欧拉公式

欧拉公式 ????? (1)了解函数与函数的定义与有关性质 ,, (2)了解函数与函数的关系公式 ,, 重点：函数与函数的定义与有关性质 ,, 难点：函数与函数的关系公式 ,, 含参量积分 ，,,1,sx， 称为格马函数. s,0,(s),xedx,0 111p,q,， 称为贝塔函数. B(p,q),p,0,q,0x(1,x)dx,0 注：相当一部分困难的定积分和反常积分（如原函数为非初等函数），可通过合适的变 量变换转化为欧拉积分，利用欧拉积分的性质，查表来得到近似值． , ,函数可写成如下两个积分之和 ，,1,,s,1,xsx1 ,(s),,I(s)，J(s)xedx，xedx,,01 （一）、定义域 1s,1,xs,10,s,1（1）定义域当时是正常积分，当是收敛的反常积分，I(s),xedx,0 ，,,1,sxs,0,当是收敛的反常积分，故知函数的定义域J(s),,(s),I(s)，J(s)xedx,1 s,0为. s,0,（2）函数在定义域内连续且可导. s,1,xa,1,xxe,xe由不等式知在区间收敛和一致收敛因而在区间I(s)[a,b](a,0) s,1,xb,1,xxe,xe连续，由不等式知在区间收敛和一致收敛因而[a,b][a,b](a,0)J(s) s,0,,连续，从而函数在定义域内连续．同样方法可得函数在定义,(s),I(s)，J(s) s,0域内可导且有任意阶导数． （二）、递推公式 ,(s，1),s,(s) AAAAsxs,xs,,xs,x,,s,A11 ,,Ae,,xe，sxedxxedx，sxedx,,,0000 A,，,令即得, ,(s，1),s,(s) 设则. n,s,n，1,(s，1),s,(s),？,s(s,1)？(s,n),(s,n) n为正整数时： ，,,x. ,(n，1),n(n,1)？2,1,(1),n!edx,n!,0 （三）、图象 对一切,,, 和恒大于0, 因此的s,0,(s),(s),(s)图形位于s轴上方, 且是向下凸的. 因为 , 所以在上存在惟一的极小s,0,(1),,(2),1,(s) 值点, 且s,(1,2). 又在(0,s)内严格减; 在s,(s)000 (s,，,)内严格增. 0 s,(s),(s，1) 由于 ()及s,0,(s),,ss , 故有 ,(1),1lim,(s，1),，s,0 (1),s， .lim,(s),lim,，,，，s,0s,0s 由(s,，,)在内严格增可推得.，, ,(s)lim,(s),0s,，,（四）、延拓 ,(s，1) 改写递推公式为, 可将函数延拓到整个数轴(除了.,(s),,(s)s 以外). s,0,,1,,2,？ （五）、其他形式 2(1)令x,y可得 ，,，,2,1,,,sxsy21 (s,0). ,(s),xedx,2yedy,,00 ，,，,,1,,,sxsspy1(2)令有 (s,0,p,0). x,py,(s), xedx,pyedy,,00 , （一）、定义域 111p,q,x,0x,1当p,1时为瑕点，当q,1时为瑕点，定义B(p,q),x(1,x)dx,0 域为. p,0,q,0 111p,q,任何，在内，一致收敛，故 p,0,q,0p,p,q,qx(1,x)dx0000,0,函数在定义域内连续 p,0,q,0 （二）、对称性 . B(p,q),B(q,p) 111111p,q,p,q,作变换x,1,y，B(p,q),. x(1,x)dx,(1,y)ydy,,00（三）、递推公式 q,1，（）， （8） B(p,q,1)B(p,q),p,0,q,1p，q,1 p,1，（）， （9） B(p,1,q)B(p,q),p,1,q,0p，q,1 (p,1)(q,1)，（）， B(p,1,q,1)B(p,q),p,1,q,1(p，q,1)(p，q,2) 时， p,0,q,1 pq,1111(1,),1xxq112p,q,pq, B(p,q),,，x(1,x)dxx(1,x)dx,,000pp 1q,1p,1p,1q,2,[x,x(1,x)](1,x)dx ,0p 11q,1q,1p,1q,2p,1q,1,x(1,x)dx,x(1,x)dx ,,00pp q,1q,1， ,B(p,q,1),B(p,q)pp 移项整理即得（8）. （四）、其他形式 2（1）令x,cos,，则有： ,1q,p,212111p,q,2. B(p,q),,2sin,cos,d,x(1,x)dx,,00 ,q11，,yy11p,q,（2）令，则有. B(p,q),x,x(1,x)dx,dy，pq,,001，y(1，y) ,11qp,q,1，,1yt，t1（3）令，则有 .B(p,q),y,dy,dt，pqp，q,,00t(1，y)(1，t) ,, 11m,1当为正整数时，由于， m,nB(m,1),,xdx,0m n,1n,1n,21B(m,n),B(m,n,1),？B(m,1) m，n,1m，n,1m，n,2m，1 n,1n,211 ,？ m，n,1m，n,2m，1m (n,1)!(m,1)!,(n),(m) . ,,(m，n,1)!,(n，m) 对于任何实数也有关系式（待以后） p,0,q,0 ,(p),(q)，（）. B(p,q),p,0,q,0,(p，q) ： 1, 2, 3 (1)(2) 豆丁致力于构建全球领先的文档发布与销售平台，面向世界范围提供便捷、安 全、专业、有效的文档营销服务。包括中国、日本、韩国、北美、欧洲等在内的豆丁全球分站， 将面向全球各地的文档拥有者和代理商提供服务，帮助他们把文档发行到世界的每一个角落。豆 丁正在全球各地建立便捷、安全、高效的支付与兑换渠道，为每一位用户提供优质的文档交易和 账务服务。 豆丁致力于构建全球领先的文档发布与销售平台，面向世界范围提供便捷、安全、专业、有效 的文档营销服务。包括中国、日本、韩国、北美、欧洲等在内的豆丁全球分站，将面向全球各地 的文档拥有者和代理商提供服务，帮助他们把文档发行到世界的每一个角落。豆丁正在全球各地 建立便捷、安全、高效的支付与兑换渠道，为每一位用户提供优质的文档交易和账务服务。