经久不衰的高考热点——“弹簧”问题

经久不衰的高考热点 ——有关“弹簧”的问题 浙江省金华市第一中学321015  傅雪平  （Email:zjlyfxp@163.com    QQ：837245871） 弹簧是中学物理中常见的模型．它总是与其他物体直接或间接地联系在一起，通过弹簧的伸缩形变，使与之相关联的物体发生力、运动状态、动量和能量等方面的改变，因此这类问题具有很强的隐蔽性和综合性特征.为了使同学们对此类问题有进一步了解和深入，提高求解这类问题的能力，现将常考问题归纳如下. 一、弹簧的示数问题 例1如图1所示，四个完全相同的弹簧都处于水平位置，它们的右端受到大小皆为F的拉力作用，而左端的情况各不相同：①中弹簧的左端固定在墙上，②中弹簧的左端受大小也为F的拉力作用，③中弹簧的左端拴一小物块，物块在光滑的桌面上滑动，④中弹簧的左端拴一小物块，物块在有摩擦的桌面上滑动.若认为弹簧的质量都为零，以l1、l2、l3、l4依次示四个弹簧的伸长量，则有 A．l2＞l1      B．l4＞l3      C．l1＞l3      D．l2＝l4 解析  由于弹簧质量不计，四种情况下弹簧受到的外力相同，根据胡克定律可得四种情况下弹簧的伸长量相等，即选项D正确. 点评 解决此类问题的关键是要明确：不论轻弹簧处于什么运动状态，弹簧两端的弹力一定是大小相等，方向相反，只要求出弹簧弹力的大小，根据F=kx就可求得弹簧的形变量x，反之也一样. 二、弹簧的平衡问题 例2 如图2所示,a、b、c为三个物块,M、N为两个轻质弹簧,R为跨过光滑定滑轮的轻绳,它们均处于平衡状态.则:（ ） A.有可能N处于拉伸状态而M处于压缩状态 B.有可能N处于压缩状态而M处于拉伸状态 C.有可能N处于不伸不缩状态而M处于拉伸状态 D.有可能N处于拉伸状态而M处于不伸不缩状态 解析 研究a、N、c系统由于处于平衡状态,N可能处于拉伸状态,而M可能处于不伸不缩状态或压缩状态;研究a、M、b系统由于处于平衡状态,M可能处于压缩状态(或处于不伸不缩状态),而N可能处于不伸不缩状态或拉伸状态.综合分析,本题只有A、D正确. 点评 当弹簧所处的状态没有明确给出时,必须考虑到弹簧既可以处于拉伸状态,也可以处于压缩状态,必须全面分析各种可能性,以防以偏概全. 三、弹簧的瞬时问题 例3如图3，轻弹簧和一根细线共同拉住一质量为m的物体，平衡时细线水平，弹簧与竖直夹角为θ，若突然剪断细线，刚刚剪断细线的瞬间，物体的加速度多大? 解析 弹簧剪断前分析受力如图4，由几何关系可知： T=mg／cosθ，T′=mgtanθ 细线剪断后由于弹簧的弹力及重力均不变，故物体的合力水平向右，与T′等大而反向，∑F=mgtanθ，故加速度a=gtanθ，水平向右. 点评 解答此类问题要注意两点：一要抓住轻弹簧的弹力不能发生突变.二是要分步解决.先分析原状态受力情况，再分析变化瞬间，哪些力不变，哪些力突变甚至消失，最后，用牛顿第二定律列方程求解. 四、弹簧的动态问题 例4 如图5所示，一轻质弹簧一端系在墙上的O点，自由伸长到B点．今用一小物体m把弹簧压缩到A点，然后释放，小物体能运动到C点静止，物体与水平地面间的动摩擦因数恒定，试判断下列说法正确的是    (  ) A.物体从A到B速度越来越大，从B到C速度越来越小 B.物体从A到B速度越来越小，从B到C加速度不变 C.物体从A到B先加速后减速，从B一直减速运动 D.物体在B点受到的合外力为零 解析 物体在A点时，受弹簧的弹力F和摩擦力 ，且 ，合力向右，加速度 ，物体向右加速运动，随着物体向右运动，弹力F减小，加速度a减小.所以物体做加速度减小的加速运动，当a=0时，即 ，物体的速度最大，由于弹簧弹力 ，所以此时物体在AB之间某一点.过了这一点后， ，物体加速度 ，随着弹力F继续减小，加速度a增大，物体做加速度增大的减速运动.过了B点后，弹力反向，物体的加速度 ，随着物体向右运动，弹簧弹力F增大，加速度a增大，物体做加速度增大的减速运动.所以正确答案为C. 点评 解答此类问题的关键是分析物体的加速度、速度的变化：加速度由合外力决定，而速度的变化取决于速度与加速度的方向关系：若同向则加速，反之则减速.分析时要注意弹簧的几个特殊状态（原长、平衡位置、最大最短长度）. 五、弹簧的临界问题 例5如图6所示，轻弹簧上端固定，下端连接一质量为 的重物，先由托盘托住 ，使弹簧比自然长度缩短L，然后由静止开始以加速度 匀加速向下运动.已知 ，弹簧劲度系数为 ，求经过多少时间托盘M将与 分开？ 解析 当托盘与重物分离的瞬间，托盘与重物虽接触但无相互作用力，托盘与重物的加速度均为 ，此时重物只受到重力和弹簧的作用力的作用下，由于 ，故此时弹簧必为伸长状态，    根据牛顿第二定律得： ①        由运动学公式有：                 ②                联立①②式有：             ③        解得： 点评 当弹簧的长度发生改变导致弹力发生变化的过程中，往往会出现临界问题：如“两物体分离”、“离开地面”、“恰好”、“刚好”……,找出隐含条件是求解的关键.本题的隐含条件是：分离时M、m的加速度相同，相互作用力为零。同时还要从宏观上把握其运动过程，分析出分离瞬间弹簧的状态（伸长、原长还是缩短）. 六、弹簧的势能问题 例6 如图7，质量为m1的物体A经一轻质弹簧与下方地面上的质量为m2的物体B相连，弹簧的劲度系数为k，A、B都处于静止状态.一条不可伸长的轻绳绕过轻滑轮，一端连物体A，另一端连一轻挂钩.开始时各段绳都处于伸直状态，A上方的一段绳沿竖直方向.现在挂钩上升一质量为m3的物体C并从静止状态释放，已知它恰好能使B离开地面但不继续上升.若将C换成另一个质量为 的物体D，仍从上述初始位置由静止状态释放，则这次B刚离地时D的速度的大小是多少？已知重力加速度为g. 解析 开始时，A、B静止，设弹簧压缩量为x1，对A受力分析有      kx1=m1g                ① 挂C并释放后，C向下运动，A向上运动，设B刚要离地时弹簧伸长量为x2，有 kx2=m2g                ② B不再上升，表示此时A和C的速度为零，C已降到其最低点. 将A、B、C及弹簧看作系统，由机械能守恒，与初始状态相比，弹簧弹性势能的增加量为 △E=m3g(x1+x2)－m1g(x1+x2)  ③ C换成D后，当B刚离地时弹簧势能的增量与前一次相同，将A、B、D及弹簧看作系统，由能量关系得 ④ 由③④式得                        ⑤ 由①②⑤式得 ⑥ 点评 弹簧的弹性势能公式Ep= kx2，高考不作定量要求，只作定性讨论.因此，在求弹性势能的时，一般从能量的转化与守恒的角度来考虑. 七、弹簧的对称问题 例7 如图8所示，轻弹簧的一端固定在地面上，另一端与木块B相连，木块A放在木块B上，两木块质量均为m，在木块A上施有竖直向下的力F，整个装置处于静止状态． （1）突然将力F撤去，若运动中A、B不分离，则A、B共同运动到最高点时，B对A的弹力有多大？ （2）要使A、B不分离，力F应满足什么条件？ 解析 力F撤去后，系统作简谐运动，该运动具有明显的对称性， （1）最高点与最低点有相同大小的回复力，只有方向相反，这里回复力是合外力．在最低点，即原来平衡的系统在撤去力F的瞬间，受到的合外力应为F/2，方向竖直向上；当到达最高点时，A受到的合外力也为F/2，但方向向下，考虑到重力的存在，所以B对A的弹力为 ． （2）力F越大越容易分离，讨论临界情况，也利用最高点与最低点回复力的对称性．最高点时，A、B间虽接触但无弹力，A只受重力，故此时恢复力向下，大小位mg．那么，在最低点时，即刚撤去力F时，A受的回复力也应等于mg，但根据前一小题的分析，此时回复力为F/2，这就是说F/2=mg．则F=2mg．因此，使A、B不分离的条件是F≤2mg． 点评 弹簧一端固定，另一端连接一物体，形成弹簧振子，振子在无阻力作用下做简谐运动，运动过程具有对称的特点，若能利用对称性来求解，往往会简单的多． 综上所述，解决弹簧类问题的关键在于能对与弹簧相关联的系统进行正确的力和运动的关系分析、功能关系的分析，并抓住弹簧的基本特征，正确地运用物理规律． 链接练习 1．如图9所示,两木块的质量分别为m1和m2,两轻质弹簧的劲度系数分别为k1和k2,上面木块压在上面的弹簧上（但不拴接）,整个系统处于平衡状态.现缓慢向上提上面的木块,直到它刚离开上面弹簧.在这过程中下面木块移动的距离为（ ） A.   B.   C.   D. 2. 如图10所示，A、B两物体的质量分别为 和2 中间用轻质弹簧相连，A、B两物体与水平面间的动摩擦因数均为 ，在水平推力F作用下，A、B两物体一起以加速度 向右做匀加速直线运动.当突然撤去推力F的瞬间，A、B两物体的加速度大小分别为（  ） A． ；                   B. ； C． ；           D. ； 3.如图11所示,一只升降机在箱底装有若干个弹簧,设在某次事故中,升降机吊索在空中断裂,忽略摩擦力,则升降机在从弹簧下端触地后直到最低点的一段运动过程中（ ） A .升降机的速度不断减小  B. 升降机的加速度不断变大 C.先是弹力做的负功小于重力做的正功,然后是弹力做的负功大于重力做的正功 D.到最低点时,升降机加速度的值一定大于重力加速度的值. 4．如图12所示，在倾角为 的光滑斜面上有两个用轻质弹簧相连接的物块A、B，它们的质量分别为mA、mB，弹簧的劲度系数为k,C为一固定挡板.系统处一静止状态，现开始用一恒力F沿斜面方向拉物块A使之向上运动，求物块B刚要离开C时物块A的加速度a和从开始到此时物块A的位移d，重力加速度为g. 5．如图13所示，质量均为 的两物体A、B分别与轻质弹簧的两端相连接，将它们静止放在地面上.一质量也为 的小物体C从距A物体 高处由静止开始下落.C与A相碰后立即粘在一起向下运动，以后不再分开.当A与C运动到最高点时，物体B对地面刚好无压力.不计空气阻力.弹簧始终处于弹性限度内.已知重力加速度为 .求 （1）A与C一起开始向下运动时的速度大小； （2）A与C运动到最高点时的加速度大小； （3）弹簧的劲度系数.（提示：弹簧的弹性势能只由弹簧劲度系数和形变量大小决定.即压缩 与拉伸 时，弹簧的弹性势能相同） 链接练习参考答案 1．C；2． C；3．C、D； 4．解析 令x1表示未加F时弹簧的压缩量，由胡克定律和牛顿定律可知 ① 令x2表示B刚要离开C时弹簧的伸长量， a表示此时A的加速度，由胡克定律和牛顿定律可知： kx2=mBgsinθ  ② F－mAgsinθ－kx2=mAa  ③ 由②③式可得   ④ 由题意 d=x1+x2    ⑤ 由①②⑤式可得   ⑥ 5．解析 （1）设小物体C静止开始运动到A点时速度为 ， 由机械能守恒定律    设C与A碰撞粘在一起时速度为     由动量守恒定理      求出         （2）当A与C运动到最高点时，回复力最大，加速度最大.A、C受力图，B受力图如右图 B受力平衡有    对A、C应用牛顿第二定律   求出    （3）设弹簧的劲度系数为 开始时A处于平衡状态，设弹簧的压缩形变量为 以A有      当A与C运动到最高时，设弹簧的拉伸形变量为 对B有      由以上两式得  因此，在这两个位置时弹簧的性势能相等：           对A、C，从原平衡位置到最高点，根据机械能守恒定律 解得