无穷小的比较

无穷小的比较 1.7无穷小的比较 一( 无穷小的比较 1.引入 两个无穷小的和、差及乘积仍旧是无穷小.但是,关于无穷小的商, 2却会出现不同的情况.例如,当时,、、都是无穷小，xx,03xsinx而 2xxsin3xlim,0，，. ,,lim,1lim2x,0x,0x,0x3xx 两个无穷小之比的极限的各种不同的情况,反映了不同的无穷小 趋于零的“快慢”程度. 2.定义 ,如果,就说是比高阶的无穷小,记作; ,,lim,0,,,，，, ,如果,就说,是比低阶的无穷小. ,lim,,, ,如果,就说,与,是同阶无穷小; lim,c,0, ,如果,就说,是关于,的k阶无穷小. lim,c,0,k,0k, 1 ,如果,就说与是等价无穷小,记作. ,~,,,lim,1, 显然,等价无穷小是同阶无穷小的特殊情形,即. c,1 例如: 23x2,lim0因为,所以当时, 是比高阶的无穷小,即x3xx,00x,x 2. 30xxx,,，，，， 1 11n因为,所以时, 是比低阶的无穷小( ,,n,,lim2n,,1nn2n 2x,92lim6,因为,所以时,与时同阶无穷小. x,9x,3x,33x,x,3 1cos1,x因为,所以当时, 是关于的二阶无xlim,x,01cos,x2x,0x2 穷小. sinx因为,所以当时,与是等价无穷小,即x,lim1x,0sinxx,0x . sin~0xxx,，， 下面再举一个常用的等价无穷小的. 1n例1 :当时,. ，,xx11~x,0n 2 证:因为 nnn11，,x，，11，,x limlim,,,00xx,,1211nn，，nnxxxx111，，，，，，，，，,,，，nn n,,lim1， nn,,12x,0nn111，，，，，xx，，，， 1n所以( ，,xxx,011~，，n 关于等价无穷小,有下面两个定理. 3.定理 定理1 . ,~,,,,,，;(,) ,,,,lim定理2 设,,~,,且存在,则 ,,~,, ,,,lim=. lim,,, ,,,,,,,,,,,,,,,证:( limlimlimlimlimlim,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, [注]定理2提供了一种计算极限的重要方法------等价无穷小代换.求两个无穷小之比的极限时,分子及分母都可用等价无穷小来代换,对乘积因子也可用等价无穷小代换.但要注意,等价无穷小不能在加 3 减法中使用.常用的等价无穷小有:当时, x,0 12tanx~xarctanx~x,,,,,1,cosx~xsinx~xarcsinx~x2 ,11~，,xx,(其中为常数). ,，， tan2x例, 求( limx,0sin5x 解:当，，，所以 x,0tan2~2xxsin5~5xx tan222xx( ,,limlimxx,,00sin555xx 211，,xlim例, 求( 2x,0x 122解:当，，对分子作代换，得 11~，,xxx,02 12x2111，,x2limlim,,( 220x,0x,x2x 4