关于两个均匀分布总体标准差比的估计

关于两个均匀分布总体差比的估计 2009年12月 第25卷第4期 纯粹数学与应用数学 PureandAppliedMathematics Dec.2009 Vb1.25No.4 关于两个均匀分布总体标准差比的估计 朱成莲 (淮阴师范学院数学系,江苏淮安223300) 摘要:考虑取两个均匀分布总体样本数不同时,两个均匀分布总体标准差比的估计,给 出了两个均匀分布总体标准差比的区间估计. 关键词:均匀分布;标准差;区间估计 中图分类号:O212.1文献标识码:A文章编号:1008—5513(2009)00731—06 1引言 均匀分布是概率统计中的一个重要分布,在实际中有着广泛的应用.由于随机点选取的 点集被广泛应用于许多模型中,如流行病学,遗传学及交通流理论学等,因此对均匀分布的 研究引起诸多学者的关注.为了方便起见,我们引入一些记号和描述.设随机变量服从 区间[al,b1](al<b1)上的均匀分布,al,61为参数,记为X—U[al,b1],的概率密度函数为 (),即 的分布函数为 1 „(1) (1) 取?={,<6)【 1,>b1(2) 设1,,…,为取自总体样本X—U[al,61】的简单随机样本,,y2,…,为取自总 体y—U[a2,b2】的简单随机样本,总体X,Y的方差分别为D(X)=,D(Y)=于 标准差比爱=乐,记 = ,ra … inX~:m … in{Y~},(1)一…一 _},(1)1 关于参数以及总体的检验,许多文献均有研究.如文f1—5],得到了 对于单个均匀分布总体, 许多好的结论,对两个均匀分布总体的研究也引起了学者的注意.本文着重研究两个均匀 收稿日期:2008-01.15. 基金项目:江苏雀教育厅自然科学基金(05KJDl10034). 作者简介;朱成莲(1966-),副教授,研究方向:概率论与数理统计 732纯粹数学与应用数学第25卷 分布总体X,U[al,b1],y[口2,b2],当bl,b2已知时,两个均匀分布总体X,Y标准差 比=bl-al的 2两个均匀分布总体标准差比的估计 设x—U[al,b1】,Y—U[a2,62],bl,62已知,al,a2为未知参数,1,,…,为取自总 体的简单样本,y1,一)一,(,)?G , {i二瓣一.一?? 其中 G={(,y)lalbl,a2yb2} 定理2.1=X(1)-bl 的密度函数为 斛 , ran~h-alnu札一1, 0<<了 b — 2 — -- —, a2 D1一n1 u—m, ,? D1—01 <0 (3) (3) (4) (4) (5) (5) (6) (6) (6) 臻=w+blXO)blI=一 变换的Jacobi行列式=W,由于口1(1)bl,因此<0,由(5),(5?)式可得()的联合密 . (,叫):m+n一1札n一1,(,叫)?G,2( , 叫)={(61—01)(62一n2)”„, 第4期朱成莲:关于两个均匀分布总体标准差比的估计733 其中G={(,w)lai—bi<叫<0,a2一b2<WU<0). 当0<<bl-- ai 时,有 .,(): 一. wm-(-n-lun-ldw_m + n 礼( 6 bl 一 - 口 al / “~n一(7) (一1)m+n-im礼 (62—02)(51一e1) 由(7).(9)式可得(6)式,命题得证. 推论2.2 E(U)= wm+n-iUn-Idw-ra . n(n02a2)m让一-1仃. 一 / 向()=0 mnb2——a2 (礼+1)(m一1)61一al 即=鲁b2,--a2~, 证明 ,E(U)=/ Jo E(U) “n m+礼(nun-ldu+层01一口1 mnb2一口2 (m+n)(礼+1)bi—al “I礼62—02 (n+1)(m一1)bl—al + “n “+n mnb2一n2 (m+n)(m一1)bi—al :u.()+ “n (m一2)(佗+2)() U2mn ()u一d 竹1+他 (bl,--al/mu一d .()=E()一[E()]=兰轰\6b2一-口a2/~ 定理2.2=是署的无偏估计,且嚣. 证明E(Ui)=(n+l)m--i)E():bl-al = a _i , VE>0,由ChebysheV不等式知 P(IU~一G1 l<,)1一丁D(U1) = 1一言()() 1(当m_OO,礼--+?时) 故Pa_g/. (10) (11) O2有 = H?一j2lz 情毫咐 当当 734纯粹数学与应用数学第25卷 3两个均匀分布总体标准差比的区间估计 对于两个均匀分布总体,当61,b2已知时,U=簧荨作为标准差的比署的估计,可看出估 计量的置信区间,从而得到的区间估计,令=互u,则由(6)式我们有如下定理. 定理3.1(i)T的密度函数为.盯1 (ii)T的分布函数为 肿= (12) (12) (12,,) f0<<1(13) 1卜,(13)lm+n一,【 00(13,,1 显然,厅()在(0,+?)上是单峰函数,疗()在(0,1)上严格单调递增,在(1,+o.)上严格单调 递减.由于厅()在1处取得最大值mm,随着m,礼的变化而变化,因此若用等尾法,对给定的 显着性水平a?(0,1),上侧鸶分位点可能在=1的同侧,也可能在=1的异侧.分情况讨论可 得如下结论: 定理3.2对任意给定的显着性水平?(0,1),不妨设<0.5,则 (i)当<m元1一暑时,嚣的置信度为1一n的置信区间为 (d) 其中cl,d1为临界值且满足0<c1<1,d11,则 c= ()去=()击 (ii)当m葡詈时,的置信度为1一的置信区间为 (鞲d) 其中c2,d2为临界值且满足c21,d2>1,则 c= ()击(两2n)击 (iii)当>1一詈时,嚣的置信度为1,的置信区间为 (cs,糕如) (14) (15) 第4期朱成莲:关于两个均匀分布总体标准差比的估计735 其中c3,d3为临界值且满足c3<l,d3<1,则 cs=()1,也:c3,如() 证明(i)对任意?(0,1),当鸶<1一号,(14)式中的 1 c=m 2 - 仇 fin)击<=()击=? m(13)式,取Cl,dz满足(14)式,则 P(O<T<C1)=毋(c1):”“+n 竹t+n2m P(0<T<d1)=FT(d1)=1一 P(cl<T<dz1=1一Ol 西< Ql d)= Q 口::: nm+礼 m+扎2n P(c<< =一 詈 一 b1, d1) 因此(簧誊等c,Xi-bld)可作为的置信度为1一的置信区间 (ii)对任意?(0,1),当鸶,(15)式中的 c.= (翥)击 = (意) 由(13)x-~,取c2,d2满足(15)式,则 :1—0 <(一)击 P(T<C2)=FT(c2)=1一 P(T<d2)=FT(d2)=1一 P(c2<T<d2):1一 厂2m,一lOl 而再/I m+n2n=一 詈 即 PC2<至U<如)=P(c<< OL1 因此(等cz,X1-bld)可作为的置信度为1一的置信区间. (iii)对任意?(0,1),m>1一譬时,有 c3= ()<(.<Ol1一 () d2) 詈)击<(圭詈)击= 2 <1 :1一 (16) < 1 C /,? \ P 口 艮 736纯粹数学与应用数学第25卷 由(13)gi~,取满足(16)式c3,d3,则 P(T<c3)=FT(C3)==詈 P(T<如)=FT(d3):0~1--詈 P(c3<T<d31=l—OL 即 Pc3<互U<ds):P(c.<<如)一 因此(等等鲁cs,X1-blds)可作为嚣的置信度为1一的置信区间. 定理3.3对于任意?(0,1),的置信度为1一的最短置信区间为 (a一击) 证明对于任意?(0,1),互U的分布函数为(13)式,故 <<FT(d)一FT(c) 我们可以适当地选择c和d满足 FT(d)一厅(c)=1一a(17) 利用不等式变形可容易地给出等的置信度为1一的最短置信区间为 (c,d) 该区间长度为豢(d—c),等由已知数61,b2与样本决定,决定区间长度为d—c,因此问题 转化为在0<c<d<+?,FT(d)一毋(c)=1一条件下求d—c的最小值.利用条件极值的求 法,不难求得当fr(d):疗(c)时,d—c取得最小值. 由于厅(t)在(0,1)严格单调递增,疗()在(1,+?)严格单调递减,只有当c<1<d时才能使 得.fd)=(c).由(12)式可得 c1 :———————一一 ?Tt+n d—m一1 m+n 故 c:d一 将(18)式代入(17)式得到 1一—d—m一—fd一)n:1一 m+札m+n, 得到c=1, d=一1 ,所以的最短置信度为 (糕一击) (18) (下转第742页) 742纯粹数学与应用数学第25卷 [9]CheskidovA,FoiasC.Onglobalattractorsofthe3DNavier—Stokesequations[J].J.DifferentialEqu ations, 2006,231(2):714—754. 【10】KapustyanAV,ValeroJ.Weakandstrongattractorsforthe3DNavier-Stokessystem[J].Journalof DifferentialEquations,2007,240(2):249-278. [11]BallJM.ContinuitypropertiesandglobalattractorsofgeneralizedsemiflowsandtheNavier—Stok esequa- tions[J1.J.NonlinearSci.,1997,7:475—502. Thetheoryofmulti—valuedsemiflowanditsapplicationto three-dimensionalNavier-Stokesequations SONGXue—li1,2,HOUYan—ren1 (1.CollegeofScience,Xi?anJiaotongUniversity,Xi?an710049,China; 2.CollegeofScience,Xi?anUniversityofScienceandTechnology,Xi?an710054,China) Abstract:Thispaperisusingthemulti—valuedsemiflowmethodtostudytheattractorofthree-dimensio nal Navier—Stokesequationonsomeboundeddomains,somepropertiesofmulti?valuedsemiflowareobt ained.Then, applyingthesepropertiestothree—dimensionalNavier—Stokesequations,severalglobalattractorsofweaksolu- tionsareobtained.So,itindicatethatusingmulti—valuedsemiflowtostudytheglobalattractorofNavier—Stokes equationinthree-dimensionalcaseisfeasible. Keywords:Navier—Stokesequation,multi-valuedsemiflow,globalattractor 2000MSC:35B40,35B41 (上接第736页) 参考文献 【l】颜贵兴.均匀分布参数的矩估计与最大似然估计『J].广西师范大学学报:自然科学 版,2001,18(2):76.79. 【2】潘高田,胡军峰.小样本的均匀分布参数的区间估计和假设检验[J].数学的实践与认 识,2002,32(4):629.631 f31陈应保,邓昌松,李波.均匀分布区间中心的估计-J1.华中师范大学学报,2007,41(1):16—19. [4]陈光曙.关于均匀分布区间长度的区间估计『J1.纯粹数学与应用数 学,2006,22(3):349—354. [5】陈光曙.样本区间长度的渐近分布.生物数学学报,2006,2i(2):279.284. [6】魏宗舒.概率论与数理统计『M1.北京:高等教育出版社,1983.. Intervalestimateofstandarddeviationsproportionontwo uniformdistributionpopulation ZHUCheng—lian (DepartmentofMathematics,HuaiyinTeacher?SCollege,Huaian223300,China) Abstract:FortwouniformdistributionU[al,bl】 andU[a2I62】,estimateofstandarddeviations?proportionis consideredandintervalestimateofstandarddeviations?proportionisgiven. Keywords:uniformdistribution,standarddeviation,intervalestimate 2000MSC:62F10,62F25