【备战2014】北京中国人民大学附中高考数学 综合能力题选讲 第18讲 直线与二次曲线(含详解)

直线与二次曲线 题型预测 直线与圆锥曲线的位置关系，是高考考查的重中之重．主要涉及弦长、弦中点、对称、参量的取值范围、求曲线方程等问题．解题中要充分重视韦达定理和判别式的应用． 解题的主要规律可以概括为“联立方程求交点，韦达定理求弦长，根的分布找范围，曲线定义不能忘”． 范例选讲 例1．已知双曲线G的中心在原点，它的渐近线与圆 相切．过点 作斜率为 的直线 ，使得 和 交于 两点，和 轴交于点 ，并且点 在线段 上，又满足 ． （Ⅰ）求双曲线 的渐近线的方程； （Ⅱ）求双曲线 的方程； （Ⅲ）椭圆 的中心在原点，它的短轴是 的实轴．如果 中垂直于 的平行弦的中点的轨迹恰好是 的渐近线截在 内的部分，求椭圆 的方程． 讲解：（Ⅰ）设双曲线 的渐近线的方程为： ，则由渐近线与圆 相切可得： ． 所以， ． 双曲线 的渐近线的方程为： ． （Ⅱ）由（Ⅰ）可设双曲线 的方程为： ． 把直线 的方程 代入双曲线方程，整理得 ． 则   （＊） ∵ ， 共线且 在线段 上， ∴ ， 即： ，整理得： 将（＊）代入上式可解得： ． 所以，双曲线的方程为 ． （Ⅲ）由题可设椭圆 的方程为： ．下面我们来求出 中垂直于 的平行弦中点的轨迹． 设弦的两个端点分别为 ， 的中点为 ，则 ． 两式作差得： 由于 ， 所以， ， 所以，垂直于 的平行弦中点的轨迹为直线 截在椭圆S内的部分． 又由题，这个轨迹恰好是 的渐近线截在 内的部分，所以， ．所以， ，椭圆S的方程为： ． 点评：解决直线与圆锥曲线的问题时，把直线投影到坐标轴上（也即化线段的关系为横坐标（或纵坐标）之间的关系）是常用的简化问题的手段；有关弦中点的问题，常常用到“设而不求”的方法；判别式和韦达定理是解决直线与圆锥曲线问题的常用工具）． 例2．设抛物线过定点 ，且以直线 为准线． （Ⅰ）求抛物线顶点的轨迹 的方程； （Ⅱ）若直线 与轨迹 交于不同的两点 ，且线段 恰被直线 平分，设弦MN的垂直平分线的方程为 ，试求 的取值范围． 讲解：（Ⅰ）设抛物线的顶点为 ，则其焦点为 ．由抛物线的定义可知： ． 所以， ． 所以，抛物线顶点 的轨迹 的方程为：   ． （Ⅱ）因为 是弦MN的垂直平分线与y轴交点的纵坐标，由MN所唯一确定．所以，要求 的取值范围，还应该从直线 与轨迹 相交入手． 显然，直线 与坐标轴不可能平行，所以，设直线 的方程为 ，代入椭圆方程得： 由于 与轨迹 交于不同的两点 ，所以， ，即 ．（＊） 又线段 恰被直线 平分，所以， ． 所以， ． 代入（＊）可解得： ． 下面，只需找到 与 的关系，即可求出 的取值范围．由于 为弦MN的垂直平分线，故可考虑弦MN的中点 ． 在 中，令 ，可解得： ． 将点 代入 ，可得： ． 所以， ． 从以上解题过程来看，求 的取值范围，主要有两个关键步骤：一是寻求 与其它参数之间的关系，二是构造一个有关参量的不等式．从这两点出发，我们可以得到下面的另一种解法： 解法二．设弦MN的中点为 ，则由点 为椭圆上的点，可知： ． 两式相减得： 又由于 ，代入上式得： ． 又点 在弦MN的垂直平分线上，所以， ． 所以， ． 由点 在线段BB’上（B’、B为直线 与椭圆的交点，如图），所以， ． 也即： ． 所以， 点评：解决直线和圆锥曲线的位置关系问题时，对于消元后的一元二次方程，必须讨论二次项系数和判别式，有时借助图形的几何性质更为方便． 涉及弦中点问题，利用韦达定理或运用平方差法时（设而不求），必须以直线与圆锥曲线相交为前提，否则不宜用此法． 从构造不等式的角度来说，“将直线 的方程与椭圆方程联立所得判别式大于0”与“弦MN的中点 在椭圆内”是等价的．