《基本概念与运算法则小学数学教学中的核心问题》

《基本概念与运算法则数学教学中的核心问题》 《基本概念与运算法则——小学数学教学中的核心问题》的学习笔记 放假前，在网上挑选了几本暑假期间要读的书，其中就有这本 史宁中教授主编的《基本概念与运算法则——小学数学教学中的核心问题》一书，每读一页都有很多收获，结合《课标》和另外一本关于案例式解读《课标》的书，使得我对“四基”、“四能”、“十大核心概念”等有了更深刻、更具体的认识。书读过一遍后，感觉还有必要再读一遍并做好笔记，于是就有了下面的摘要。 史宁中教授的思考:(1)课程应当规定哪些教学内容，为什么要规定这些内容，这些内容的教育价值是什么,(2)数学的本质是什么，应该如何在教学中体现这些本质,(3)思考数学教育的本质，为了学生一生的发展，在义务教育阶段应当实施一种什么样的数学教育,(4)培养创新型人才的关键是什么，应当通过什么样的教学活动进行培养, 基本思想和基本活动经验是一种隐性的东西，恰恰是这种隐性的东西体现了数学素养。 判定数学基本思想的准则:(1)数学的产生和发展所必须依赖的那些思想;(2)学习过数学的人和没有学习过数学的人的思维差异。 数学基本思想:抽象、推理、模型。 基础知识主要指概念和法则的记忆，基本技能主要是计算和的能力。 对教师的更高要求:除了“双基”之外，(1)还要求教师能够把握教学内容的数学实质，并且能够设计出符合学生认知规律的教学过程让学生感悟这些实质;(2)引发学生思考问题，并且帮助学生养成良好的独立思考的习惯;(3)引导学生能够正确的思维与实践，并且帮助学生积累思维的和实践的经验。 数是对数量的抽象，因此在认识数之前，首先要认识数量。 数学的本质:在认识数量的同时认识数量之间的关系，在认识数的同时认识数之间的关系。 分数:虽然可以把分数看作除法运算，但分数更重要的还是数，分数本身是数而不是运算，人们用这种数表示自然数之间的两种重要关系:一种是整体与等分的关系，一种是整数的比例关系。 数量是对现实生活中事物量的抽象。例如:一粒米、两条鱼、三只鸡、四个蛋等。 数量关系的本质是多与少。 数的关系的本质是大与小。 认识自然数的两种方法: (1)基于对应的方法。 首先利用图形对应表示事物数量的多少; 然后再对图形的多少进行命名; 最后把命名了的东西符号化。 模式:能够认识或者解决一类数学问题的方法称为模式。 形式上，自然数去掉了数量后面的后缀名词; 实质上，自然数去掉了数量所依赖的实际背景。 数学不是研究某一个有具体背景的东西，数学研究的是一般的规律性的东西，反过来，人们又可以把一般性的结果应用于某一个具体的事物，这就体现了数学的价值。 (2)基于定义的方法。 后继。(书中第6页) 在现实世界中，抽象了的数是不存在的，存在的只是数所对应的数量。(也称作抽象的存在，见书中第7页) 表示自然数的关键是十个符号和数位。 分类的核心是建构一个标准。 最早提到负数并给出正负数加减运算法则的是中国汉朝的数学著作《九章算术》。 小数:人们对小数的认识要比分数的认识晚得多，直到18世纪人们才建立起稳定的十进位小数表达形式，这比微积分的出现还要晚100多年。 小数产生的原因:1、现实世界中数量表达的需要，比如，6元7角5分就可以表示6.75元;2、为了数学本身的需要，主要是为了表示无理数，从而进行无理数的运算。(书中第16页) 十大核心概念:可以认为这些核心概念是认识一类数学问题的模式，也就是说，可以用这些核心概念指导对一类数学问题的理解。 数感:主要是指关于数与数量、数量关系、运算结果估计等方面的感悟。建立数感有助 于学生理解现实生活中数的意义，理解或表达具体情境中的数量关系。抽象的核心是舍去现实背景，联系的核心是回归现实背景。(书中第18页) 精算在本质上是对于数的运算，主要激活脑左额叶下部，与大脑的语言区域有明显的重叠，有利于培养学生的抽象能力;估算的本质上是对于数量的运算，主要激活脑双侧顶叶下部，与大脑运动知觉区联系密切，有利于培养学生的直观能力。 估算不是近似计算，更不是精算以后的四舍五入;估算也不是估计，因为估算也是需要算的。 首先需要在计算之前针对实际背景选择合理的量纲; 其次得到上界或者下界。 “=”的本质含义:符号两边的量相等。 数学研究的不是数学概念本身，而是数学概念之间的关系。 自然数集合上的乘法是加法的简便运算;整数集合上的乘法不是加法的简便计算。 算理理解为运算的本质，即运算与算理的等价。 所有混合运算都是在讲述两个或两个以上的故事。用括号表示大故事所包含的小故事，用加法表示并列的故事。 符号意识:符号意识包括两个方面(1)概念的符号(2)关系的符号。 能够理解并且运用符号表示数、数量关系和变化规律;知道使用符号可以进行运算和推理，得到的结论具有一般性。建立符号意识有助于学生理解符号的使用是数学表达 和进行数学思考的重要形式。 方程的本质是描述现实世界中的等量关系。方程描述的是现实世界中与数量有关的两个故事，其中用字母表示未知的量;这两个故事有一个共同点，在这个共同点上两个故事的数量相等。(列方程的基本原则) 技能表现于一般性，技巧表现于特殊性。一题一解的教学方法教的是技巧而不是技能。 基本活动经验:包括思维的经验和实践的经验。 解方程的本质:字母可以参与四则运算。 解方程的过程:把字母移到方程的左边，把数字移到方程的右边，然后进行四则运算。 模式:模式关心的是数学内部，是解决一类数学问题的方法。 模型:模型关心的是数学外部，是解决一类现实问题的方法。《课标》中所说的模型，强调模型的现实性，是用数学的语言讲述现实世界中的故事;强调在建立模型的过程中，让学生感悟如何用数学的语言和方法描述一类现实生活中的问题。 是学生体会和理解数学与外部世界联系的基本途径。建立和求解模型的过程包括:从现实生活或具体情境中抽象出数学问题，用数学符号建立方程、不等式、函数等表示 数学问题中的数量关系和变化规律，求出结果并讨论结果的意义。 (1)总量模型(2)路程模型(3)植树模型(4)工程模型 (见书中第42页) 探索模型的过程是帮助学生积累数学活动经验的有效方法。 发现问题的前提是勤于思考、敢于质疑，因此与培养学生的创新意识关系密切; 提出问题则要求能用数学的语言阐明问题，因此与培养学生的创新能力关系密切。提出问题分为两个层次:一个层次是用语言表述，另一个层次是用符号表达。 空间观念:是对空间中物体的位置以及位置之间关系的感性认识。 主要是指根据物体特征抽象出几何图形，根据几何图形想象出所描述的实际物体;想象 出物体的方位和互相之间的位置关系;描述图形的运动和变化;依据语言的描述画出图形。 空间观念的本质是空间想象能力。这个想象力既包括从现实物体到平面图形的抽象，也包括从平面图形到现实世界的想象。 几何直观:是指能够利用图形描述和分析问题，是指借助图形对事物的直接判断。 借助几何直观可以把复杂的数学问题变得简明、形象，有助于探索解决问题的策略，预测结果。几何直观可以帮助学生直观地理解数学，在整个数学学习过程中都发挥着重要的作 用。 几何直观这个核心概念不局限于“图形与几何”的内容。 直观:是对事物的直接判断，是经验层面的，是不经过逻辑分析的。 直观能力的养成依赖本人参与其中的思维活动或者实践活动，是一种经验的积累，而不是依靠他人的传授。 几何学是研究如何构建空间度量方法的学科。包括:欧几里得几何、希尔伯特几何、黎曼几何等。(书中第54页) 点、线、面、体、角是从立体图形中抽象出来的概念。 角:欧几里得定义角为相交直线的倾斜度。 认识图形不仅仅是为了让学生知道哪一种图形叫什么名字，学会区别图形，更重要的是让学生学会对图形分类。在分类的过程中可以让学生感悟如何合理地制定分类标准，学会如何遵循标准合理地进行分类。分类的过程还能培养学生的抽象能力。(书中第57页) 动手操作只是培养学生的直观能力，只有通过叙述才能培养学生的思考能力。 长度:是对一维空间图形的度量; 面积:是对二维空间图形的度量; 体积:是对三维空间图形的度量。 度量的基础:两点间的直线距离。 平移、旋转、轴对称是小学数学“图形与几何”的内容更中最为生动的部分，是在“图形的运动”这个标题下给出的。既然是运动，就不仅要知道运动的结果，还需要想象运动的过程。这类运动有一个共同的特点，就是运动之后保持任意两点间直线距离不变。 平移:参照物是一条射线。称图形上的所有点与射线的距离保持不变，沿射线的方向移动相同的距离的运动为平移。 旋转:参照物是一条射线。称图形上的所有点到射线原点距离保持不变，相对射线移动了相同的角度的运动为旋转。 轴对称:参照物是一条直线。称图形翻转到直线的另一侧，对应点到直线距离相等、对应点连线与直线垂直的运动为轴对称。 数据分析大体上分为两种情况: 一种情况不考虑数据的随机性，称为描述统计——针对调查了的数据本身进行表述;(书中第65页) 一种考虑数据的随机性，称为推断统计——推断调查了数据以外的信息。 推断统计的核心就是通过经验过的事物推断未曾经验的事物，或者说，是通过样本推断总体。 概率:是一个非负的、不大于1的数。 统计学研究的基础是数据，是通过对数据的分析得到产生数据背景的信息。 数据分析观念:了解在现实生活中有许多问题应当先做调查研究，收集数据，通过分析作出判断，体会数据中蕴含着信息;了解对于同样的数据，可以用多种分析的方法，需要根据问题的背景选择合适的方法;通过数据分析体验随机性，一方面对于同样的事情每次收集 到的数据可能不同，另一方面只要有足够的数据就可能从中发现规律。 统计图只有“好坏”之分而无“对错”之分。 随机性与不确定性有所区别。(书中第69页) 平均数:书中第70页。 古典概型:事件发生的可能性结果是有限的，发生每种结果可能性的大小是一样的。