【2017年整理】二项分布中方差的计算

【2017年整理】二项分布中方差的计算 二项分布中方差的计算 kkn,k假设ξ~B(n,p), 即 P{,,k},Cpqn 2考虑E[ξ(ξ-1)]=Eξ-Eξ 而 nnn!,,kknkknkE[(,1)],k(k,1)Cpq,k(k,1)pq,,,,nk!(n,k)!,0,2kk nnn,(n,1),(n,2)!,2,2,2,knkkknk,pq,n(n,1)pCpq,,,2n(k,2)![n,2,(k,2)]!,2,2kk i,k,2令 2n,222222iin,i,上式= n(n,1)pCpq,n(n,1)p,np,np,2n,0i, 2222即, E,,E,,np,np 222222再将Eξ=np代入上式,得 E,,np,np，np,np，np(1,p) 22222最后得 D,,E,,(E,),np，np(1,p),(np),npq 例1的分布图 0.4 0.35 0.3 0.25 0.2P0.15 0.1 0.05 00123456 例2的分布图 0.3 0.25 0.2 0.15P 0.1 0.05 0012345678910 4.2 超几何分布 例1的图形: 0.5 0.4 0.3 P0.2 0.1 001234 例2的图形: 0.5 0.4 0.3 P0.2 0.1 00123 定义4.2 设N个元素分为两类, 有N个属于第一类, N个属于第二类(N+N=N). 从中不重1212 复抽样取n个, 令ξ表示这n个中第一类元素的个数, 则ξ的分布称为超几何分布, ,mnmCCNN12 P(,,m),(m,0,1,....,n)nCN r规定: 如n>n超几何分布可以用二项分布来近似。 为说明这一点，首先给出一个近似式如下: nNnC,当N>>n时，有 Nn! N(N1)(N2)(Nn1),,？,，nC,Nn!这是因为当N很大时，后面每个括号的值近似为1，nN12n,1(1)(1)(1),,,？,n!NNN 因此上面近似式成立，N越大越准确，当N趋于无穷时，约等于可以变为等于。 而当超几何分布中总元素的个数N非常大时，N>>n, 在保持N/N不变的情况下N和N也112 会很大，也有N>>m, N>>n-m, 因此有 12 mn,mNN12,mn,mmn,mCCNNnmn,m,,,,!!()!NN1212P,m,,,(),,,,,nn mn,mNNCN!()!,,,,N n! mmn,m,Cpqn 当N趋于无穷时，近似式就成为准确式。 4.3 普哇松分布 普哇松分布的来源是这样, 有时候要在一个单位长的时间段内进行大量的二项分布试验, 但希望在这个单位长的时间段内事件A发生的平均数量为指定值λ, 因此将单位长度的时间段平均划分为n段, 在每一段做一次独立试验, 使事件A发生的概率为p, 而因为单位时间长度内, 即n次试验中A平均要发生给定值λ次, 而二项分布的均值已知为np, 也就是满足 λ=np, 或者说在给定试验次数n和均值λ的情况下, p=λ/n 那么, 当n很大时, p必然很小, 这时候的二项分布就很接近普哇松分布, 当n趋向于无穷大时, 必有p趋向于无穷小, 即在每个"无穷小"的时间段内都做一次独立试验, 事件A发生的概率也是"无穷小", 但积累起来, 单位时间内A发生的平均数量还是λ. 在推导时, 要用到近似公式 ,,,x e,(1,x) 当x趋向于无穷小时等式严格成立. 当给定λ=np, 且n很大, p=λ/n很小时 kkn,k P(,,k),Cpqn knk,C假设k<0, 则称ξ服从普哇松(Poisson)分布. 利用级数 k，,xx e,,k!k0, m,,,,,,,,可得 P(m),e,ee,1,,,m!m0m0,, 数学期望与方差的计算 mm1,,,,,,,,,,, ,,Emee,,,!(,1)!mmm0m1,, k,m,1令则 k,,,, E,,,e,,,!kk0, 当用普阿松分布来近似二项分布时，，其数学期望与二项分布的数学期望是一致的。 ,,np 因为 m2m2,,,,,,,2,,,, (,1),,,(,1),,,EEEmmee,,,,,,!(,2)!mmm0m2,, 令k=m-2，则 k,,2,2, [(1)]E,,,,,e,,,!k0k, 222 E,,,，E,,,，, 最后得 2222 D,,E,,(E,),,，,,,,, ,因此，普阿松分布的期望和方差都是λ，标准差为，这给统计带来方便。因为，通常情况下是知道一随机变量服从普阿松分布，但是未知参数是λ，此参数正好是数学期望，因此就统计一段时间，看单位时间内某事件出现的次数的平均值，即事件发生总数除以时间。得到的统计值λ就是单位时间内发生次数ξ服从的普阿松分布的参数。 当用普阿松分布近似表示二项分布时，因为λ=np且n一定要很大，即p一定非常小，则二项分布的方差npq=np(1-p)?np=λ, 还是一致的。