用拉格朗日插值法求抛物线的解析式- 用插值法求抛物线的解析式

用拉格朗日插值法求抛物线的解析式- 用插值法求抛物线的解析式 用拉格朗日插值法求抛物线的解析式 李立波 在数学的学习过程中，我们总是在不断总结规律，尽量得出一些形式化的结论.比如我们用配已经 能够很好地解决一元二次方程根的求解问题,但是我们仍不满足,进而我们又有了公式法这一利器.今天,笔 者想就抛物线解析式的求法作一下类似的探究.在初中阶段我们主要利用待定系数法求抛物线(指对称轴与 x轴垂直的抛物线,本文中的抛物线均是该类型)的解析式.下面笔者就介绍一种更加直接的方法:拉格朗日 插值法. 22yaxbxca,，，,(0)Axy(,)yaxbxca,，，,(0)引理:若抛物线经过抛物线上的三点、111111 aabbcc,,,,,Bxy(,)Cxy(,)、，则必有. 1112233 2Axy(,)Bxy(,)Cxy(,)yaxbxca,，，,(0):?、、在抛物线上 112233 xxx,,?互不相等 123 22yaxbxc,，，yaxbxc,，，?抛物线和抛物线都经过点 A111 2axbxc，，,0? …… ? 11 2axbxc，，,0 …… ? 11111 2()()()0aaxbbxcc,，,，,,?,?,得: 11111 22()()()0aaxbbxcc,，,，,,()()()0aaxbbxcc,，,，,,同理: , 1212113131 2()()()0aaxbbxcc,，,，,,xxx,,?是的三个根 123111 aabbcc,,,,,,0,0,0由代数基本定理可知,必有 111 aabbcc,,,,,即 111 该引理说明如果过三个点有一条抛物线,那么它必定是唯一的一条. Axy(,)Bxy(,)Cxy(,) 定理:若一条抛物线经过、、三点,则它的解析式为112233 ()()()()xxxxxxxx,,,,()()xxxx,,231312yyyy,，，，，， …… ?. 123()()()()()()xxxxxxxxxxxx,,,,,,121321233132 Axy(,)Bxy(,)Cxy(,) 证明: ?、、在同一抛物线上 112233 yy,yy,3121xxx,,,?互不相等并且, 123xxxx,,2131 故?式一定存在,下面证明它是一个二次数: yyy2312，，在?式中x的系数为 ()()()()()()xxxxxxxxxxxx,,,,,,121321233132 ()()()()yyxxyyxx,,,,,21313121整理,得 ()()()xxxxxx,,,121323 yy,yy,3121?, xxxx,,2131 ()()()()0yyxxyyxx,,,,,,? 21313121 2故在?式中的系数不为0. x ()()()()xxxxxxxx,,,,()()xxxx,,231312?是一个二次函数,其图象是yyyy,，，，，，123()()()()()()xxxxxxxxxxxx,,,,,,121321233132 一条抛物线. xxyy,,时，xxyy,,时，xxyy,,时，容易验证:当;当;当. 112233 Axy(,)Bxy(,)Cxy(,)由引理知: 过、、三点的抛物线解析式必为?式. 112233 注:?式是我们用拉格朗日插值公式构造的. 例:已知一抛物线经过A(0,,1),B(1,0),C(,1,2),求其解析式. (1)(1)(1)(1)xxxxxx,，，,y,,，，，，，102解:所求抛物线的解析式为 (01)(01)(10)(11)(10)(11),，,，,,,, 2yxx,,,21整理,得: 由上可知用插值法求抛物线的解析式比用待定系数法更直接,可操作性更强. (发于《中学数学杂志》2009年第6期)