高考数学必会题型：专题3《函数与导数》第9练

示的．分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数． (2)在求分段函数f(x)解析式时，一定要首先判断x属于定义域的哪个子集，然后再代入相应的关系式． 1．设函数f(x)＝ 则满足f(x)≤2的x的取值范围是________． 答案　[0，＋∞) 解析　当x≤1时，21－x≤2，解得x≥0，所以0≤x≤1； 当x>1时，1－log2x≤2，解得x≥ ， 所以x>1.综上可知x≥0. 2．已知函数f(x)＝ 是(－∞，＋∞)上的减函数，那么a的取值范围是________． 答案　(0,2] 解析　由题意，得 解得02； 由x≥g(x)得x≥x2－2，∴－1≤x≤2. ∴f(x)＝ 即f(x)＝ 当x<－1时，f(x)>2；当x>2时，f(x)>8. ∴当x∈(－∞，－1)∪(2，＋∞)时，函数的值域为(2，＋∞)． 当－1≤x≤2时，－ ≤f(x)≤0. ∴当x∈[－1,2]时，函数的值域为[－ ，0]． 综上可知，f(x)的值域为[－ ，0]∪(2，＋∞)． 4．已知f(x)＝ 则下列函数的图象错误的是________． 答案　④ 解析　先在坐标平面内画出函数y＝f(x)的图象，再将函数y＝f(x)的图象向右平移1个单位长度即可得到y＝f(x－1)的图象，因此①正确；作函数y＝f(x)的图象关于y轴的对称图形，即可得到y＝f(－x)的图象，因此②正确；y＝f(x)的值域是[0,2]，因此y＝|f(x)|的图象与y＝f(x)的图象重合，③正确；y＝f(|x|)的定义域是[－1,1]，且是一个偶函数，当0≤x≤1时，y＝f(|x|)＝ ，相应这部分图象不是一条线段，因此④不正确． 5．设函数f(x)＝ 若f(m)>f(－m)，则实数m的取值范围是________． 答案　(－∞，－1)∪(0,1) 解析　若m>0，则－m<0，f(m)＝ ＝－log2m，f(－m)＝log2m，由f(m)>f(－m)，得－log2m>log2m，即log2m<0,00，f(－m)＝log (－m)＝－log2(－m)，f(m)＝log2(－m)，由f(m)>f(－m)得log2(－m)>－log2(－m)，解得m<－1. 6．对实数a和b，定义运算“?”：a?b＝ 设函数f(x)＝(x2－2)?(x－x2)，x∈R.若函数y＝f(x)－c的图象与x轴恰有两个公共点，则实数c的取值范围是____________________． 答案　(－∞，－2]∪(－1，－ ) 解析　f(x)＝ 即f(x)＝ f(x)的图象如图所示，由图象可知c的取值范围为 (－∞，－2]∪(－1，－ )． 7．已知函数f(x)＝ 则f(－3)的值为________． 答案　2 解析　f(－3)＝f(－1)＋1＝f(1)＋2＝2. 8．已知函数f(x)＝ 若f(f(1))>3a2，则a的取值范围是________． 答案　－13a2?6a＋9>3a2，解得－10. 因此x2－x1＝ [－(2x1＋2)＋2x2＋2]≥ ＝1. (当且仅当－(2x1＋2)＝2x2＋2＝1， 即x1＝－ 且x2＝－ 时等号成立) 所以，函数f(x)的图象在点A、B处的切线互相垂直时，有x2－x1≥1. (3)解　当x1x1>0时， f′(x1)≠f′(x2)， 故x1<00时，函数f(x)的图象在点(x2，f(x2))处的切线方程为 y－ln x2＝ (x－x2)，即y＝ ·x＋ln x2－1. 两切线重合的充要条件是 由①及x1<0h(2)＝－ln 2－1，所以a>－ln 2－1. 而当t∈(0,2)且t趋近于0时，h(t)无限增大， 所以a的取值范围是(－ln 2－1，＋∞)， 故当函数f(x)的图象在点A、B处的切线重合时，a的取值范围为(－ln 2－1，＋∞)． 12．(2013·湖南)已知a>0，函数f(x)＝ . (1)记f(x)在区间[0,4]上的最大值为g(a)，求g(a)的表达式； (2)是否存在a，使函数y＝f(x)在区间(0,4)内的图象上存在两点，在该两点处的切线相互垂直？若存在，求a的取值范围；若不存在，请说明理由． 解　(1)当0≤x≤a时，f(x)＝ ； 当x>a时，f(x)＝ . 因此， 当x∈(0，a)时，f′(x)＝ <0，f(x)在(0，a)上单调递减； 当x∈(a，＋∞)时，f′(x)＝ >0，f(x)在(a，＋∞)上单调递增． ①若a≥4，则f(x)在(0,4)上单调递减，g(a)＝f(0)＝ . ②若0