数缺形时少直观

数缺形时少直观 ——浅谈“数形结合”思想在小学数学教学中的渗透 华罗庚先生曾这样形容“数”“形”的关系:。“数缺形时少直观，形缺数时难入微。数形本是相倚依，焉能分作两边飞,数缺形时少直观，形缺数时难入微。”虽然在小学阶段不讲直角坐标系，不讲函数图象，但“数形结合”思想在小学数学教学中仍有很多“渗透点。 (一)用好“数尺”“数线”或数轴，感知“数与形”的结合 由于学生对直尺非常熟悉，因此可将直尺抽象为“数尺”，即将“数”有规律、有方向地排列，使抽象的数在可看得见的“数尺(没有刻度，只有自然数)”上形象、直观地表示出来，将数与“位置(还没有‘点’的概念)”建立一一对应关系，既有助于理解数的顺序、大小，又有助于理解数列的规律。如下图所示。 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 0 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30 “数线”与数轴的区别在于“数线”没有画出“方向”，“数线”与数轴的运用不但能够比较数的大小，而且将“数”与直线上的“点”建立了一一对应关系，而且任何两个点之间都存在无数个点，即任意两个数之间都存在无数个数。 数轴不但将抽象的“数”直观形象化，而且也有助于理解运算，将运算直观形象化，例如: “加法”就是在数轴上继续向右“数”，或者看作是向右平移若干个单位。 “减法”就是在数轴上先找到“被减数”，然后再向左“数”，或者看作是向左平移若干个单位。 “乘法”就是在数轴上几个几个的向右“数”，或者把一“线段”拉长几倍。 “除法”就是在数轴上先找到“被除数”，然后向左几个几个地“数”，如果恰好数到“0”，就是“除尽”，数了几次，商就是几。当不能恰好数到“0”，就产生了“余数”，数轴是理解“有余数除法”的形象化载体。例如，48?5=9„„3 (二)借助线段图，直观形象地理解抽象的数量关系 方法一:多数学生的解题方法: 分着购买所花的钱数:(800-500)×80%+500+200=940(元) 合着购买所花的钱数:(800+200-500)×80%+500+200=900(元) 合买比分买省的钱数:分着购买所花的钱数:940-900=40(元) 方法二:一名学生的解题方法:200×(1-80%)=40(元) 当时很多同学不理解第二种算法，于是教师请这位同学进一步解释。 生:合着买与分着买别的地方都没有变，区别只是少花了一个200元的(1-80%)。所以可以直接用200×(1-80%)=40(元)进行计算。 这名血神解释完后，大多数学生仍然很迷茫，没有理解方法二的道理。但是当教师引导学生借助线段图，以形助数，用线段图对比呈现两种方法的所蕴含的数量关系，学生就能很好的理解每一种方法的道理。通过画线段图就使抽象复杂的数量关系变得简单明了，将抽象的数学问题直观化，借助线段图，变“看不见”为 “看得见”，学生便能清晰直观地看到合买与分买的区别，从图中直观地看出省的其实就是200元的20%，所以是40元。 图 将复杂的解题过程化繁为简，不但能很好地帮助学生理清数量之间的关系，还能进一步明确和拓宽解题思路。 又如，有的问题文字上比较“拗”，问题解决者的头脑中不易理清数量关系，但是将文字上的数量关系转化为线段图表示时，数量关系就一目了然。 十一快到了，妈妈买了2千克的苹果和5千克的梨，共用去10.8元。已知买2千克梨的钱可以买1千克苹果，每千克苹果、梨各多少元, 图 (三)借助于“面积模型”理解分数及其运算:“数“与”形“的再一次结合 我们曾经介绍过借助于“面积模型”和“集合模型”来理解分数的意义(参见《小学教学(数学版)》2007年第10期)，实际上就是将分数与图形结合起来。在学习“异分母分数加减法”时，仍可运用数与形的结合。再讲异分母分数加减法时，例如 ，学生如何理解异分母分数加减法为什么要通分,我们曾经这样处理: 教师讲解并在黑板上板书: 图 但有很多学生仍不理解。我们又借助于几何画板软件将上述“理性”的抽象思维过程形象化、视觉化，即教师充分利用分数的直观图，将数与形结合起来，引导学生体会只有平均分得的份数相同，也就是分数单位相同，分子才能相加、减得道理，直观地理解“通分”的必要性及异分母分数加减法的算理。 图 利用数形结合的方法，学生表象清晰，记忆深刻。对算理的理解透彻，既知其然又知其所以然。事实上也是形象思维与抽象思维协同应用的一种过程，其教学效果显而易见。 (四)渗透“直角坐标系”思想，初步感知函数关系与图像的结合 学习用“数对”表示“位置”时，将“座位”平面图抽象为比较形象的“直角坐标系”，建立“数对”与平面上“点”之间的一一对应关系，是学生进一步理解“数形结合”思想的又一载体。在此过程中学生初步体验到，有了坐标系(参照 点即原点、每条直线上规定单位长度)后，整个平面就“结构化”了，可以用一对顺序的“数”来唯一地确定平面上的一个“点”，数与形再一次结合。 有对直线坐标的初步认识，学生在学习“正、反比例关系”时，就可以把具有这种关系的两个量在直线坐标系中“表示”出来，实际上就是正比例函数、反比例函数的图像。借助于形象的图像，来深入理解抽象的函数关系。例如，直观感知两个量的相依相存关系。当成正比例关系时，一个数增加另一个数也随着增加，并且是线性增加;当成反比例关系时，一个量增加，另一个量反而减少。根据图像可以直观地看出两个量变化的极限状态，一个量趋于无穷，另一个趋于零等。