打开数学“难”题之门

打开数学“难”之门 打开数学“难”题之门 ------化难为易，化整为零寻突破 引言:现在很多学生害怕数学，但是你看，我们从幼儿园期间就开始学数学，一直学到高中，甚至到大学和研究生阶段。数学这么一个看似没有用的东西，为什么从幼儿园就一直开始学呢,这是数学本身的特点决定的，不光是中国，别的国家也是如此。我记得有一个叫德国科学家克莱因说过这样一段话:唱歌能让你焕发激情，美术能让你赏心悦目，诗歌能使你拨动心弦，哲学能让你增长智慧，科学能改变你的物质生活，但数学能给你以上的这一切。我觉得这句话，对数学的描述，是非常准确的。 第一，数学是一个教人严谨的学科 当你的思维比较迟钝的时候，通过数学的刺激能够变得灵敏;当你的思维不严谨的时候，通过数学的刺激能够变得严谨;当你的思维不敏锐的时候，通过数学的刺激能够变得敏锐。为什么呢,你看数学的特点，首先，它非常严谨。 举例:说甲乙两个人爬楼梯，甲到了4层，乙到了3层，那么问甲到了第16层，乙到了哪一层, 第二，数学是一个挑战智慧的学科。就是你干什么事情，都得用心去想。 举例:有81个球，其中1个球比较轻，其余80个球重量相同，所有的球大小都是一样的。现在我给你一个没有刻度、没有砝码的天平，你最多用多少次，能把这个比较轻的小球找出来,这就是数学培养出来的智慧。 一.高考高难度题的大体位置: 选择题第11，12题;填空题第16题，解答题第21，22题 二(感觉难的原因: 1.心理原因:自我定位低，不相信自己;草率放弃( 2.知识原因:知识理解不到位，联系不到已有知识;知识不熟练，基础题没有赢得充足时间; 3. 能力因素:数学能力一般是指抽象思维能力、逻辑推理与判断能力、空间想象能力、数学建模能力、数学运算能力、数据处理与数值计算能力、数学语言与符号表达能力等;高考的原则已明确表示从知识立意到能力考查。 三(本讲座研究问题:知识层面，层面;找难题的“入口”～ 找出一些对于大多数学生都能够理解掌握的做数学压轴题的更普遍，更通用，更全面，更有效的技巧、方式、方法，使大多数学生或是初学者产生更多灵感，找到解决难题的关键点. (一) 认识难题的命题特点 1.新:背景新，题目设计新颖，考生从未见过，或虽有些熟悉的影子，但题目的绝大部分是极为陌生 的 2.思维能力要求高。需要深入分析或通过变形运算才能找到解决问题的入口，或需要化抽象为具体， 思维能力要求较高。 3.出身不凡。许多醒目且意味隽永的试题往往有较为深厚的科学背景。具有深刻的高等数学(甚至现 代数学)背景的题，其情景新颖，寓创新意识于其中，关注试题由知识型向能力型的转化，具有探 索性和创新性. 4.综合性和探索性强。目前的高考综合题已经由单纯的知识叠加型转化为知识、方法和能力综合型试题，具有知识容量大、能力要求高、突显数学思想方法的运用的特点。 高考数学“难”题是学生考试过程中要冲刺的“坡顶”，是试卷命题者为提高试卷区分度而设计的一道题.由于高考数学压轴题难度高，有较好的区分度，有知识和能力考查的综合性，成为命题者和师生高度关注的对象.解好“难”题对于那些想考一流大学，并对数学成绩期望值较高的同学来说，是一道生命线;对于那些定位在二流大学的学生而言，这里可是放手一搏的好地方。 5.压轴题的类型:纵观近几年的高考数学题，发现高考的数学压轴题一般分为两大类:代数型压轴题和几何型压轴题. (1)代数型压轴题 主要有以下几种形式:? 函数内容本身的综合，如函数概念、图像、最值等方面的综合;? 函数与其它数学知识的综合，如方程、不等式、数列、解析几何和导数等内容与函数的综合，这里主要体现函数思想的运用;? 与实际问题的综合，主要体现在数学模型的构造和函数关系的建立，这类问题一般要经过变形转化，归结为二次函数、均值不等式、数列或导数的问题解决.举例:(2012.山东高考第21题) 数列是高中代数的重点内容之一,也是与大学数学有衔接的内容，由于在测试学生的逻辑推理能力和理性思维水平及考查学生创新意识和创新能力等方面有不可替代的作用，因此,在近几年高考中有着重要的地位.数列形式的综合题不仅考查数列、等差数列和等比数列、数列及数学归纳法等基本知识，同时考查学生在数学学习和研究过程中知识的迁移、组合、融会，进而考查学生的数学素养和学习潜能，为学生展现其创新意识和发挥创造能力提供广阔空间.评2011年和2012年山东高考第20题:数列形式的综合题是高考数学压轴题的热点题型，此例是考查特殊与一般思想、函数与方程思想、等价转化思想方面的一道好题. (2)几何型压轴题 几何型压轴题主要是以直线和圆锥曲线的关系来命题的，题目的特点是: ?基础知识要非常扎实，并能灵活应用; ?综合性较强，在解题中几乎处处涉及函数方程、向量、不等式、直线等内容，同时体现各种能力的综合; ? 计算量大，要求具有较高的运算能力和较强的逻辑推理能力. 举例:2011年山东高考第22题 总之，近几年的高考试题中，以“数列”、“函数”、“圆锥曲线”为主要知识的压轴题是高考数学压轴题的热点题型，主要考查学生等价转化能力、数形结合能力、分析问题和解决问题的能力、推理和运算能力、较强的思辩能力、信息迁移能力、创新意识和创新能力等,同时还具有较强的区分度，有利于高校选拔优秀人才. 四、入题策略 策略一 认真审题,深入挖掘,找到突破口( 1(注意挖掘隐含条件，以简化问题。从题设到结论，从题型到内容，条件隐蔽、抽象，研究问题开放性强，问题设计变化多样，思考方式灵活性大，因此就决定了审题、思考的复杂性. 如定积分课时作业第11题中的，2012潍坊质检第22题 a,,1 2(做出能反映出题目条件实质的简图,使研究问题直观化。 举例:2011辽宁高考，2012和2011年山东高考第12题。 策略二 化难为易.联系相关知识，连接相似问题，联想类似方法。-----转化与化归 化归与转化思想的实质是揭示联系，实现转化(除极简单的数学问题外，每个数学问题的解决都是通过转化为已知的问题实现的(从这个意义上讲，解决数学问题就是从未知向已知转化的过程( 数学中的转化比比皆是，如未知向已知转化，复杂问题向简单问题转化，新知识向旧知识的转化，命题之间的转化，数与形的转化，空间向平面的转化，高维向低维转化，多元向一元转化，高次向低次转化，超越式向代数式的转化，函数与方程的转化等，都是转化思想的体现( 1.化抽象为具体(举例:2010年山东高考第22题 2.化陌生为熟悉(举例:2012年山东高考第22题 3. 化到前面小题所研究结论上. 举例:2007年山东高考第22题 4(代数、几何方法的互化。举例:2010年山东高考第21题 化归与转化的思想是解决数学问题的根本思想，解题的过程实际上就是一步步转化的过程(问题的解决实质就是“未知”向“已知”的转化 策略三 “化整为零”---分类讨论 分类讨论思想的本质上是“化整为零，积零为整”，从而增加了题设条件的解题策略( 1.导数研究函数问题的基本步骤: (1)明确定义域 (2)求导，并变形。(基本手段:通分，分解因式，数轴穿根) (3)由导数符号研究函数的单调性，极、最值的情况。 2. 导数研究函数问题的的分类点 2ax，bx，c2,,导数一般可化为二次函数型，(如:，再如f(x),ax，bx，cfx,()x x2a,等)，若二次项系数中含有参数，这就要讨论到与0的大小关系，向下如果能f(x),e(ax，bx，c) 因式分解，则要考查两根的大小关系，两根与所给区间端点的大小关系，如不能分解因式，则需考查判别式与0的大小关系。 举例:2011年山东高考第21题; 2010年山东高考(文)第21题; 策略四 尝试借助高等数学的方法 举例: 2012年山东高考第16题;2011山东高考第22题;2012年全国高考第22题 五( 复习建议:主动出击，做好攻破高考压轴题准备 1.牢固掌握基础知识，拿死基本题型( 2.熟练掌握、深入理解基本方法，通性通法的实质( 3.要有一股钻劲，要有锲而不舍的精神(只有深入挖掘，才能使题目情境逐渐明朗，综合题目条件及所得结论找出解决方法，要有钻劲，要有信心，要有锲而不舍的精神(同时要训练解题注意力，意志力，要有充沛的精力，提高身体素质，强化体育锻炼与营养，防止“强弩之末稍，不可穿鲁稿”( 4. 要有科学认真的作风(要有追求真理的积极性，不畏书，不畏师，不畏上(优等生)，只畏实的态度( 5. 要有霸气，要有王者心态. 不要习惯于放弃最后一个题，尤其一轮复习时，难度一般还不会太大，要不断出击，慢慢地不知不觉地自己的解题能力就加强了，强化战胜压轴题的信心。信心来自于不断地成功的尝试，即使没有做出，也要自己在老师讲后独立尝试重做，不留自己没能彻底解决的遗憾。 6.训练较强的计算能力(要训练运算变形的能力，提高基本运算的熟练度、灵活度与准确度;变形运算的准确性是不断发现、调整思路,实现问题逐步解决的保证(要养成连续运算的习惯，不看答案的习惯( 7.强化转化化归意识:化难为易，化到基本知识方法上，化到解题经验上，化到前面小题所得结论上。 ,(培养思维的严谨性(复杂问题研究不能想当然，往往要把问题分成多种情况进行分类讨论，要不重不漏，化整为零，各个突破，实现问题的最终解决( 9(解决高难度问题要“三思”( (1) 思想:高考综合题的设置往往会突显考查数学思想方法，解题时应注意数学思想方法的运用。 (2)思路:由于综合题具有知识容量大，解题方法多，因此，审题时应考虑多种解题思路。 (3)思辩:即在解综合题时注意思路的选择和运算方法的选择。平时做完综合练习后，要注重反思这 一环节，注意方法的优化。要把解题的过程抽象形成思维模块，注意方法的迁移和问题的拓展。 通过此次讲座，你认为打开高考难题之门的钥匙是什么,细细研究高考压轴题，题目“难”，解决之道就是“化难为易，化整为零”，旨在强化同学们的这两种解题意识。