压杆的稳定性验算

压杆的稳定性验算 建筑力学行动导向教学教案提纲 模块七 压杆稳定性 7.1压杆稳定的概念 为了说明问题，取如图7-2 (a)所示的等直细长杆，在其两端施加轴向压力F，使杆在 直线状态下处于平衡，此时，如果给杆以微小的侧向干扰力，使杆发生微小的弯曲，然后撤 去干扰力，则当杆承受的轴向压力数值不同时，其结果也截然不同。当杆承受的轴向压力数 值F小于某一数值持平衡，如图7-2 (a)、 (b)cr F 轴向压力数值F 逐渐增大到某一数值F时，即使撤去cr 干扰力，杆仍然处于微弯形状，不能自动恢复到原有的 直线平衡状态，如图7-2 (c)、(d)所示，则原有的直 线平衡状态为 不稳定的平衡。如果力F继续增大，则杆继续弯曲， 产生显著的变形，甚至发生突然破坏。 上述现象表明，在轴向压力F由小逐渐增大的过程中， 压杆由稳定的平衡转变为不稳定的平衡，这种现象称为 压杆丧失稳定性或者压杆失稳。显然压杆是否失稳取决 于轴向压力的数值，压杆由直线状态的稳定的平衡过渡 到不稳定的平衡时所对应的轴向压力，称为压杆的临界 压力或临界力，用表示 图7-2 压力F小于Fcr当压杆所受的轴向 Fcr时，杆件就能够保持稳定的平衡，这种性能称为压杆具有稳定性;而 当压杆所受的轴向压力F等于或者大于Fcr时，杆件就不能保持稳定的平衡而失稳。 压杆经常被应用于各种工程实际中，例如脚手架立杆和基坑支护的支撑杆，均承受压力， 此时必须考虑其稳定性，以免引起压杆失稳破坏。 7.2临界力和临界应力 7.2.1细长压杆临界力计算——欧拉公式 从上面的讨论可知，压杆在临界力作用下，其直线状态的平衡将由稳定的平衡转变为不 稳定的平衡，此时，即使撤去侧向干扰力，压杆仍然将保持在微弯状态下的平衡。当然，如 果压力超过这个临界力，弯曲变形将明显增大。所以，使压杆在微弯状态下保持平衡的最小 的轴向压力，即为压杆的临界压力。下面介绍不同约束条件下压杆的 临界力。 一、两端铰支细长杆的临界力计 算公式——欧拉公式设两端铰支长度 为z的细长杆，在轴向压力Fcr的作 用下保持微弯平衡状态，如图7-3 在图7-3所示的坐标系中，坐标z处横截 面上的弯矩为: 将式(b代入式(a)，得 进一步推导(过程从略)，可得临界力为: 上式即为两端铰支细长杆的临界压力计算公式，称为欧拉公式。 从欧拉公式可以看出，细长压杆的临界力 Fcr与压杆的弯曲刚度成正比，而与杆长l的 平方成反比。 二、其他约束情况下细长压杆的临界力 杆端为其他约束的细长压杆，其临界力计算公式可参考前面的方法导出，也可以采用类比的方法得到。经验表明，具有相同挠曲线形状的压杆，其临界力计算公式也相同。于是，可将两端铰支约束压杆的挠曲线形状取为基本情况，而将其他杆端约束条件下压杆的挠曲线形状与之进行对比，从而得到相应杆端约束条件下压杆临界力的计算公式。为此，可将欧拉公式写成统一的形式: 表7-1 压杆长度系数 【例7.2-1】如图7-4所示，一端固定另一端自由的细长压杆，其杆长 l?2m，截面形状为矩形，b?20mm、h=45mm，材料的弹性模量E=200GPa。试计算该压杆的临界力。若把截面改为b?h=30mm，而保持长度不变，则该压杆的临界力又为多大? 解 (1)计算截面的惯性矩 由前述可知，该压杆必在弯曲刚度最小的xy平面内失稳，故公式(4-53) 的惯性矩应以 最小惯性矩代入，即 (2)计算临界力查表4-12得u?2，因此临界力为: (3)当截面改为b?h=30mm时压杆的惯性矩为: 代入欧拉公式，可得: 从以上两种情况分析，其横截面面积相等，支承条件也相同，但是，计算得到的临界力后者大于前者。可见在材料用量相同的条件下，选择恰当的截面形式可以提高细长压杆的临界力。7.2.2欧拉公式的适用范围 一、临界应力和柔度 前面导出了计算压杆临界力的欧拉公式，当压杆在临界力Fcr作用下处于直线状态的 平衡时，其横截面上的压应力等于临界力Fcr除以横截面面积A，称为临界应力，用?cr表示，即 上式为计算压杆临界应力的欧拉公式，式中?称为压杆的柔度(或称长细比)。柔度?是一个无量纲的量，其大小与压杆的长度系数u、杆长l及惯性半径i有关。由于压杆的长度系数u决定于压杆的支承情况，惯性半径i决定于截面的形状与尺寸，所以，从物理意义上看，柔度?综合地反映了 压杆的长度、截面的形状与尺寸以及支承情况对临界力的影响。从式(7-3)还可以看出，如果压杆的柔度值越大，则其临界应力越小，压杆就越容易失稳。 二、欧拉公式的适用范围 欧拉公式是根据挠曲线近似微分方程导出的，而应用此微分方程时，材料必须服从虎克定理。因此，欧拉公式的适用范围应当是压杆的临界应力?cr不超过材料的比例极限?P，即: 有 若设?P为压杆的临界应力达到材料的比例极限?P时的柔度值，则: 故欧拉公式的适用范围为 上式表明，当压杆的柔度不小于 ?P时，才可以应用欧拉公式计算临界力或临界应力。 这类压杆称为大柔度杆或细长杆，欧拉公式只适用于大柔度杆。从式(4-55)可知，取决于材料性质，不同的材料都有自己的E值和 也不同。例如Q235钢，?P的值?P值，所以，不同材料制成的压杆，其?P?P= 200MPa，E=200GPa，由式(7-4)即可求得，?P=100。 【例7.2-2】Q235钢制成的矩形截面杆,两端约束以及所承受的载荷如图示((a)为正视图(b)为俯视图)，在AB两处为销钉连接。若已知L,2300mm，b,40mm，h,60mm。材料的弹性模量E,205GPa。试求此杆 的临界载荷。 hI解: ??1.0iz?z?A23 ??0.5Iyb?i?y 23A ?l?l?1?2300??2?132.8??P?101? ?z??iz60 23 ?l?l?1?2300??2? ?y??iy40 2 ?99.6??P?101 ?2E3.142?205?103?40?60 Fcr??crA?2A??132.82 ?275000N?275KN 图7-5 7.3中长杆的临界力计算——经验公式、临界应力总图 7.3.1中长杆的临界力计算——经验公式 上面指出，欧拉公式只适用于大柔度杆，即临界应力不超过材料的比例极限(处于弹性稳定状态)。当临界应力超过比例极限时，材料处于弹塑性阶段，此类压杆的稳定属于弹塑性稳定(非弹性稳定)问题，此时，欧拉公式不再适用。对这类压杆各国大都采用经验公式计算临界力或者临界应力，经验公式是在试验和实践资料的基础上，经过分析、归纳而得到的。各国采用的经验公式多以本国的试验为依据，因此计算不尽相同。我国比较常用的经验公式有直线公式和抛物线公式等，本书只介绍直线公式，其表达式为 式中a和b一一与材料有关的常数，其单位为MPa。一些常用材料的a、b值可见表7-2。 表7-2 几种常用材料的a、b值 应当指出，经验公式(7-6)也有其适用范围，它要求临界应力不超过材料的受压极限应力。这是因为当临界应力达到材料的受压极限应力时，压杆已因为强度不足而破坏。因此，对于由塑性材料制成的压杆，其临界应力不允许超过材料的屈服应力 ? s ，即: 或 令 得: 式中 ? s ——临界应力等于材料的屈服点应力时压杆的柔度值。与 ? P 一样，它也是一个与 材料的性质有关的常数。因此，直线经验公式的适用范围为: 计算时，一般把柔度值介于于 ?与? s P 之间的压杆称为中长杆或中柔度杆，而把柔度小 ? 的压杆称为短粗杆或小柔度杆。对于柔度小于s ? ? P 的短粗杆或小柔度杆，其破坏则是 因为材料的抗压强度不足而造成的，如果将这类压杆也按照稳定问题进行处理，则对塑性材料制成的压杆来说，可取临界应力 ??? cr s 。 7.3.2临界应力总图 综上所述，压杆按照其柔度的不同，可以分为三类，并分别由不同的计算公式计算其临界应力。当?? ? P 时，压杆为细长杆(大柔度杆)，其临界应力用欧拉公式 (7-3)来计算;当 来计算;???s<?<?P时，压杆为中长杆(中柔度杆)，其临界应力用经验公式(7-6)?s时，压杆为短粗杆(小柔度杆)，其临界应力等于杆受压时的极限应力。如 果把压杆的临界应 图7-6 力根据其柔度不同而分别计算的情况，用一个简图来表示，该图形就称为压杆的临界应力总图。图7-6即为某塑性材料的临界应力总图。 【例7.3-1】图7-7所示为两端铰支的圆形截面受压杆，用Q235钢制成，材料的弹性模量E=200GPa，屈服点应力?s=235MPa，直径d=40mm， 试分别计算下面三种情况下压杆的 临界力:(1)杆长l?1.2m;(2)杆长l?0.8m;(3)杆长l?0.5m。 解 (1)计算杆长l?1.2m时的临界力。两端铰支时u?1 惯性半径 柔度 所以是大柔度杆，应用欧拉公式计算临界力 (2)计算杆长l?0.8m时的临界力 因为?s<?<?P，所以该杆为中长杆，应用直线经验公式来计算临界力。 查表7-2，Q235钢a=304MPa，b=1.12MPa (3)计算杆长l?0.5m时的临界力 压杆为短粗杆(小柔度杆)，其临界力为 7.4压杆的稳定计算 7.4.1压杆稳定实用计算公式 当压杆中的应力达到(或超过)其临界应力时，压杆会丧失稳定。所以，正常工作的压杆，其横截面上的应力应小于临界应力。在工程中，为了保证压杆具有足够的稳定性，还必须考虑一定的安全储备，这就要求横截面上的应力，不能超过压杆的临界应力的许用值即: ???，cr ???为临界应力的许用值，其值为 cr 式中nst——稳定安全系数。 稳定安全系数一般都大于强度计算时的安全系数，这是因为在确定稳 定安全系数时，除了应遵循确定安全系数的一般原则以外，还必须考虑实际压杆并非理想的轴向压杆这一情况。例如，在制造过程中，杆件不可避免地存在微小的弯曲(即存在初曲率);另外，外力的作用线也不可能绝对准确地与杆件的轴线相重合(即存在初偏心)等等，这些因素都应在稳定安全系数中加以考虑。 为了计算上的方便，将临界应力的许用值，写成如下形式: 从上式可知，?值为 式中 ???——强度计算时的许用应力;?折减系数，其值小于l。 将式(c)代人式(a)，可得 上式即为压杆需要满足的稳定条件。由于折减系数?可按?的值直接从表 7-3中查到，因此，按式(7-8)的稳定条件进行压杆的稳定计算，十分方便。因此，该方法也称为实用计算方法。 应当指出，在稳定计算中，压杆的横截面面积A均采用毛截面面积计算，即当压杆在局部有横截面削弱(如钻孔、开口等)时，可予不考虑。因为压杆的稳定性取决于整个杆件的弯曲刚度，而局部的截面削弱对整个杆件的整体刚度来说，影响甚微。但是，对截面的削弱处，则应当进行强度验算。 表7-3 折减系数表 7.4.2实用计算公式应用 应用压杆的稳定条件，可以对以下三个方面的问题进行计算: (1)稳定校核即已知压杆的几何尺寸、所用材料、支承条件以及承受的 压力，验算是否满足式(7-8)的稳定件。 这类问题，一般应首先计算出压杆的长细比?，根据?查出相应的折减系数?，再按照式(7-8)进行校核。 (2)计算稳定时的许用荷载即已知压杆的几何尺寸、所用材料及支承条件，按稳定条件计算其能够承受的许用荷载F值。 这类问题，一般也要首先计算出压杆的长细比?，根据?查出相应的折减系数?，再按照下式进行计算。 (3)进行截面设计即已知压杆的长度、所用材料、支承条件以及承受的压力F，按照稳定条件计算压杆所需的截面尺寸。 这类问题，一般采用“试算法”。这是因为在稳定条件(7-8)中，折减系数是根据压杆的长细比?查表得到的，而在压杆的截面尺寸尚未确定之前，压杆的长细比?不能确定，所以也就不能确定折减系数。因此，只能采用试算法。首先假定一折减系数值? (0与1之间)，由稳定条件计算所需要的截面面积A，然后计算出压杆的长细比?，根据压杆的长细比?查表得到折减系数?，再按照式(7-8)验算是否满足稳定条件。如果不满足稳定条件，则应重新假定折减系数值?，重复上述过程，直到满足稳定条件为止。 【例7.4-1】如图7-8所示支架，BD杆为正方形截面的木杆，其长度l?2m，截面边长a=O.1m，木材的许用应力????10MPa，试从满足BD杆的稳定条件考虑，计算该支架能承受的最大荷载 F max 。 解 (1)计算BD杆的长细比 (2)求BD杆能承受的最大压力根据长细比受的最大压力为 (3)根据外力F与BD杆所承受压力之间的关系，求出该支架能承受的最大荷载 考虑AC的平衡，可得 从而可求得 因此，该支架能承受的最大荷载 ? BD 查表，得彻 ? BD ?0.470，则BD杆能承 F max 。 F max 为 7.5提高压杆稳定性的措施 要提高压杆的稳定性，关键在于提高压杆的临界力或临界应力。而压杆的临界力和临界 应力，与压杆的长度、横截面形状及大小、支承条件以及压杆所用材料等有关。因此，可以从以下几个方面考虑: 一、合理选择材料 欧拉公式告诉我们，大柔度杆的临界应力，与材料的弹性模量成正比。所以选择弹性模量较高的材料，就可以提高大柔度杆的临界应力，也就提高了其稳定性。但是，对于钢材而言，各种钢的弹性模量大致相同，所以，选用高强度钢并不能明显提高大柔度杆的稳定性。而中、小柔度杆的临界应力则与材料的强度有关，采用高强度钢材，可以提高这类压杆抵抗失稳的能力。 二、选择合理的截面形状 增大截面的惯 性矩，可以增大截 面的惯性半径，降 低压杆的柔度，从 而可以提高压杆的 稳定性。在压杆的 横 截面面积相同的条件下，应尽可能使材料远离截面形心轴，以取得较大的惯性矩，从这个角度出发，空心截面要此实心截面合理，如图7-9所示。在工程实际中，若压杆的截面是用两根槽钢组成的，则应采用如图7-10所示的布置方式，可以取得较大的惯性 矩或惯性半径。 另外，由于压杆总是在柔度较大(临界力较小)的纵向平面内首先失稳，所以 应注意尽可能使压杆在各个纵向平面内的柔度都相同，以充分发挥压 杆的稳定承 载力。 三、改善约束条件、减小压杆长度 根据欧拉公式可知，压杆的临界力与其计算长度的平方成反比，而压杆的计 算长度又与其约束条件有关。因此，改善约束条件，可以减小压杆的长度系数和 计算长度，从而增大临界力。在相同条件下，从表7-3可知，自由支座最不利，铰支座次之，固定支座最有利。 减小压杆长度的另一方法是在压杆的中间增加支承，把一根变为两根甚至几根。如图7-11 图7-11 7.6综合训练七(托架中压杆的稳定性计算) 练习一:图示一简单托架，其撑杆AB为圆截面木[?]=11Mpa 若架上受集度为的均布荷载作用q=50kn，试求撑杆所需的直径d。 练习二:图示托架中的AB杆为16号工字钢，CD杆由两根50×6等边角钢组成。已知l=2m，h=1.5m，材料为Q235钢，其许用应力[? ]= 160 MPa，试求该托架的许用荷载[F]。