四设正整数a不是完全平方数

四设正整数a不是完全平方数 ????? 四．设正整数a不是完全平方数，求证：对每一个正整数n， 2nSaaa,，，， n,,,,,, 的值都是无理数．这里，其中示不超过x的最大整数． []xxxx,,,,,, 222证明：设，，，其中整数，则，且，而cac,,，1ac,12,,,accc,1，，，， ，，．令 aaaac,,,,,,，， kk*aacxyakNxyZ,,,，,,(),,,. kkkk,, 则 ． ……? Sxxxyyya,，，，，，，，......，，，，nnn1212 n 下面证明，对所有正整数n，Ty,,0.由于 nk,k,1 k，1xyaacacxyaaycxxcya，,,,,，,,，,()()， kkkkkkkk，，11，，，，，， xaycx,,，,kkk，1所以 ,yxcy,,.,kkk，1 由xcy,,,1yc,,2可得. 112 消去得， x,,k 2ycyacy,,，,2， ? ，，21kkk，， 其中yyc,,,1,2. 12 由数学归纳法易得 yy,,0,0． ? 212kk, 由?和?，可得 2yycyacy,,,，，,,(21)()0,kkkk，，，2221212 2yycyacy，,,,，,,(21)()0,kkkk，，，2221212 2222相乘得 yy,,0yy,,0，又因，故． yy,222121kk，，212kk,又由 2yycyacy,,,，，,,(21)()0,kkkk，,212221 2yycyacy，,,,，,,(21)()0,kkkk，,212221 22yy,,0相乘得 ，即． yy,212kk，221kk， ． ? yy,nn，1所以，对所有正整数n，都有 故由? ?得，对所有正整数n，都有yyyy，,，,0,0．因此 212221kkkk,， Tyyyyy,，，，，，,()...()0， 211232221nnn,,, Tyyyyyy,，，，，，，,()()...()0， 21234212nnn, 从而对所有正整数n，都有T,0S，故由?知，是无理数. nn 豆丁致力于构建全球领先的文档发布与销售平台，面向世界范围提供便捷、安全、专业、有效 的文档营销服务。包括中国、日本、韩国、北美、欧洲等在内的豆丁全球分站，将面向全球各地 的文档拥有者和代理商提供服务，帮助他们把文档发行到世界的每一个角落。豆丁正在全球各地 建立便捷、安全、高效的支付与兑换渠道，为每一位用户提供优质的文档交易和账务服务。