具有功能反应捕食被捕食食物链系统的一些研究

具有功能反应捕食被捕食食物链系统的一些研究 声 尸 明 明 本学位是我在导师的指导下取得的研究成果,尽我所知,在本学 位论文中,除了加以标注和致谢的部分外,不包含其他人已经发或公布 过的研究成果,也不包含我为获得任何教育机构的学位或学历而使用过的 。与我一同工作的同事对本学位论文做出的贡献均已在论文中作了明 确的说明。 研究生签名: 学位论文使用授权声明 南京理工大学有权保存本学位论文的电子和纸质文档,可以借阅或上 网公布本学位论文的全部或部分内容,可以向有关部门或机构送交并授权 其保存、借阅或上网公布本学位论文的全部或部分内容。对于保密论文, 按保密的有关规定和程序处理。 研究生签名:具有功能反应捕食一被捕食食物链系统的一些研究 硕上论文 摘 要 在生态学中,种群生态学是其中的一个重要分支.食物链系统作为生态学和 种群动 力学中的一个具体的组织形式,在同一系统中,不同生物,不同种群之间无法 彼此分开, 它们之间存在复杂的非线性关系,并且与环境构成一个整体. 近年来,捕食关系是数学与生态学界研究的一个突出课题.捕食一被捕食作用关系 是生物种群之间相互作用的基本关系之一,捕食者一食饵相互作用关系的研究具有非常 重要的应用价值和理论意义.功能性反应在捕食一被捕食系统的研究中扮演着重要的角 色,其中很多种类型的捕食一被捕食系统都得到了很好的研究及应用,但关于具有功能 性反应的三种群食物链系统的研究成果还不多. 本文应用微分方程定性与稳定性的基本原理,研究了几类模型平衡点的全局稳定 性,本论文由三部分构成.第一章简述了问题产生的历史背景及研究意义以及本文主要 研究内容.第二章研究一类具有收获率的功能性反应自抑制两种群模型,具有 功能反应和线性收获率的捕食一被捕食食物链系统,确定的捕食系统模型的平衡点与极 限环,得到了该系统正平衡点的全局稳定性以及系统极限环的存在唯一性.第三章研究 一类具有收获率的功能性反应自抑制三种群模型,讨论了具有类功能性反应和 线性收获率的一类三种群捕食系统,研究了平衡点的全局稳定性以及系统持 续生存的条 件;并且用软件验证了模型的研究结论的正确性. 关键词:捕食一被捕食系统 线性收获率平衡点?极限环全局稳定硕士论文 垒竺. , ,,, , .,.一? . 一一 ,? , . , .. ,.. ., ., , ; : ;; ; ; 硕士论文 具有功能反应捕食一被捕食食物链系统的一些研究 目录 摘 要??.??。 绪论??. .课题的研究意义及前景一 .背景科研项目情况简介.. .本文主要研究内容??一 一类具有收获率的功能性反应自抑制两种群模型定性分析? .预备知识一 .具有线性收获率的功能性反应自抑制两种群模型定性分析 ..模型的建立.. ..模型的定性分析?一 一类具有收获率的功能性反应自抑制三种群模型定性分析? .预备知识 .一类具有收获率的功能性反应自抑制三种群模型定性分析 ..模型的建立? ..模型的定性分析.计算机验证至谢??..?....。...? 参考文献. 具有功能反应捕食一被捕食食物链系统的一些研究 硕:二论文 绪论 .课题的研究意义及前景 在生态学中,种群生态学是其中的一个重要分支.种群生态学广泛应用于生 态学, 发展也最为成熟系统.对于生态学中的一些有趣现象,我们可以用数学理论 的知识去解 释说明,而生态现象却又是检验数学理论的最好实践,从而两者之间彼此联 系,彼此促 进,使得两门学科共同发展,因此近年来,这方面的课题备受关注. 食物链系统作为生态学和种群动力学中的一个具体的组织形式,在同一系统中,不 同生物,不同种群不可能完全分开,它们相互作用、相互关联,融入整个环境中.研究 不同的食物链系统,能帮助我们深入了解生物的发展.错综复杂的生存环境中,适者生 存,生物的进化的目标只有一个,就是使自己能够适应环境,能够一代一代的繁衍下去、 生生不息.近年来,捕食关系是数学与生态学界研究的一个主要课题.捕食一被捕食作用 关系是生物种群之间相互作用的基本关系之一,捕食者一食饵相互作用关系的研究具有 非常重要的理论意义和应用价值.功能性反应在捕食一被捕食系统的研究中扮演着重要 的角色,其中很多种类型的捕食一被捕食系统都得到了很好的研究及应用,但关于具有 功能性反应的三种群食物链系统的研究成果还不多. 全球的生物共同组建了一个大家庭,而在这个家庭中,人类作为主体,为了满足自 身生存与发展的需要,就要科学的管理各种生物资源.生物种群持续生存问题、生态系 统的全局渐近稳定性问题已受到学术界的广泛重视,是生态学、生物数学的 研究热点.绪论 硕二卜论文 .背景科研项目情况简介 年,?提出了著名的模型: 瓦一妄 其中是种群密度,是容纳量,是自然生长率其值等于出生率减去死亡率, 一言是实际增长率. 』 ..美】建立了捕食一被捕食系统模型,.,意 大利建立了竞争系统模型,后这些模型又被推广,推广成两系统之间的互 利关系,就是我们现在熟悉的?模型:』 其中口,,,都是大于零的常数. 【多一 第一次世界大战之后,亚得里亚海捕食鱼比战争前有大量的增加,用此模型 成功地解释了这一现象变化.几十年以来,?模型描述的生态动力系统吸 引了很多研究者从不同的角度去研究两种群相互作用系统.至今两种群相互 作用模型的 研究经久不衰,构建的模型多种多样,研究结果也是丰富多彩的. ?模型中?为函数,是一种简单的功能反应函数, 是正比例函数,当专时有专。,即说当食饵不断增多时,单位时间内每个捕 食者能吃的食饵也是不断增多,也就是说捕食者永远没有吃饱的时候,这当 然是不符合 实际情况的.后来不少生态学家不断的修正这个模型,使其更符合实际情况,功能函数 也不断的改进.年,提出了三种: .; 对于简单的动物藻类细胞有胁,,叫功能反应函数?:对于无脊椎动物有胁,,馏口功能反应函数?:; 删 对于脊椎动物有胁,,玎鲫功能反应函数?:竺? 。 类功能反应函数更一般的形式又称为函数:具有功能反应捕食一被捕食食物链系统的一些研究 顾士论文 喇瓣 ?函数: 给出了类功能性函数又称 ?丽 ‘ 三个种群相互作用显然要比两个种群的相互作用要复杂,但是构造数学模型的规 律基本相同.就捕食一被捕食的系统,三种群彳,,之间的关系有三种:两个食饵、 一个捕食者;一个食饵、两个捕食者;一个捕食另一个的捕食链. 陈兰荪讨论了几类?三种群模型,是针对食饵种群增长是线性密度制 约关系,两捕食种群问的影响都是线性的.陈兰荪还提出门维捕食一被捕食 系统 的平衡点,若局部渐近稳定,则必全局稳定的猜想. 型模型: ?两个食饵种群口,,一个捕食者种群.设彳,,的密度分别是。,:,,.主 要依靠吃和为生,彳和是相互竞争自然资源的.彳和是密度制约的,是非密 度制约的.其数学模型为: ?一一 ??一 一口 ?一个食饵种群,两个捕食者种群和.仍设么,,的密度分别是。,:,。. 是非密度制约的,和是线性密度制约的. ?一日 一?一 一?一 ?捕食链:是生物捕食者,又是的捕食者.仍设彳,,的密度分别是。,:,。, 并且假设三者的增长都是密度制约的. 一口?绪论 硕士论文 口?一 一一 以上是考虑线性密度制约以及种群之间是线性关系的情况的一部分模型,其 他模型 可以类推得到.以上模型中的%均表示正常数. 功能性反应系统模型: ?两个食饵种群以,,一个捕食者种群. 一口一鼻 ?一只 一置 其中。、:分别是对彳和的消化系数,鼻。是对的功能性反应, :是对的功能性反应. ?一个食饵种群么,两个捕食者种群和. ?一一足 尼墨 一七最 其中。、:分别是和的消化系数,鼻。是的功能性反应,足,是 的功能性反应. ?捕食链:是生物捕食者,又是彳的捕食者. 一口一 一一最 一最 其中。、:分别是和的消化系数,只。是的功能性反应,:是 的功能性反应. 研究了由两个捕食者种群,和一个食饵种群构成的食物链模 具有功能反应捕食一被捕食食物链系统的一些研究 硕士论文 型: 瓦刮,一?罴一羔 缎 , 、 ????? 罢叫刁 应参数,他们得到了这三种群共存的充分条件. ?应用函数研究了上述系统的全局稳定性. 研究了由一个捕食者种群和两个食饵种群所构成的食物链模型的一致 持续性.,.对于三维食物链系统的平衡点性态和顶层捕食 者灭绝的问题进行了讨论. 凌娇秀【对具有胁刀唧功能性反应的三维顺环捕食系统: 。,,。,,,一口。,,。,,一揣如,,揣 :.,,:,一糌尼。,,:专考号三‰ ,,?,一皇揣尼?,三三舌等睾籍 进行了研究,得到了系统持续生存与周期系统平稳振荡的充分条件. 苟清吲用比较定理和极限理论研究了具有胁胁馏口类功能反应的三种群捕 食者食饵系统,证明了在某些条件下系统是持久的,而且在适当条件下系统 的任意正解 是全局渐近稳定的. 王育全,井竹君四研究了一类具有自抑制行为的食饵种群和两个捕食种群所 构 ‘ 成的食物链模型: 一一懈一缸一刍当一塾塑警硝一嘲而绪论 颀士论文 鲁铋?熹, 并且作出了全局定性分析. 赵巍,谢丛波,许军口讨论了生产者服从再生模型的三种群食物链系统平衡点 的稳定性问题.通过理论证明和数值模拟,揭示了该系统边界平衡点的稳定性以及正平 衡点的存在性,从而对该问题已有的研究结果给出了进一步的修正和完善. 张剑,张宏民,堵秀凤【研究了一类具有收获率的三种群捕食模型: 一一一啊 卜厂一少一吃 【一~ 讨论了该模型平衡点的存在条件及性态,并得到模型唯一正平衡点是渐近稳定的条件. 三种群作用模型中,如果考虑在三种群中存在捕食与被捕食或寄生物与寄主的关系 时,也要考虑相互干扰的因素,那么模型更为复杂,写成一般形式,即为模 ,, 型: ,, ,, .本文主要研究内容 本论文将采用定性理论和稳定性理论的传统方法,包括平衡点的类型和性态分析; 函数;张芷芬唯一性定理等,对具有功能反应捕食.被捕食实物链系统进行动力学 性态研究. 一具有线性收获率的功能性反应自抑制两种群模型 文献【讨论了食饵种群在线性密度下制约下,且考虑常数收获率的模型,得出了~ 些定性结论,本论文第二章内容在文献【】的基础上考虑密度制约的食饵种群,功能性反 应函数,线性收获率,建立如下的捕食一被捕食模型: 具有功能反应捕食一被捕食食物链系统的一些研究 硕::论文 一:缸一生生一‖优小咖罴一‖ 其中,分别表示食饵种群和捕食者种群密度;表示食饵种群的内禀增长率; 表示捕食者种群的死亡率;聊,反映两种群的密度制约因素;一缸说明 食饵种群具有自抑制行为,;?为类功能性反应函数,其中口, ;,分别表示对食饵种群和捕食者种群的收获能力,且. 本文对该系统的正平衡点作了全面分析,得到了该系统正平衡点的全局稳定 性的充 分条件;系统极限环存在性和唯一性的充分条件. 二具有线性收获率的功能性反应的自抑制三种群模型 王育全,井竹君【研究了一类具有自抑制行为的食饵种群和两个捕食种群所 构成的 食物链模型: 妄叫一嬲掰一面一亟 警州飞熹’ 鲁铋一以%十而,、 在第三章中,借鉴此模型,考虑线性收获率,讨论了如下具有功能性反应 捕食一被捕食者模犁: 瓦叫舻一%一毒也 ?讲 ,怒一尚也少 面?篇考也 其中,,分别表示三种群的种群数量;为食饵种群,供食给和种群;种群仅以 绪论 硕士论文 为生,又供食给种群;种群仅捕食,种群,没有其他食物来源;一表示种群 具有自抑制行为;种群,对都满足类功能性反应函数;种群对也满足 类功能性反应函数;、、分别表示对三种群具有线性收获率; 表示种群的内禀增长率,为满足现实意义,。. 本文系统研究了该模型平衡点的性态,局部稳定性,全局稳定性问题以及种 群持续 生存的条件;并且利用现有数学软件对模型进行绘图分析,通过图形我们可 以清晰的看 出各种群密度的变化及走向,使模型更准确化和直观化.硕二:论文 具有功 能反应捕食一被捕食食物链系统的一些研究 一类具有收获率的功能性反应自抑制两种群模型定性分析 .预备知识 常微分方程定性与稳定性的基本概念及定理 定义.【对于系统 去 . .:, 若点。,。使。,。和。,。,则称。,。为系统.的平衡点,也 叫做奇点. 定义.【对常系数的齐次线性近似系统。 . 二:鸲:: 口/ 写成向量系统为文血,其中么是矩阵%\. 当的两个特征值都有非零实部时,系统.在平衡点。,。处的稳定性与系统 .在平衡点,处的稳定性相同. 用、分别表示矩阵的迹删口。。口::和矩阵的行列式,并且设?. 当?时,称,为初等奇点;当时,称,为高次奇点. 对于初等奇点:当时,平衡点为鞍点;当,,时,平衡点 为稳定不稳定结点;当,,时,平衡点为稳定不稳定焦点; 当,时,平衡点为中心. 定义.‘设‰,。是系统.的平衡点,若‰,的任一领域,存在‰,。 的一个包含于的领域,,使系统.的任意轨线,,,满足:若有 ,少?。,则,有,少,?,称平衡点少。为稳定的,否则就是不 稳定的.如果系统.平衡点 。是稳定的,并且有 。\/ / ,。。。,,;: 就称平衡点。,。是系统.的渐近稳定点.~类具有收获率的功能性反应白抑制 两种群模型的定性分析 硕士论文 定义.‘如果平衡点‰,。是渐近稳定的,且领域是全空间,则称平衡点 。是系统.的全局渐近稳定点. 定义.系统.中,我们称使二:,:的曲线称为系统的垂直等倾线,使 ,的曲线称为系统的水平等倾线. ...【】设函数在”中原点的某邻域中有定义,在中连续可微,且 满足.若除原点外,?,均有矿矿,则称函数矿是 正定函数负定函数. 定义.七设函数矿在”中原点的某邻域中有定义,在帅连续可微,且 .若?均有矿?矿?,则称函数矿是半正定函数或常正函数 半负定函数或常负函数. 定义.【】设行维自治微分系统 . 妄叫 的解为。,:,?。丁,其中厂,,?,厂. 将矿,视为,的复合函数,关于求导得 。苏。 一彘.舐. 瓠 瓠 瓠 一??‘一...一 ’ 、 ::矿 . 女 式.称为函数矿?沿着系统.轨线的全导数. 定义.】设甩维自治微分系统 文、 . 其中?, ”是开的,:寸”连续可微,。?,。是系统.的平衡点. 硕二卜论文 具有功能反应捕食一被捕食食物链系统的一些研究 如果是‰的邻域, ,有函数,:专在上连续,在?。上可微,满足 ;矿,当?时, 矿罢矿呦?,当?‰时,其中是系统.的轨线, 若还满足矿,当?‰时. 若函数瞒足条件和,称为函数;若函数瞒足条件、、,则称为严 格函数. 引理.【判断若某连通区域内,.挈不变号,且在任意子区 %, 域中均不为零,则系统.在内无闭轨. 引理.‘甜肠判断若存在函数,少?,连续且存在连续偏导数, 使得在单连通区域内了亟挈不变号,则系统.在内无闭轨,称函数 ‖ ,为函数. 引理.【?定 如果极限集非空,有界,不包存在平衡点, 则该极限集是闭轨线. 引理. 为有界正不变集,有轨线进入,则含平衡点或极限环. 引理.‘有界区域内,半轨线极限集一定为下面三种类型中的一种:平 衡点,闭轨线,平衡点和。,寸一时趋向于平衡点的轨线. 引理.【平面自治系统内,任意一条闭轨线内至少包含该系统的一个奇点. 引理.‘玎掀伽环域定理假设由闭曲线厶、:三。 所构成环域,如果 自治系统.凡与。、相交的正半轨都穿过环域,内不包含奇点,则在中硕上论文 一类具有收获率的功能性反应自抑制两种群模型的定性分析 至少存在该系统的一闭轨线,而且必将 :包含在它的内部. 是从内出发的系 引理.【三日勋耽不变原理假设是有界闭集,,%,‰ 统.的解,若:专,存在连续的一阶偏导数,使 坐 ? . 又设 叫魏,一, 是最大不变集,则当?时, ,。,‰专.特别地,当时,则系 统.的平凡解渐近稳定. 引理.【砂印“胛稳定性定理设‰?,‰是系统.的平衡点.如果是‰的 ,有函数: 邻域, ,在上连续,在一‰上可微,满足 ;,当?时; 矿:导?,当?‰时,其中为系统.的轨线,则‰稳定, 如果函数矿还满足矿,当?‰时,贝. 。渐近稳定. .具有线性收获率的功能性反应自抑制两种群模型定性分析 ..模型的建立 文献【】讨论了食饵种群在线性密度下制约下,且考虑常数收获率的模型, 得出了一 些定性结论,本章内容在文献【】的基础上考虑密度制约的食饵种群、功能 性反应函数、 线性收获率,建立如下的捕食一被捕食模型:顶:论文 具有功能反应捕食一被捕食食物链系统的一些研究 臌一一等一‖. 咖 :一?了???其中,分别表示食饵、捕食者种群的密度;表示食饵者种群的内禀 增长率; 表示捕食者种群的死亡率;,反映了两种群受密度制约;一奴说明食饵种 ,, 群具有自抑制行为,;竺为类功能反应函数,其中口,; 十甜 ,分别表示对种群,种群的收获情况,且,.;收获情况与外在的因素 有关,比如技术水平的高低,时问的长短,设备是否先进. 由生态意义决定,在第一象限讨论,记 ,,,万,?,? ..模型的定性分析 对模型作变换,令,则模型化为 ?一,麟一锻,一砂, 。., 素 邮懈少】 警?一 其中胛一负不确定. 再令,歹仍用,记,歹,则模型化为 ,一一,珊一奴甜一少三, . 咖 一一】兰, 其中詈 一当玎时,模型的平衡点局部性态 由定义.知,系统.的垂直等倾线为或??? 锻, 后者有正根:一??巫/李,负根?:一竺?巫季并且有如下性一类具有收获率 的功能性反应自抑制两种群模型的定性分析 硕..论文 质: 当时, ;当时, ;且 一。, .? . . 进一步,’一一??, ”?尼 显然当??时,在,。上’,曲线是递减的. 系统.的水平等倾线少:或少:???.后者有根:??,并具有如下性质: 当时,少,当时,;且 一;当:时,:一??; 当时,,,:型亟掣,一:一丝堕型掣 。 。定理.系统.在瓦一定有平衡点,,。,;有正平衡点‰,。的充要条件 是: . 其中‰,。旦. 口 证明定理可由前面讨论所得的水平和垂直等倾线的相互位置关系证得,如下 图所 示 , ? ?一箐彳’ //夕。\?:。?一,珊『 当。:时,两等倾线的位置关系 员士论文 具有功能反应捕食一被捕食食物链系统的一些研究 刀 杪臼 ? \\/户箫节 忙一一顶,二 当一:时,两等倾线的位置关系 定理.平衡点,是系统.的鞍点;当:时,平衡点。,是鞍点;当 。时,平衡点,是稳定结点.一们,其特征方程有两个异号特 证明平衡点,,对应的线性近似系统: 一 征根?,旯一所以平衡点,是鞍点. 平衡点一,, , 出 一??】三尸, 衍 砂 一一】兰, 作变换?,歹仍用,记,歹得: 层卸蝎坼蝎,’州?一 怯小?,一俐 易得对应的线性近似系统为:, 』一奴? ,一少 其特征方程有两根一饿。,础一硕一:论文 一类具有收获率的功能性反应自抑制两种群模型的定性分析 显然,当时,允平衡点,是鞍点;当时,九平衡点,是 稳定结点. 二当门时模型.平衡点的全局稳定性分析 定理.系统.的一切解在瓦内正向有界. 证明:由于轴与轴是系统的轨线,所以当,时,对,, 均为正.先证正向有界.因为系统轨线与直线。相交时,均为自右向左穿过直 均有; 线,事实上,当:时,一.所以当时, 当。时, ,故。从而正向有界?同样,当轨线与直线 兰相 ?“ 孚 交时,均为自上向下穿过.同理可证,正向有界. 因此系统从内出发的轨线必在。。,。。,,所围的区域内, 其中。。,一少,老,故定理得证 根据定理.和定理.,易得到以下结论: 定理.如果五,,那么系统平衡点,,在内全局稳定. 生态意义是当满足上述条件时,捕食者种群将灭绝,被捕食者种群由于密度 制约, 将稳定于。的这个水平上. 定理.若时,系统在内不存在极限环. 证明:当五,时,系统在尺内无平衡点,故无极限环.当。:时,系统有唯 一正平衡点,,取函数,~,则有: :一一一?】 。‘ 苏 加 令?,显然 则当时,?一由“判别法系统在尺内不存在极限环. 是全局稳定的. 定理.当,时,系统的正平衡点 其中耶耶%岫。景 硕士论文 具订功能反应捕食一被捕食食物链系统的一些研究 三当船?时,模型.平衡点的定性分析 当胛?时,由于系统.中的水平等倾线:竺三掣,则系统在内没有 平衡点,那么也没有极限环. 定理.若刀?亦即?竺一时,则系统的平衡点,,是全局稳定的. 口 此种情况下的生态意义为:人们如果对捕食者种群的捕获率?竺一时,捕食者 口 就会灭绝,我们不想看到任何种群灭绝,所以要想持续收益,就必须改变对捕食者种群 的捕获率.我们研究有收获率的模型正是希望如此,可以通过人为调节,使得生态系统 能够持续发展.一类具有收获率的功能性反应白抑制三种群模型的定性分析 硕士论文 一类具有收获率的功能性反应自抑制三种群模型定性分析 .预备知识 定义.【设 李:彳 . .矩阵爿对应的特征多项式 为,维常系数线性系统, 、 ,×” 厂一彳‖口。一‖一?口允口。 如果口,,?,一,则称厂九为多项式. . 厂? 定义.‘设‰是行维系统戈厂 的平衡点,即。,则系统可以表示为 戈厂厂一。。?。。 。处的线性近似系统,称。为变分矩阵. 称文。一‰为系统.宅 定义.【设原点为线性系统.平衡点.若系数矩阵么的全部特征值都具有负 实部,则原点为汇.若彳的全部特征值都具有正实部,则原点为源.若彳的全 部特征 值都具有非零的实部,则原点为双曲型平衡点. . 定义.【考虑生态系统戈,,,?,。,,,?, 其中在::,.一,。。?,:?,?,%?上连续,充分光滑.如果系统.每个解 ??,??:,??。,?,?屯,.对于所有的??阳,以及任何 ?,瓦,这里【,瓦是?,的最大存在区间,那么我们称系统.是持久的. 若存在一个解?,,其初始值??群:,?,%,,?,, ‘ 且对某一个?,瓦,有?,,?,,,那么我们称系统.是非持久的. 定义.【对任意种群,假设时刻的种群数量为,如果,且 ,那么我们称种群是持续生存的;如果组成系统的每个种群都是持续生 存的,我们就称这个系统为持续生存的. 引理.【】判据多项式方程 。 ””? 硕士论文 具有功能反应捕食一被捕食食物链系统的一些研究 所有根有负实部的充要条件是 口 口 扣 卜 认砒 扛 女 ,,,?,门.当/胛时,令口缈炒缈炒; 扛...; 讥. 引理.‘考虑系统.,如果其变分矩阵的全部特征根均有负实部,即 ,,?,,则系统.的解渐近稳定.如果矩阵存在正的实部的特征根,则 方程的解不稳定. .一类具有收获率的功能性反应自抑制三种群模型定性分析 ..模型的建立 王育全,井竹君【研究了一类具有自抑制行为的食饵种群和两个捕食种群所构成的 食物链模型: 妄?,一%一面 鲁州一 。熹 鲁铋?熹, 系统研究了这一类食饵种群有自抑制行为的食物链模型的全局结构,讨论了平衡点 的存在性,局部稳定性,全局稳定性,以及系统持续生存的条件.本文借鉴此模型,在 原有模型的基础上,又考虑线性收获率,讨论了如下具有功能性反应捕食一被 捕食者模犁: 一类具有收获率的功能性反应自抑制三种群模型的定性分析 硕:卜论文 :缸:一上里一』旦一忽 ?’ 以 , , 去叫,鬈一篙吐少 瓦?毒考也 其中,,分别表示三种群的种群数量;为食饵种群,供食给和种群;种群仅以 为生,又供食给种群;种群仅捕食,种群,没有其他食物来源;一奴表示种群 具有自抑制行为;种群,对都满足舶,觇丑类功能性反应函数;种群对也满足 协,,馏口类功能性反应函数;、、分别表示对三种群具有线性收获率; 表示种群的内禀增长率,为满足现实意义,口。;。、:分别表示,,两种群的死 亡率;。表示,种群之间的相互作用系数;:表示,种群之间的相互作用系数;, 表 示少,种群之间的相互作用系数;,.,,。,:,红,:,均大于零. 根据系统的生态意义,我们在区域:,,?,?,?讨论种群模型,系统的 初始条件如下:,,. ..模型的定性分析 模型化简变形一下,即得 鲁叫”啊一腻制一恙一羔 , 讲,卷一恙, 妄叫一即卅寒啬】 一模型平衡点的存在性 显然,系统总存在平衡点,,、。,,, ‰满足一办,一蹦一觑 . 硕.卜沦文 具有功能反应捕食一被捕食食物链系统的一些研究 ‰表示的生态意义是环境对种群的最大容纳量. 即‰:???~粤, 在?,?平面及第一卦限内存在平衡点,分别记为 ,,、膏,,三、木,木,木. . 四。一也一恙一。 对于平衡点。,,,应满足方程 . 卅吐叫”寒一。 蝴腻耻型蔓产 二垒二堕二堕塑?型 根据生态意义, 歹 由.式成立,得到。 一。一向:?垒皇立三 由.式,得歹:???业 删并筹‰ 因此,有下面的引理 引理. 当。百‰‰时,平衡点巨冤,歹,存在, ” 且卉篆一办斋一‰ 类似地, . 四。一聊地一忐一。 对于平衡点:膏,,三,应满足方程 . 一一办一甲面。 二刍二堕二堕理?堕 由.式,得三 硕士论文 一类具有收获率的功能性反应自抑制三种群模型的定性分析 由.式成立,得到。 一一 , 由.式,得芽 得到 办 一 因此,有下面的引理 且 引理.当 。时, 平衡点:,,三存在, 一办 譬. 一办 对于正平衡 应满足方程 点,,,’,. 口一一腻一一 口 . 一?一 . 一一一,木 口一一腻木一一 ; ,木 主.式,得木 因.式成立,得到木。 : 一 一木 】术 口木 .式,得术 因.式成立,得到:.牙 , . 由.式,一一一 一 因.式成立,得到,一譬 颀二论文 具有功能反应捕食一被捕食食物链系统的一些研究 因此,当平衡点.,歹,、:,,存在,有下面的引理 引理. ” 。赤筹南砜?再而 一 办 ? 丽‰成立时,正平衡点,,存在,且 木. ?’?办 系统边界平衡点的性态 设,,表示模型在平衡点处系统对应的矩阵, ,, 聊 口 口其中聊?一一 口 口 朋 一?一办:一而一百研 ,卯一一?。。,。,。,,。,。,。,口三办?。三一办:一皇办, 允?, 九一?, 一 则据定义,,是双曲鞍点, 其生态意义是在,,附近,食饵增长而捕食者少,都减少. 令表示,,在,江,,不足处的比?砌玎矩阵定理.若 ,则。‰,,局部渐近稳 一口办’一 硕论文 一类具有收获率的功能性反应自抑制三种群模型的定性分析 定.若 ,则。‰,,是双曲鞍点. ?办’一 证明对于。‰,,,一一?。一办而一一 丑一一 九:一一办而 :一:一办。而 当 时, 通过简单的计算, 九。 ,执一 十门, ‰ 当 时,允 一办 时,。‰,,局部渐近稳定. 所以,当 一办’一 时,。‰,,是双曲鞍点.证毕. 当 一忍’一口 , , 歹 歹 对于,,歹,, 口 歹其中剃成焉 硕士论文 具有功能反应捕食一被捕食食物链系统的一些研究 一一?歹 又 .皇塑 一一 歹 贾 歹 特征根九,卯一一而另两个特征根:,兄,满足下列方程 九一九一 志 。 即一允 厂 其中融舻器歹 口更 厂一?尼口口一一,.口厶一】冤盔办 冤 歹口 口 一。种一,器,蔫 令厂一尼口口一一厂口办一 厂’一尼口口一一,口办一 ,. 通过计算即可得,当。? 时,魄,有厂 ? 所以,只存在一个正数“,使得,. 。,有厂 魄‰,有 , 定理.若 ,且 , ? 办 . 一类具有收获率的功能性反应自抑制三种群模型的定性分析 硕:论文 ,、/ 七墨河 / ? ,那么存在一个正数。,使得当 ?’ ? ’? “时,,,局部渐近稳定;时,,,不稳定. 证明若 。,模型存在平衡点。,,, ?办 对应的矩阵中, ,贝九. 另两个特征根允,如满足方程允一,九目, , ,我们有 由于? ? 尼一口口一尼???, , ? ,故厂一口以一 ? ? 所岫一。种聊器 ,绱 辜斋口】 七,口,一口口一办。一日。口一办。盟 由上面的结论知,若冤“。,有厂,所以么, 所以,九的实部. 若甜,有彳,所以九,允的实部九, 因此当“。时,,歹,局部渐近稳定;甜。时,,歹,不稳定.证毕. 硕士论文 具有功能反应捕食一被捕食食物链系统的一些研究 , 譬 口譬对于平衡点:譬,,三,% 三 三 口 其中肛舻一焉 蝣吐卷 一一 ?:三百磊膏 特征根一一办而一三 而另两个特征根:,,满足下列方程: 允一 ?:,恙‘器。 即旯一 其中,竹一府一/ 旦? 飞黑 盟蛹 厂膏一譬尼譬口口一力一口红一办 耻咐?羔,嵩 一:靴恤,器,器 石裔砌;冤砌:口;譬口口一办。】 七;?膏,一日口一 与平衡点。冤,,一样,我们有定理: 一类具有收获率的功能性反应白抑制三种群模型的定性分析 硕士论文定理. 若 ,且 一刀办 ? ., , 西丽再 , 么 ,那么存在一个正数。,使得 ? ?’ ? ? 当时,膏,,局部渐近稳定;时,,,不稳定. 下面讨论系统正平衡点的稳定性 聊 ,‘ 聊 对于系统正平衡点术,木,术,矩阵圪聊 ,,,.,................... 木 一腻木一奴木一 垒兰 其中 ? 木 口:: 木 木 一 , 一 朋 聊 ,木 口木 宰 .木 聊?,带寺四, 木 术 一一?术 : 木 木 ,垅,丽 木 术 一一?木 木木 一/ 聊 特征方程 一/ 川一/ 即卯口允允 其中一押 聊一聊一所聊一聊 一,”一 一珑 硕士论文 具有功能反应捕食一被捕食食物链系统的一些研究 定理.若系统正平衡点毛木,少木,木存在,朋口,,/,,分别表示平衡点 ,木,木,术对应的矩阵中的第行第/列的元素, 且, 聊 朋 ,, 聊 则当满足下列条件时: ; ; ; 一 平衡点,木,幸,木局部渐近稳定. 证明口九: 由于聊, 所以? . 由于, 聊一聊聊一一聊 聊 . 由于, 一所聊聊一聊聊聊朋一, 一 一 ; , 聊 由于一, ?一 因此,根据一协删,准则,平衡点,木,少木,木局部渐近稳定. 一类具有收获率的功能性反应白抑制三种群模型的定性分析 硕二:论文 三平衡点的全局稳定性 ? 我仃,定义,少,,言言? 其中,,, 引理.系统的任一从出发的解是最终一致有界的,且一定进入区域. 证明由于。‰。,系统有妄?口一办。一联一奴 这表明?。,‰.注意到对坛‰,都有查,是?。。?‰坐土塑土堕:虹一办。一 蹦一缸一 “ 。 ?一 办型 卅啬一尚,扣,面 业哕 ?一% .地 一 一 忍 一 / 、, ?一阿一觑一 ‰?一% 百 么%而 口 一厅一 办/ 、, , 、, ???? ?一% ?一铴 ??一上三:?。一上三因此, 型塑?坠生掣 ‘? ?尼 ??。,?,?,上三? 显然,卜舻, 是系统在上的一个正不变集. 颀二论文 具有功能反应捕食一被捕食食物链系统的一些研究 考虑子系统 去叫口一蹦珊一面呐州? . ?讲 而一办聃,, 稠? ‘而,最,鬲筹‰‰测张“ 的平衡点,。,歹在区域叫,卜?,,?上是全局渐近稳定的,其中冤,歹由系统 .平衡点。,歹,相同. 证明显然系统.有个平衡点,、。。‰,、。。,歹.我们不难证明 ,、。。七。,都是鞍点,且。。,歹是局部渐近稳定的. 取“肠函数,:业,则有 ?:二?勉?口口一向一,.卜划 % 。这表明系统.在刍上没有极限环.因此,,歹在区域尺弓缸,卜?,?上 是全局稳定的. 引理.表明系统是耗散的,对于,,?,我们知道 少,?丛擘鱼监: . 若满足下列条件: 口?口。; 引理.设。百编‰, 。。 。。。 ’ 。 一 ,其中日喊舢, ,一 ?吣一售,耥 、 ? ,?等署 , 措总籀 则 ,. ??? 证明取砂印“加函数矿,,:生,,是一个正常数坐:. 亟:; 鲤::互一妾 、 叫,卷嵩吐飞少而一而 ?瞰一:一办,一甲而?一一?一办??而一】 ?肌熊型型型止瓮掣必业巡业 ?矿一弦 .: 十口,工 由条件,选择参数,,使得,?堕 垡?垒?丝垡二垡?型二堑丝 办一一‘一一 这样,以?,且当且仅当时,华. 由砂印“玎。?定理,得到,.。?证毕? 引理.”一心&托设是:,?,?,?上一点,是一 个平衡点.如果?通过点的轨道,,的?极限集,那么或者 使得?\,一?一\,且 尸或者存在和一, 一?,其中一是的强稳定不稳定流形. 。,那么系统的平衡点 定理.如果 一办’一口 。‰,,在尺:上是全局渐近稳定的. 证明由定理.平衡点。‰,,是局部渐近稳定的. 硕士论文 具有功能反应捕食一被捕食食物链系统的一些研究 驭函数,,?? ?一, 庀 , 其中,厶是两个正的常数,且石 ???????????一,?.. . ? 万彘丽,分 ? 厶 当???,?时,因为,我们有????. ? 沿着系统的轨道,我们有一 去害垄 五七、去?一 一‰口一一蹦一一坐上塾羔 一一一 】一一一 ? ?一尼。一以一一蹦一奴 . 一? 】一一 一尼。一口一 一蹦一一 ? 办 ?一、 红】 , 一 ?一尼。一口一一麒一一 ?? ?一 一厶 。 一 瓮 ‰叫.由于 , ? 一 ,争印 一类具有收获率的功能性反应自抑制三种群模型的定性分析 硕士论文 所以乱,,?。 并且乱,,艄且仅孙‰删卢。 由引理.,系统的平衡点。‰,,在;上是全局渐近稳定的. 在这种条件下,模型的生态意义是第个和第个捕食种群都会灭绝,而食饵种 群 是幸存的. 定理.若下列条件满足: 鬲,蒜?者筹南‰, ‘ 。 裳黑”办, 歹 ,垡垫?丝,?盟二竺垡?型二垡丝 ’一’一 则系统的平衡点。更,歹,在:全局稳定. 证明由定理.知,平衡点。冤,歹,是局部渐近稳定的. 设尸表示系统通过点的轨道,,,的国极限集. 由引理.知, . ’ 由引理.知,平衡点,,、。,,关于刍都是双曲鞍点,。,歹,关于三 是全局稳定的. 所以。,歹,? 故平衡点,,歹,在:全局稳定.证毕. 在这种条件下,模型的生态意义是第个捕食种群会灭绝,而第个捕食种群和 食 饵种群都是幸存的. 定理?设。:‰七。,。:‰尼。硕士论文 具有功能反应捕食一被捕食食物链系统的一些研究 邪础;焉‰,呼/,掣, 哪疵;者%,譬/,并/, 如果系统边界平衡点?,歹,和,,满足条件五‰ ????,,那么系现楚恃续削. 譬??兰,那么系统是持续的. 。一。”’ ? 证明 :是一个正不变集,且系统从:出发的解是最终一致有界的.微;区域: 的边界上的紧不变集只有个边界平衡点,,、‰,,,。,歹,、,,三. 由定理的条件,我们知道,这个边界平衡点都是不稳定的. 设? :,我们只要证明区域边界掀:上没有点属于通过点的轨道 ,少,,的?极限集. 假设,,?,因为,,是双曲的,所以,,?尸.由引理.知道,存 在一点?\,使得?尸.容易证明形\?,所以 仨:.这与:是一个正不变集相矛盾.所以,,诺尸. 类似,我们可以证明毛‰,,萑尸. 再假设巨,歹,?尸,则存在一点。?。\。,使得?.容易证明 ?,由引理.,平衡点。,歹,关于区域。上是全局渐近稳定的. 这意味着通过点的轨道的闭包或者是包含,,或磊‰,,或者是无界的,但这 种情况是不可能的.所以巨,歹,诺. 类似,我们可以证明,,芗萑. 最后,证明: ?.设?且?尸,则通过点的轨道的闭包或者是包