习题课 广义积分

习题课 广义积分 ，,arctanx1. 判断的收敛性. dx,12，，1xxx ，,1解: 与比较，由极限比较法，收敛. dx,21x ，,lnxx2. 判断的收敛性. dx,15，1x xln3解: 由，存在，使得当时，， lim,0lnx,xX,0x,X,03x,，,x 3xlnxxx7，直接比较法，收敛. ,,p,,1556x，1x，1 ,13. 判断广义积分dx的收敛性. ,0sinx ,,,1112解: dx， ,dx，dx,,,,00sinxsinsinxx2 第一个积分显然收敛，对第二个积分令， x,,,t,dx,dt ,0,1112，收敛. dx,,dt,dx,,,,,0sinsinsinxtx22 ，,xarctan4. 讨论的收敛性. dxp,0x ，,1，,xxxarctanarctanarctan解: dx,dx，dxppp,,,100xxx arctanx1对第一个积分，与等价()， x,0p,1pxx 收敛. p,1,1,,p,2 arctanx1对第二个积分，与进行比阶， qpxx 0,pq,arctanx,lim, ,,p,qx,，,x,pq,2, 因此，当p,q,1时第二个积分收敛。 综合上述分析，1,p,2时积分收敛。 ，,，11，,,5. 判断广义积分的收敛性 ln1dx，,,,,,,0x1x，,,，，，,1，,，11，，11，，11，,,,,,,解: ln1dxln1dxln1dx，,,，,，，,,,,,,,,,,,,,,,,010x1xx1xx1x，，，,,,,,,，，，，，， 1，11，1,,,,， ?，收敛; ln1，ln1dxx,0,,lnx，,,,,,,,,0xx1x，,,,,，， ，,11，11，1,,,,ln1，, ?，收敛。 ln1dxx,，,,，，,,,,,2,,,1x1，x2xx1x，,,,,，， ，,，11，,,故收敛。 ln1dx，,,,,,,0x1x，,,，， ,dx26. 判断广义积分的收敛性 pq,0sinxcosx ,,,dxdxdx242 解:,，,pqpqpq,,,00sinxcosxsinxcosxsinxcosx4 ,dx114，?，当时，收敛; p,1x,0pqpqp,0sinxcosxsinxcosxx ,1dx1,2，?，当时，收敛。 q,1x,q,pqpq,2sinxcosxsinxcosx,,,4,x,,2,, ,dx2故当，时，收敛。 p,1q,1pq,0sinxcosx ，,ln(1，x)7. 判断广义积分的收敛性 dxp,0x ，,1，,，，ln(1x)ln(1x)ln(1，x)解: ,，dxdxdxppp,,,100xxx 1ln(1，x)1ln(1，x)，?，当时，收敛; p,2x,0dxp,1pp,0xxx ，,ln(1，x)ln(1，x)lnx?，当时，收敛。 x,，,,p,1dxppp,1xxx ，,ln(1，x)故当1,p,2时收敛。 dxp,0x ，,1dx8. 计算。 ,022(1，5x)1，x dt解: 取变换， x,tant,dx,21，t ,sect2, Idt,201，5tant ,,dsint1122. ,,arctan(2sint),arctan2,200221，4sint a，,11,9. 设常数,若,则[ ] dxdxa,a,022,,a01，1，xx ,,解: ，. arctana,,arctanaarctana,,a,124 ，,arctanx . 10. 计算dx,21x ，,，,arctanx1解: dx,,arctanxd()2,,11xx ，,b111x，,,,,，,，,arctanxdxlim()dx22,,111,，,b，，x4xx(1x)1x 111,,2,，lim[lnb,ln(1，b)，ln2],，ln2b,，,42242. x,，,xe11. 求积分 。 dxx2,,0(1，)e x,，,，,,1xe解: =xd ()dxxx2,,,00，e(1，)e1 ，,，,,1x= ，dxxx,01，1，ee0 ，,，,t1=. dt0，,ln,ln2,1ttt(1，)1，1 ，,dx12. 广义积分 [ ]. ,,x12e1, xx解: 取变换，则， x,ln(sect),edx,secttantdte,sect ,tant,,1,12. I,dt,,arccose,arcsine,1,earccostant2 2，,，,，,sinxsinx,sinxcosx13. 已知，求，及 dx,dxdx2,,,0002xxx ，,，,，,，,sincos2sincos1sin21sinxxxxxx,2解: 。 ，，dx,dx,dx,dx,,,,,000022224xxxx ，,22，,，,，,sin1sin2sincosxxxx,,,2。 sindx,,xd,,，dx,,,2,,,0002xxxx,,0 补充题 关于积分的题 2，，,,()()()fxfxfx1. ,dx,,3,,(),fx,,()fx，， 22,,,,,f(x)f(x)f(x)df(x)11，，2,,解: dxf(x)d,,,332,,,,,,,2,,,,,，，f(x)f(x)f(x),, 2,1f(x)12f(x)f(x) ,,，dx22,,,22，，，，f(x)f(x) 22，，,,1()()()()fxfxfxfx ,dx,，C,,32,,(),2fx,,,，，()()fxfx，， 1，sinxxedx2. ,1，cosx 2xx,,，sincos,,21，sinx1x22,,xxx,,解: edx,edx,tan，1edx,,,,,x1，cosx222,,2cos2 1xxxx,,,,2xxxsec2tantantan,，edx,ed，edx ,,,,,,,22222,,,, xxxxxxxxtantantantan ,e,edx，edx,e，C,,22221ln,x3. dx2,lnx 1ln1111,xxx,,dx,dx,dx,dx,，xd,,，C解: ,,222,,,,,lnlnlnlnlnlnlnxxxxxxx,,arctanxdx4. 22,x(1，x) arctan11x,,arctandx,x,dx解: ,,2222,,(1)1，，xxxx,, arctanx1arctanxdx,,dx,,arctanxd,,， ,,22,,,xxxx(1，x),, 2arctan1xxln ,,，，C221x，x arctanx12 dx,arctanx，C2,1，x2 2arctan11xarctanx1x1,,2arctan dx,x,dx,,，ln,arctanx，C,,22222,,(1)1x，xx，xx21，x2,, 2bbb22,,5. Cauchy-Schwartz不等式 f(x)g(x)dx,f(x)dx,g(x)dx,,,,,aaa,,bbbb2222:， ,,,f(x)，g(x)dx,,f(x)dx，2,f(x)g(x)dx，g(x)dx,0,,,,aaaa 2bbb22,,判别式 ,,4f(x)g(x)dx,4f(x)dx,g(x)dx,0,,,,,aaa,, 2bbb22,, f(x)g(x)dx,f(x)dx,g(x)dx,,,,,aaa,, 1dx16. ，求证。 f,C[0,1],f(x),a,0,1,0f(x)f(x)dx,0111dxdx证明:， 1,f(x),,f(x)dx,,,000f(x)f(x) 1dx1故 ,1,0f(x)f(x)dx,0 211f(x)1,,，，7. 设在可微，且，证明:，,,,2，使 f(x),2dx,4f(),,2,,,122x2，，,, ,,f(,),2f(,) 211f(x)证明:，， F(),4f(),F(x)dxF(x),2,122x 2由中值定理，，使，故 ，,,(1,2)F(,),F(x)dx,1 1 F(),F(,)2 1,,,,Rolle定理可得，,,,2，使，即。 F(,),0,f(,),2f(,),,2,, x8. ，求。 f(x)f,R[0,a],f(x),0,f(x),f(t)dt,0 xx解: f,R[0,a],f(t)dt,C[0,a],f(t)dt,C[0,a],f(x),C[0,a],,00 (1) ,f(x),C[0,a] x在上面的推理中，用到了条件。 f(x),0,f(x),f(t)dt,0 x2 f(x),f(t)dt,0 1, f(x),2 x f(x),，C2 xx由，，故。 f(x),f(0),0f(x),f(t)dt,02 9. 设， f(x),C(0,，,),f(1),3,,x,y,(0,，,) xyxy f(t)dt,yf(t)dt，xf(t)dt,,,111 求。 f(x) x,解:，则， F(1),3F(x),f(t)dt,1 F(xy),yF(x)，xF(y) F(x(1，y)),F(x)yF(x)，xF(y), xyxy y,0 FxFyFxFx()(1，)()(),,FxF(),，lim,，(1),，3 y,0xyxx F(x),解微分方程，初始条件为， F(x),，3F(1),0x F(x),3xlnx ,f(x),F(x),3lnx，3 习题课 级数 , 1. 设级数收敛，则必收敛的级数为 [ ]. [ D ] un,n,1 ,,,,u2nn(A)。(B)。(C)。 (D)。 u(u,u)(u，u)(,1)n2nnn1n，,,,,nn,1n1n1n1,,, ,,,1n,2. 已知，则 . [ 8] (,1)u,2,u,5u,,,,21nnn,11n,1n,n, 10a3. 设 则下列级数中肯定收敛的是 [ ]. [ D ] ,,nn, ,,,,2n(A); (B) ; (C) ; (D) a(,1)aaalnnnnnn,,,,n1nn,1n,1,1, ,,,n4. 设常数，，级数收敛，则级数[ ]. (1)(ntan)aaa,0,,,0,,2nnnnn,1n1,(A)绝对收敛。(B)条件收敛。(C)发散。(D)收敛性与有关。 [ A ] , , 5. 设正项级数收敛, 则 [ ] [ D ] an,n,1 aann，1，1(A) 极限小于1; (B) 极限小于等于1; limlimnn,,,,aann aann，1，1(C) 若极限存在, 其值小于1;(D) 若极限存在, 其值小于等于1; limlimnn,,,,aann ,226. 设参数，则sin(,n，a)收敛性的结论是 [ ] [ B ] a,0,n1, (A)绝对收敛。(B)条件收敛。 (C)发散。 (D)与参数取值有关。 a 7. (正常数项级数收敛的判定与其项趋于零阶的估计问题) ,1，，pn设 若级数收敛, 则的取值范围pa,0,p,0,limn(e,1)a,1,a,,nnn,n,,,,，，n,1是 . an解: , p,2 lim,1n,,1 p,1n ,11,,8. 判断 的收敛性. ，ln1,,,n,,nn1, 111,,(收敛) ln1，~,,3nn,,2n , n!an9. 判断 的收敛性. ,nn,1n aun，1解: lim,n,,uen , 绝对收敛; , 发散; a,ea,e n1,,, (因为单调上升趋于e) 发散. 1，a,eu,u,,n，1nn,, ,,1nn10. 设，单调减且级数发散，试问是否收敛,证明结论。 a,0()(,1)ann,,a，1nn1n1,, [ 收敛 ] ,n(,1)11. 讨论级数 的收敛性. ,nn，(,1)n1, 解: 这是交错项级数, 通项趋于零, 但不单调. 不能用Lebnize定理. 两项合并, , 收敛. 又, 原级数收敛. 但不绝对收敛. 故条件收敛. lima,0，，a，an2n12n,,n,,n1, ,n,,,(1),,12. 讨论级数 的收敛性 . (p,0)，ln1,p,,n,,n1, n(,1)解: 记 a,,b,ln(1，a),c,a,bnnnnnnpn 1则 c~ 当时. n,,n2p2n ,,(1) p,1, 绝对收敛, 故绝对收敛. cbnn,,n,1n,1 ,,,10,p, (2) 时, 发散, 收敛, 故发散. cabnnn,,,2n,1n,1n,1 ,,,1 (3)时, 绝对收敛, 收敛, 故条件收敛. ,p,1cabnnn,,,2n,1n,1n,1(不能用Leibnize方法) 13. 常数项级数和微分方程 ,,y,x，y,，，11,,设函数是定解问题的解, 讨论级数 的收y,y(x)y,,1,,,,,,y(0),1nn,,，，,n1, 敛性. ,,,,,,,解: , 由Taylor公式 y,x，y,y,1，yy(0),1,y(0),1,y(0),2, 1111,,,, ,，，，y1o,,,,22nnnn,,,, ,,，，111,,,, 收敛 yo,,,1,,,,,,,,2nnn,,,,，，n1n1,,原级数绝对收敛. 14. 常数项级数和积分的估值 ,,a4nn设, 讨论级数 的收敛性. a,tanxdxn,p,0nn,1 ,n11t1nn4,a,xdx,,tdt,解: 令, 0tan,tanx,tn2,,,000n，，t11 a1n . ,,0pp，1nn 时, 原级数收敛. p,0 1122y,(n，1)x，ynx15. 设两条抛物线和， ,，nn，1记他们交点坐标的绝对值为。 an (1)求这两条抛物线所围成的平面图形的面积 ,Sn(2)求级数的和。 ,ann,1 1a,解: (1) nn(n，1) an114，，2232(1)S,nx，,n，x,dx,a nn,,,013nn，，， ,,S414n(2) ,,,,a3n(n1)3，n11n,n, 二(函数项级数 , u(x),u(x)，u(x)，u(x)，？,n123n1, (1)收敛域 ,,, 设是定义在上的一个函数项级数，，若数项级数收敛，Du(x)u(x)x,D,,nn00nn,1,1 , 则称是的一个收敛点。所有收敛点构成的集合称为级数的收敛域。 u(x)x,n0n,1 (2)和函数的概念 , , 函数项级数的收敛域为I，则任给，存在惟一的实数，使得u(x)S(x)x,I,nn,1 ,, 成立。定义在I上的函数称为级数的和函数。 S(x),u(x)u(x)S(x),,nnn1n,,1 16. 讨论下列级数的收敛域 nn,x,2sin,,D,x,Rx,k,,k,0,,1,？(1) : ; ,,,,26n,,n,1 ,nxsin()(2) : ，，D,,,,，,,2nn,1 ,n!n(3) x: ,,; D,0,200nn,1 ,nx(4) n!e: D,,,n,1