尔莫哥洛夫的公理化思想 第五章简要介绍了现代概率论的发展情况包括目前的主要研究方向及与其 他学科的交叉融合山东大学硕士学位论文 第一章概率论的前期发展 文艺复兴时期自然科学获得快速发展自然观测和科学实验变得越来越重 要采用什么方法处理观测与实验数据尤其是对观测与实验中出现的数据进行 误差估计都需要对大量的随机数据进行分析研究从而孕育出一种专门研究大 量随机现象规律性的数学 古典概率论时期 世纪随着赌博在西欧的盛行人们开始研究赌博中的规律促使数学家 们开始思考有关概率问题的正是源自赌博的问题研究这些赌博问题的意义并 不在于解决了这些问题本身而在于人们借助对这些问题的研究开始逐步深 入 理解概率的某些性质并最终导致概率论的诞生 帕斯卡与费马的通信 在有关赌博的问题中对概率论的诞生影响最大的是分赌金问题 年一个名为德梅雷的法国赌徒向法国数学家帕斯卡 请教分赌金问题该问题是德梅雷与朋友保罗每人各 出枚金币作为赌金两人事先各选好一个点数德梅雷选择了点数保 罗选择了点数游戏规则为如果谁先掷出了次自己所选的点数谁就赢 得全部的枚金币然而当游戏进行到德梅雷掷出次点而保罗掷出 次点时由于发生一个紧急事情德梅雷必须马上离开游戏因此中断 他们应如何合理地分配这枚金币的赌注 帕斯卡对这个问题很有兴趣并且写信告诉了费马仃 一起讨论年月至月间两人共通信封这封信除了讨 论分赌金问题还讨论了一些更为复杂的赌博问题与前人研究赌博问题类似 他们以基本试验结果发生的等可能性和有利与不利情况数作为计算机遇数 这 等价于概率但他们不用这个名称的出发点但与前人不同的是他们广泛使用 了一些组合知识及诸如现在概率的加法定理乘法定理之类的基本不仅 引 山东大学硕士学位论文 进了赌博的值的概念它等于赌注乘以获胜概率三年后惠更斯将 值改称期望 这是概率论中使用最广泛的概念之一数 学期望的形成过程帕斯卡还引进了递推法差分方程法作为解决复杂概率计 算问题的有力工具这组通信深化了前人关于组合概率的研究在一定程度上 可以说达到或接近了近代这一领域的水平叫 帕斯卡与费马的通信开创了用数学方法主要是组合数学的方法研究和思考 概率问题的先河他们被认为是概率论的启幕者尤其是帕斯卡的工作蕴涵了 概 率论中数学期望的重要思想这种思想成为后来惠更斯概率论工作中的一个 基本思想并在以后相当长的时间里在古典概率论的研究中起着重要的作用 惠更斯与《论赌博中的计算》 惠更斯是近代自然科学的一位重要开拓者他在数学 口 方面的最大贡献是年发表的《论赌博中的计算》切幻以口 厂 劬册一文 年月至月惠更斯在巴黎访学听说了去年帕斯卡和费马关于分 赌金问题的通信一事但惠更斯并没有了解到他们对该问题研究的详细情况 年月惠更斯自己独立解决了这些概率问题并把手稿交给老师范舒藤 审阅年月在最后一次校订手稿时惠更斯将手 稿增加为个命题和个问题形成了《论赌博中的计算》 《论赌博中的计算》从关于公平赌博值的一条公理出发推导出有关数学期 望的三个基本定理 公理每个公平博弈的参与者愿意拿出经过计算的公平赌注冒险而不愿拿出 更多的数量即赌徒愿意押的赌注不大于其获得赌金的数学期望数 惠更斯通过公理得到的关于数学期望的三个命题具有重要意义 命题若在赌博中获得赌金口和的概率相等则其数学期望值为口彤 命题 若在赌博中获得赌金口和的概率相等则其数学期望值为 ?陈希孺数理统计学小史数理统计与管理斟山东大学硕士学位论文 均 命题 若在赌博中分别以概率和??获得赌金口和 则获得赌金的数学期望值为朋和? 将命题推广便得到今日数学期望的定义因此惠更斯是数学期望概念的奠 基人利用这些定理和递推公式惠更斯解决了点数问题及其他一些博弈问题 《论赌博中的计算》是历史上第一次对以前的概率论知识系统化公式化和 一般化第一次把概率论建立在公理命题和问题上而构成一个较完整的理论体 系所以《论赌博中的计算》被看做概率论诞生的标志该书在欧洲多次再版 作为概率论的教材长达年之久直至年雅各布伯努利的《猜度术》 出版才遏制住该书的再版然而该书的影响还在继续《猜度术》的第一卷就是对 该书做了进一步注解并在此基础上建立了第一个大数定理棣莫弗的《机遇论》 也是在该书的基础上通过二项分布的逼近得到了正态分布的密度函数表达式 拉普拉斯也在此书基础上给出古典概率的定义因此惠更斯的概率思想对古典 概率的影响是重要而持久的 雅各布伯努利与《猜度术》 雅各布伯努利 ?瑞士数学家一生最有创造力 的著作是年出版的《猜度术》么?厂咖垤在年他去世时此 书尚未整理定稿年月雅各布的儿子开始整理《猜度术》直到年 月才得以出版《猜度术》首次提出了后来称为伯努利定理的极限定理刻 画了大量经验观测中呈现的稳定性伯努利定理作为大数定律的最早形式在概 率论发展史上占有重要地位 《猜度术》除前言共有页呈小四开本形式内容分成四个部分在第 一部分中雅各布对惠更斯的《论赌博中的计算》一书做了详尽的评注指出了 前人在概率推理时暗含的一些假定如有放回抽取重复赌博中的独立性加法 原则等他给出了著名的伯努利试验及多重伯努利试验中成功次数的概率分布 ?徐传胜从博弈问题到方法论学科概率论发展史研究北京科学出版社 山东大学硕士学位论文 即二项分布这部分内容比惠更斯的原文长四倍还多他的评注被认为比惠更斯 的原文更有价值在第二部分中雅各布对前人有关组合分析的工作进行了系统 性的整理与解释并给出了著名的伯努利数自然数幂和的求法给出了点 数问题的解与帕斯卡在《论算术三角形》中的结果相一致这部分内容最终成 为世纪有关组合分析理论方面的最流行的教科书在第三部分中雅各布将惠 更斯讨论的赌博问题作了更进一步的扩展他归纳出个典型的赌博问题并利 用加法与乘法公式组合方法条件期望递归方法对这些问题进行了解答从 前三部分的内容来看雅各布将前人的成果进行了系统性的整理解释与扩展 使《猜度术》成为截止到世纪初人类有关概率论知识的最全面的总结在第四 部分中雅各布对概率论的发展做出两项革命性的贡献第一次对主观概率的 概念进行了清晰的解释第一次给出了大数定律及证明 在伯努利时代人们只能利用等可能假设计算赌博游戏中的概率而在其他领 域如生命统计保险人们通常只能利用相对频率来估计概率了在考察同一 事件在相同条件下观测到的相对频率时雅各布表述了这样的经验事实一个没 有受过教育以前也没有受过训练的人凭天生的直觉也会清楚地知道可利用 的有关观测的次数越多发生错误的风险就越小?即随着试验次数的增加某 事件出现的频率会集中在该事件的概率附近雅各布意识到如果能对这个事实给 出理论上的证明那么我们就可以放心地在任何领域利用相对频率来计算概率了 由于当时的数学技术还不够先进伯努利仅是应用代数分析方法给出其不精确的 证明伯努利大数定理从理论上刻画了大量经验观测中呈现的稳定性其意义 在 于揭示了因偶然性的作用而呈现的杂乱无章现象中的一种规律性 《猜度术》的出版标志着概率论已建立在稳固的数学基础上并成为一门独立 的数学分支正如美国概率论史学家海金所说此书为概率概念漫长形 成过程的终结与数学概率论的开端 棣莫弗与《机遇论》 棣莫弗 法国数学家最初是惠更斯的《论赌博中的 ?李文林擞学珍宝历史文献精选北京科学出版社 山东大学硕士学位论文 计算》一书启发了他的灵感雅各布去世后大数定律的精髓在学术界开始传播 由此棣莫弗对概率论兴趣倍增开始对这神秘的机会进行研究 年棣莫弗在英国皇家学会的《哲学学报》上发表了论抽签的原理 该文于年用英文出版时翻译成《机遇论》 并扩充成一本书年再版《机遇论》时棣莫弗对多次反复试 验中的预期概率问题给出了重要的解决方法 他的解答是这样的在刀次试验中获得次成功即某一特定事件出现的概 率是通过口的表达式中含有次的那一项即第聊项表示出来的也就是 说力次试验中某一事件出现聊次的概率为口寰口其中口 竹疗一竹 是某一事件出现的概率口这样棣莫弗就得到二项分布 然后他又发现二项式的中项与各项之和之间的比例关系当刀很大 二 二 上 时为等其中么为双曲对数级数壶一击主嘉一东?一的值棣莫弗 甩一?甩一 在年的《分析杂论》 出中曾给出对很大的刀关于的 近似公式刀兰历 利用这一逼近式棣莫弗开始考虑二项式口从任意一项至中心项的总和 发现了二项分布口朋一口朋的极限式将呈现一种新形式他提出一个具有启 发 性的例子事件发生的概率为当进行次试验时发现该事件出现的次 数既不多于于次也不少于次也就是说已经得到平均误差为 ?圭去叽在此基础上他对于事件概率为的情形得到了玎次试验中 出现次事件的概率之期望值满足的关系式 ?万也 熙盹?高尚虫去‖磕 ?础一口 也就是说棣莫弗首次发现二项分布的极限形式为正态分布年拉普 拉斯证明了『止出?芴并对棣莫弗的结果进行推广得到了今天的棣莫弗 山东大学硕士学位论文 拉普拉斯中心极限定理? 正 在对概率论的研究中棣莫弗第一次引入了正态密度函数厂工兰 态分布在概率统计发展中占有重要地位后来拉普拉斯高斯等进行了推广 棣莫弗在二项分布正态分布函数中心极限定理等方面的工作使《机遇 论》在概率论发展中起着承前启后的作用开辟了概率论发展的新方向 布丰与几何概率 布丰 是法国数学家自然科学家布丰是几何概率的 开创者以布丰投针问题而闻名其在年的著作《或然性算数试验》中首 先提出并解决下列问题把一个小薄圆片投入被分为若干个小正方形的矩形 区域 中求使小圆片完全落入某一小正方形内部的概率是多少接着讨论了投掷正 方 形薄片和针形物时的概率问题这些问题都称为布丰问题 投针问题可以叙述为设在平面上有一组平行线其距离都等于把一根长 为口的针随机指针的中心的落点与针的方向都是等概率的且中心落点与针 的方向无关投掷则针和其中一条直线相交的概率是万口 实际上令表示针的中心与平行线的最近距离表示针与平行线的夹角 则相交时圭油日万 如图在坐标系中考虑矩形此矩形内每一点与针落在平面上的位 ?徐传胜从博弈问题到方法论学科概率论发展史研究北京科学出版社山东 大学硕士学位论文 置一一对应阴影区内的点对应针与平行线相交于是所求概率为 圭伽? 胪磊 一万 这是数学史上几何概率的一个精彩例子 由于竺只要求得就可以求出万所以可以通过多次投针试验算出 的近似值而当时人们普遍关注的近似计算因此投针问题特别受到重视成 为几何概率的典型例子随后的几十年里几何概率分别在英国和法国获得独立发 展投针问题为我们开辟了一条完成某些计算任务的新途径这种方法称为蒙 特卡洛随机模拟法由于大量重复试验可以通过计算机模拟实现所以蒙特卡洛 方法已获得广泛运用 分析概率论时期 从年至世纪初概率论的研究主要采用分析方法如特征函数微 分方程差分方程等这一时期称为分析概率论时期拉普拉斯泊松柯西等 都发表对概率论的新见解新思想并用尚不完善的分析工具来支持自己的观点 故以此为基础的概率论的严格化就不可能实现了但他们预见到了概率论的价值 开拓了概率思想的新方向 拉普拉斯与《分析概率论》 拉普拉斯是法国物理学家数学家有法国的牛 顿之称他一方面发展和完善了牛顿力学另一方面总结了古典概率论并使 它发展到新的历史阶段年拉普拉斯将在概率论方面的研究成果加以系统 化形成了《分析概率论》一书 ?朱春浩概率论思想方法的历史研究成都电子科技大学出版社 山东大学硕士学位论文 《分析概率论》的主要内容 绪论即《概率的哲学导论》中包含概率论的发展历史及一般原理和应用 其中有五个内容一是概率的定义及发展历史拉普拉斯提出先验概率的概 念这是有争议的二是概率计算的一般原理主要是古典概率论的原理三是 讲述概率论中的一个重要概念期望四是讲述概率的分析计算方法实际上 是古典概率论向分析概率论过渡五是讲概率计算的应用占绪论的一大半应 用于各种各样的自然和社会问题 第一章讲概率的一般原理和学科特点除了提出概率的古典定义和概率的 乘积原理外第三个基本原理是文字叙述的一个定理这是有关由玎种不同原 因产 生的事件的概率公式的定理即在年已发表的贝叶斯定理接下去的几章讨 论各种实际问题中提出的概率计算方法 第二章讨论由己知概率的简单事件组成的复合事件的概率计算此问题讨 论得非常详细几乎占了第二卷的四分之一他从古典的抽彩摸球等问题出发 归纳为较一般的数学问题袋中装有刀个球各球号码依次为刀每次摸 出一个记下号码后再放回袋中则摸出次后个球的号码总和为的概率是多 少 第三章讨论概率的界限即事件不定次乘积结果的概率规律从本章开始 拉普拉斯开始转向研究试验次数是无限的情况给出了他的概率论理论中最有价 值的结论之一的证明即现在所称的棣莫弗拉普拉斯极限定理 第四章讨论误差的概率问题是他年来有关误差方面工作的总结着重 讨论了两个问题一是大量观测资料平均值的误差在一定范围内的概率二是更 有利的平均值误差在一定范围内的概率在这里已提出最小二乘法的原理以后 由勒让德和高斯最后完成方法体系 第五章讨论概率计算应用于各种现象及其原因的研究主要例子是气压在 一天内的变化 第六章关于原因的概率和从过去的经验所导致的未来事件的概率 第七章讨论处于两个几率之间的未知不等式的影响的估计这两个几率开山东大学硕士学位论文 始时被假设为彼此相等例如设在投掷一个硬币时正面发生的概率为譬? 其中?未知则在聆次投掷中出现个正面的概率为堡笔堕 第八九十章讨论了大量社会现象的概率问题例如平均年龄年金 保险婚姻期限各社会团体存在期限等第十章主要讨论了与数学期望平均值 不同的可能期望值的计算比原来的伯努利公式更有用 第十一章讲述所谓见证的概率典型例子是抽签问题 书末有三个补充都是书中一些公式的具体证明或推广另外有后来增加的 四个附录 从以上对《分析概率论》的分析来看这部著作毫无疑问被看做当时在这个 领域里达到的顶峰之作因为拉普拉斯综合汇集整理了当时几乎所有已知的概率 和统计的问题而且以强有力的分析工具处理概率论的基本内容使以往离散 的结果系统化拉普拉斯的著作实现了从组合技巧向分析方法的过渡开辟了概 率论发展的新时期? 泊松的概率思想 泊松法国数学家物理学家泊松是世纪概率统 计领域里的卓越人物他改进了概率论的运用方法特别是用于统计方面的方法 建立了描述随机现象的一种概率分布泊松分布他推广了大数定律并导 出了在概率论与数理方程中有重要应用的泊松积分 泊松对于概率论的兴趣是受到拉普拉斯工作的激发并且在观点方面是拉普 拉斯的继承者泊松的关于概率论的著作和文章数量不多其中最有影响也是最 有代表性的著作是年出版的《关于犯罪和民事判决的概率的研究》这本书 的结构和内容上都明显地印有拉普拉斯《分析概率论》的风格和观点的痕迹 此书的前四章主要是在数学和哲学的框架中来阐述其目的是为以后所要讨 论的问题提供一个合理的哲学基础和有效的数学方法泊松在他的这本概率 论代 表作还给出了与他的名字直接相连的概率论中的两个重要成果 ?李文林数学史概论北京高等教育出版社山东大学硕士学位论文 第一个是现在通常所称的泊松分布的概率分布在这本书中泊松以大 数次试验的二项分布的累积形式导出了这个公式当成功的概率很小时可作 为二 项分布的一个极限 另一个是在现代文献中著名的泊松大数定律泊松将伯努利大数定律加以推 广 令朋是在次试验中事件发生的次数并假设在第次试验中发生的概 率是鼽那么叫与‖的差会随着‖的增大而趋向于零即 州的绝对值大于任何给定的正数的概率将随着的增大而趋向于零也就 是说 竺一在这里泊松对伯努利大数定律的推广是将原来的等 脚 ‖ 可能性即所有的阢都相等扩展到不相等的情况 拉普拉斯高斯已使用了随机变量的概念但常常与观测误差理论的问题有 关泊松第一个尝试把该概念与这些问题相分离他把随机变量看作与所有自 然 科学的一般概念同等重要他提到以相应的概率分别取值口嘶的任意事 物这其实和现代离散随机变量概念相一致在《论观测的平均结果的概率》 中他也尝试用同样的方法考虑连续随机变量及其分布函数但他的随机变量理 论本质上并没有与他的前辈或同代人所掌握的知识有何不同 切比雪夫的概率论工作 切比雪夫俄国数学家切比雪夫夫在极限理论方面 做出了重要贡献使概率论进入了崭新的阶段他在概率论中最重要的两类主题 大数定理中心极限定理上取得了相当大的进展他第一个意识到数学技术的重 要性发展了矩方法来严格证明极限定理并尽可能精确地确定偏离极限的估计 量这在方法论方面引起了巨大变化? 第一个大数定律是雅各布伯努利提出的伯努利大数定律给出了频率估计概 率的理论依据同时开创了概率论中极限理论的先河年泊松对大数定律 ? 叮够矗 拶? 山东大学硕士学位论文 提出一个较宽松的条件进而得到泊松大数定律年切比雪夫发表的论文《论 均值》在这方面迈出了决定性的一步切比雪夫在该文中从后来以他的名字命名 的不等式出发建立了关于独立随机变量序列的大数定律切比雪夫大数定律使 伯努利定理和泊松大数律都成为其特例翌年切比雪夫又推广棣莫弗一拉普 拉斯 极限定理建立了有关各阶绝对矩一致有界的独立随机变量序列的中心极限 定理 切比雪夫的成果后被他的学生马尔可夫和李雅普诺夫等发扬光大深刻影响 了 世纪概率论的发展进程 在《论均值》中切比雪夫提出了三个定理其中包括著名的切比雪夫大数定 律 定理若以口表示量的数学期望用表示相应的平 方的数学期望则对任何和十落在 口?口一口一一 和 口一口?口一口一一 之间的概率总大于一三 定理若以口表示量夕的数学期望用表示相应的平 方少的数学期望则不论取何值?个量的算术平均值和它们 相应的数学期望的算术平均值的差不超过‖学生竿的概 率对任何都将大一号 这实际上就是切比雪夫不等式它是证明大数定律的工具在此基础上发展起 来的一系列不等式是研究中心极限定理的有力工具 定理如果量乩和它们的平方昕哦四的数学期望不超过一给 定的有限值则?个这些量的算术平均值和它们数学期望的算术平均值之差不小 山东大学硕士学位论文 于某一给定的概率且当?趋于无穷时其值趋于? 这就是切比雪夫大数定律用今天的符号可表示为 设置五以是两两不相关的随机变量序列且其方差一致有界则对任意 的皆有恐如一砜其中如善墨 若随机试验中的每次试验随机事件发生的概率相等则为伯努利大数定律又 因相互独立的随机变量列必定两两无关故泊松大数定律也是切比雪夫大数定律 的特例翌年切比雪夫又推广了棣莫弗一拉普拉斯极限定理建立了有关各阶绝 对矩一致有界的独立随机变量序列的中心极限定理他还研究了相互独立正态变 量和的分布函数的收敛条件提出其按疗一方幂渐进展开的猜想玎为独立随机变 量的数目这一猜想被后来的研究所证实 著名数学家柯尔莫哥洛夫将切比雪夫的概率思 想概括为从方法论的观点来看切比雪夫所带来的根本变革的主要意义不在于 他是第一个在极限理论中坚持绝对精确的数学家棣莫弗拉普拉斯和泊松的证 明与形式逻辑的背景是不协调的他们不同于雅格布伯努利后者用详尽的算 术精确性证明了他的极限定理其工作的主要意义在于他总是渴望从极限规律中 精确地估计任何次试验中的可能偏差并以有效的不等式表达出来? 此外切比雪夫清楚地预见到诸如随机变量及其期望平均值等概念的价值 并将它们加以应用的第一个人这些概念在他之前就有了它们可以从事件和概 率这样的基本概念导出但是随机变量及其期望值是能够带来更合适与更灵活的 算法的课题 贝特朗悖论 世纪前概率论已经有了很多重要的结果但当时概率论方面的论文和著 作除少数外都缺乏数学的严格性这是因为世纪的分析本身就没有严格化以 他为研究工具的概率论的严格化就可想而知了虽然后来分析的基础严密了但 ?李文林数学珍宝历史文献精选北京科学出版社?锄 哪?岫跚山东大学硕士学位论文 概率论公理化的测度论还未发明因此概率论的不严密是不可避免的 概率论中著名的贝特朗悖论就是在这时候出现的年贝特朗在他的 《概率论》一书中给出了这一问题在半径为的圆内随机地取一条弦问其长 超过该圆内接等边三角形的边长的概率为多少贝特朗给出了三种不同的解法 解法任何弦交圆周两点不失一般性先固定其中一点于圆周上以此点 为顶点作一内接等边三角形显然只有落入此三角形的弦才满足要求而这种 弦 的长度为整个圆周的故所求概率为图 解法弦被其中点唯一确定当且仅当其中点属于半径为的同心圆时 弦长大于内接等边三角形边长而此小圆面积为大圆面积的故所求概率为 图 解法弦长只跟它与圆心的距离有关而与方向无关因此可假定它垂直于 某一直径对于这种弦当且仅当它与圆心的距离小于时其长才大于内接等 边三角形的边长因此所求概率为图 门卜 弋 口\弋 过 \ \ ? 图 图 图 一个问题却得到三个不同的结果这似乎与数学的一个显著特点数学论断 的确定不变性相矛盾庞加莱指出悖论的根源在于无论三种情形下的哪一种 都假定各自的参数均匀地分布在给定的区域里解法中假定一端固定而另一 端点在圆周上均匀分布解法中又假定弦的中点在圆内均匀分布而解法 中假定弦的中点在直径上均匀分布因此事实上三个问题都被解出 同一时期还出现了许多悖论这类悖论说明概率的概念是以某种确定的试验 为前提的这种试验有时由问题本身所明确规定有时则不然因此贝特朗等悖 论的矛头直指概率概念本身?正是这些问题促使人们开始深入思考概率论 的基 础问题 ?李文林数学史概论北京高等教育出版社山东大学硕士学位论文 第二章测度论的发展 本章我们从波莱尔和勒贝格的测度论研究入手讨论 对概率论基础有重要影响的一些理论研究包括了弗雷歇卡拉西奥多 里础曲拉东溯尼克迪姆等人的研究工作以及波 莱尔强大数定律斯坦豪斯对波莱尔可数概率的公理化最后 讨论柯尔莫哥洛夫在世纪年代把测度论运用于概率论基础研究的情况 从波莱尔到弗雷歇 为弄清平面区域上的二重积分理论若尔当发展了世纪容量 理论中最先进的一步在他的《分析教程》一书中对中的点集引进 内容量外容量及容量的概念并将之推广到维空间的点集还给出了有限可 加性证明即后人称谓的若尔当测度论并讨论了定义在有界若尔当可测集上 的 函数采用把定义域分割为有限个若尔当可测集的办法来定义积分但若尔当 的 测度论存在着不可测的开集有理数集不可测等缺陷 波莱尔在他的年博士学位论文中探讨了测度发散级数非解析连续 可数概率丢番图近似解析函数值的度量分布等理论论文中两个最有名的结 果是波莱尔有限覆盖定理及可数点集测度为零的证明 波莱尔定理是说如果直线上一有界闭区间被某可数个开区间所覆盖则必 可从这可数个开区间中选出有限个也覆盖它波莱尔清楚地认识到从可数中选出 有限的重要性并首先把它叙述成一个独立的定理定理后来被推广到任意维有 界闭集从不可数中选取有限的情形由库辛首先发表成为集合论的一个 基本定理 可数点集测度为零的证明蕴含着测度的扩展问题波莱尔最初是在考虑表示 复函数的级数收敛的点集时被引向测度理论的波莱尔的测度理论是对若尔当容 量理论的改进它把测度的概念从区间的有限集扩张到很大的一类点集即今所 谓波莱尔集?他的《函数论讲义》包含了这方面的主要工作他从 ?吴文俊世界著名数学家传记北京科学出版社山东大学硕士学位论文 中开集是构成区间的长度总和出发允许对可列个开集作并与补的运算构成 了所谓以波莱尔可测集为元素的代数类并在其上定义了测度这一成果的要 点是使测度具备完全可加性若尔当测度只具备有限可加性即对一列互不相交的 波莱尔集若其并集是有界的则其并集的测度等于每个的测度的和此 外他还指出集合的测度和可测性是两个不同的概念但在波莱尔的测度思想 中却存在着不是波莱尔集的若尔当可测集特别是其中存在着零测度的稠密 集 勒贝格洞察了这一思想的深刻意义他突破了若尔当对集合测度的定义中所 作的有限覆盖的限制以更加一般的形式发展和完善了波莱尔的测度观念给予 了集合测度的分析定义在他的这一新概念中凡若尔当可测集波莱尔可测集 都是勒贝格可测集勒贝格积分的范围包括了由贝尔引入的一切不连续函数 年勒贝格发表了题为关于不连续函数的积分的专题在这里 他不仅把积分微分理论推广于维空间而且引入了可数可加集合函数的概念定 义于勒贝格可测集类上指出这些函数是定义在集合类上的有界变差函数正是 因为对于有界变差与可加性概念之间联系的考察使得拉东湖作出了更广 的积分定义其中把斯蒂尔吉斯日积分和勒贝格积分作为它的特殊情形也 成为拉东尼克迪姆定理的先导而这个定理为概率论的严格表述提供了 关键工具 年谢尔宾斯基给出一个勒贝格测度理论公理化的方法 对后来的斯坦豪斯公理化理论有重要影响谢尔宾斯基把勒贝格可测集类作为满 足下列条件的最小的集类? 对中的每个集合都有一个非负数称为的测度且满足下 列四个条件 每个有限闭区间都在中且其长度为其测度 关于两两不相交的有限并集和可数并集封闭且卢满足有限可加和可 数可加 若岛岛?巨易则巨\易? 州 一山东大学硕士学位论文 若?则的任意子集都属于 满足这些条件的集类不一定是个集域它对中任意两个集合的交集是否 也在中没有要求 弗雷歇首先突破了欧几里得空间的范围年他注意到拉东的大部分推 理不依赖在上才成立的假设它可以在更大的空间上成立比如函数空间甚 至任意空间只要可数可加集函数定义在空间子集类的一个仃域上但弗雷歇 没 有成功地把拉东的理论在绝对连续上进一步抽象而是由尼克迪姆在年完成 称为拉东尼克迪姆定理弗雷歇把概率论看做数学的应用而不是纯粹数学 的一个分支因此他没有认为他的理论可以公理化概率论 柯尔莫哥洛夫首先把弗雷歇的理论称为概率理论的基础他在《概率论基本 概念》的前言写到 在勒贝格的研究之后集合测度和事件概率的类比函数积分和随机变量 数学期望的类比已经清晰这种类比可以进一步扩展比如独立随机变量序 列类比于可测函数序列但是要在这种类比的基础上建立概率论的基础还需 要 突破勒贝格测度和勒贝格积分理论之中的几何背景这个突破是由弗雷歇完 成 的? 波莱尔的可数概率 世纪年代波莱尔在复分析中测度理论的应用已经与概率有很大关系 在这方面尤其突出的是年波莱尔宣称泰勒级数通常在它的收敛圆的边 界发散一般的泰勒级数的连续系数或连续系数群是相互独立的每个系数群 对应收敛圆上的一段弧弧长之和是发散的这里一般的是指系数是随机选 取的相互独立是指概率意义上的相互独立这个结论后来被发展为波莱尔 坎泰利定理波莱尔在年用概率思想和语言重新整理了这篇论文但 是在世纪年代波莱尔没有把复分析看做概率论应用的一个领域而认为 概率论主要关注现实世界的随机事件 ? 一 山东大学硕士学位论文 世纪初波莱尔开始研究他和勒贝格的测度理论及积分理论对概率论的影 响年波莱尔注意到威曼在年关于连分数的研究 认为是测度论在概率论上的一个应用年波莱尔提出了波莱尔强大数定 律设地是随机事件么在次独立试验中出现的次数若在每次试验中事件彳发 生的概率为则当玎一?时有产专 定律增强了测度论与几何概率及古典概率的核心独立性试验之间的联 系考虑独立实验的情形比如掷硬币定理表明在可数次独立掷一枚均匀硬 币时正面向上的频率以概率收敛于波莱尔解释了定理的几何意义并称 可以利用测度理论来建立但是波莱尔给出的是一个利用全概率公式和复合 概率 公式的不完善的证明随后法贝尔在年豪斯多夫仃 在年各自利用测度理论给出波莱尔强大数定律的严格证明波莱尔之所以没 有给出测度方法的证明是因为他不愿意接受概率的可数可加性 年坎泰利把大数定律推广到更一般的形式有界随机变量的算术平均 值以任意大的概率收敛于它们的数学期望坎泰利的工作推动了数学家对强 大数 定律的研究并且发展出了依概率收敛的不同概念 世纪年代初数学界对波莱尔强大数定律产生两种观点一种偏重为实 数集的结论另一种偏重为概率论的结论年斯坦豪斯为了解决分歧考 虑沿着谢尔宾斯基公理化勒贝格测度的思路公理化波莱尔的可数概率理论 他提 出下列公理 彳是和的所有无穷序列的集合巩是彳的子集类是定义在吼上的表 示概率的实值函数满足下列条件? 对任意的?孵有腰? 对和的任意有限序列包含了所有以开始的无穷序列的的子集 如果两个这样的序列和只在一处不同则巨‖易 至 曲 山东大学硕士学位论文 川 吼关于可数不相交并集封闭满足可数可加性 若置易巨厶?吼则巨岖?吼 若?吼且饵则的任意子集属于贸 谢尔宾斯基对勒贝格测度的公理化包括上述的除此之外 加上有限闭区间的长度为其测度的公理这个公理等价于斯坦豪斯的第二条 公理斯坦豪斯推断二元试验的无穷序列情形下的概率理论同构于勒贝格测 度 论 柯尔莫哥洛夫进入概率论领域 虽然斯坦豪斯在 年只考虑了二元试验但是他对波莱尔可数概率概念更 一般化的思想指出了方向在柯尔莫哥洛夫关于概率论的第一篇论文年与 辛钦蹦合著可以发现这种一般化思想的表现文章得出离散型随机 变量的级数机在数学期望的级数和变量的级数都收敛的条件下会依概率 收敛在论文的第一节辛钦讨论了如何把随机变量表示为上的函数把区间 分成多段每段长度等于可能取值的概率然后把每一小段再分为更小的段 它们的长度与儿可能取值的概率成比例这样继续下去在这里辛钦把问题归 结为勒贝格测度问题的思路是清晰的然而波莱尔可数概率概念的一般化依 然不 明晰 柯尔莫哥洛夫并不满意此篇论文中迂回地归结为勒贝格测度理论的思路在 他的下一篇论文即年独立写成的独立随机变量和的收敛性中已经不存 在这种迂回的思路他把概率和期望值作为出发点没有采用弗雷歇的可列可 加 而是用有限可加通过一个极限形式给出明确的概率定义比如通过下列等式 定 义级数?收敛的概率 山东大学硕士学位论文 仁粤舰熙瓢瞰陲儿』二叼 这里瓤表示事件的概率? 年在关于马尔科夫过程的一篇开创性论文中柯尔莫哥洛夫首次明确 大量地应用了弗雷歇的测度理论作为他的概率理论的框架结构在这篇论文 中 柯尔莫哥洛夫考虑了一个状态集级的系统对任意两个时间点『任意状 态?和任意元素匹?孑孑是疆的子集类尸歹乞匹表示当系统在点处 于状态它将在点处于状态匹的概率引用了弗雷歇柯尔莫哥洛夫假设概 率尸是定义在孑上的可列可加函数笤关于差和可数并封闭苫包括了空集所 有单点集全集论文焦点在于一个与转移概率联系在一起的方程现在被称 为查普曼柯尔莫哥洛夫方程论文启动了用纯粹分析方法对该方程的研究 在概率学界持续了年之久 如一些数学评论家所说 年的这篇论文没有涉及概率论基础没有迹象 显示对于随机过程的完善定义需要上述的概率理论似乎有一致转移概率就 足够 了 一山东大学硕士学位论文 第三章概率论的公理化 世纪初很多数学家对概率理论缺乏清晰性和严密性感到不满所有的概 率计算都与这些数学之外的概念有关事件试验随机性概率如庞加莱所 说很难给出一个令人满意的概率定义 最知名的将概率基础清晰化严密化的提议来自希尔伯特年月在巴 黎举办的的第二次国际数学家大会上著名数学家希尔伯特 在著名的演讲数学问题中第个问题提出对几何基础的探讨提示我们应 根据该模式公理化物理法则其中最重要的是概率演算和概率论的公理化我 渴 求任何逻辑的研究与数学物理特别是气体力学理论中的均值方法的严格和 相容 的发展同步进行? 对解决第六问题的早期响应者有 年莱姆勒在博士学位论文中探讨把全概率和复合概 率的规则作为公理但是其复合概率的运算规则只满足独立性的情况且独立 性没有明确的解释 年由希尔伯特指导的布洛基在其哥廷根大学毕业论文 中给出两个公理一个公理为必然事件的概率为另一公理是全概率公式 遵循传统他把概率定义为一个比例类似古典定义及几何定义并且验证他的 公理他没有把复合概率的规则作为公理而是考虑了一个笛卡尔积的概率运算 规则思路来源于根据勒贝格测度理论给出的几何概率定义布洛基错误地认为 他的全概率公理有限可加暗含了可列可加 尼斯基彻在年的一篇论文论文在年发表是柯 尔莫哥洛夫概率论基本概念参考文献之一提出概率应与上的集合 上的密度函数咖有关尼斯基通过结合卡拉西奥多里的两个观点定义概率一 个观点是维空间测度论另一个观点是把在某集合上的函数的积分定义为在该集 合与函数图形之间区域的测度按照尼斯基的思想的子集加上的概率就是两 个测度之比朋与妒图形之间的区域测度比与?图形之间的区域测度若是 ? ? 中译本《数学史译文集》上海上海科学技术出版社山东大学硕士学位论文 的一个维子集则所用测度是上的勒贝格测度若是尺的一个 维子集则所用测度是维卡拉西奥多里测度这个定义包含了离散 型概率和连续型概率在离散型情况下表示离散点集函数咖赋予每个点概 率值聊与妒图形之间的区域由坍中的每个点对应的线段构成区域的卡拉西奥 多里测度就是线段的长度也就是点集的概率像布洛基一样尼斯基把复合概 率规则作为笛卡尔积上的概率与其分量上的概率相互联系的一个规则尼斯 基没 有把复合概率的规则作为一个公理因为规则只在密度函数是乘积密度的情况下 成立 年伯恩斯坦发表了一篇论文论概率论的公理化基础提出了一 些公理来作为概率论的前提促进了概率论公理化的建立随后的几年里他仍致 力于研究概率论公理化年他的著作《概率论》出版伯恩斯坦在书中给出 来一个详细的概率论公理体系 他假定我们在自然科学中的推理是基于以往的经验只要给定的条件集合 实现属于已