[DOC] 平方根序列的几个渐进公式
平方根序列的几个渐进公式
第25卷第2期
2006年6月
延安大学(自然科学版)
JournalofYananUniversity(NaturalScienceEdition)
Vo1.25
June
NO.2
2006
平方根序列的几个渐进公式
马爱梅
(延安职业技术学院,陕西延安716000)
摘要:利用解析的方法,研究了数论专家FSmarandache在其{0nlyProblemsNotSolutlons}--
中提出的第8o个问题,得到了平方根序列a()及其推广形式的一些有趣的渐进公式一
关键词:数论函数;均值公式;渐进公式
中图分类号:0154文献标识码:A文章编号:1004—602X(2006)02—0010—02
1993年,数论专家F.Smarandache在文献Ef]
中提出了1OO多个数论中尚未解决的问题,引起了
许多学者的极大研究兴趣.其中,第8O个问题是:
平方根序列:0,1,1,1,2,2,2,2,2,3,3,3,3,3,
3,3,4,4,4,4,4,4,4,4,4,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,
6,6,6,6,6,6,6,6,6,6,6,6,6,7,7,7,7,7,7,7,7,7,
7,7,7,7,7,7,8.8,…
F.Smarandache教授要求我们研究这个序列的
性质.我们把这个序列记作a(),它不难表示为
a(,z)一[],这里]是不超过z的最大整数.参
考文献E2]研究了平方根序列的几个均值公式,我们
这里给出了4个新的均值公式.
1的均值公式
定理1设是正整数,a()一[],则
一i1+丢l.gz+c+D(1),/--2-1n()[,一2,.u
证明因为对任意正数z,一定存在正整数?,
使得?z<(?+1),于是我们有
j一
急n()[]
萎+.至..+...zz[]’z.z[]
+?+o(1)
N2<(?+1)LVzj
一3’1+5?寺+…+((?+1)一N)?寺0』’
+O(1)
=
?(2j+1)-『1+o(1)
iNj
—
E2+?专+o(1)i|Ni|NJ
一
2N+logN+C+O(1)
一2z专+-~-logx+C+o(1)
这里C是Euler常数.
2(n(咒)){的均值公式
定理2设是正整数,n():[],则
{一([]号一十2+
H月Vu
o(z{)
证明因为对任意正数z,一定存在正整数?,
使得?z<(?+1),于是我们有
?(n())号一?([,/-7-1)}”H
=3?1+5?21+…+((?+1)一N2).?丢
+o(N{)
=
?(2+1)j-~+o(?{)
=
?2+?1+o(?丢)
j?NJ玉N
=
4
』,,i
5+了2互3+o(N号)
收稿日期:2006—02—28
作者简介:马爱梅(1967一),女,陕西绥德县人,延安职业技术学院讲师
+
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1—2
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I1
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?一
第2期马爱梅:平方根序列的几个渐进公式ll
一z{+z詈+0(z{)了z4十百z4十u-z4,
3推广的1和(口(咒))的均值公式
定理3设是正整数,n()一E,d-],则
一
1
1=++扣z
+C+0(1)
证明
1
(n()
?13:~i<23
?3f(?+1)3
=
?n
Ei~-]
1
[{]
+
Z3<
?
i~33Lz3J
+…+
南+0?
=7?1+19?1+…+((?+1).一?.)?
1
?+O(1)
一
?((N+1)一N._『1+o(1)
j<N
=
?(3+3j+1_『1+0(1)
j?
=3?+?3+??+0(1)i?Ni|Ni|NJ
=N(N+1)+3N+l.gN+c+0(1)
一
要z{(z{+1)+3x{+丢l.gz+c+0(1)
一
.主-z号+号z{+号l.gz+c+0(1)
这C是Euler常数.
定理4设是正整数,n()一[寺],则
?(n())吉=?([号])告一导z吾+0(?詈)
证明因为对任意正数z,一定存在正整数?,
使得N.z<(N+1).,于是有
?(n())吉一?([i1.J)1
一
?([却){+?([i1j)i1+…
13~i<2323K33
+?(D.了1J)i1+o(N告)
N3<(?+l】3
—7.1+19.2吾+…+((?+1)3一N3).
N+0(N{)
一
?((?+1).一?.)吉+0(?吾)
J??
=
?(3z+3+1)号+0(?{)
:?
一
3?+3?号+?+o(N专)
J?Ni?Ni?N
一
6
7
N~+0(??)
一z舌+0(?})一了z十u
参考文献
[1IF.Smarandache.Onlyproblemsnotsolutions.Chicago[M].XiquanPublishingHouse,1993,74.
[2]HeXiaolin.GuoJinbao,Onthe80--thproblemofF.Smarandache(I)[J].Smarandachenotionsjournal,2004,14:70
[SIT.M.Aposto1.IntroductiontOanalyticnumbertheory[M].NewYork:Springre-Verlag,1976.
[责任编辑贺小林]
SquareRootSequenceandItsMeanValueFormula
MAAi—mei
(YananFinanceandEconomicsSchool,Yanan716000)
Abstact:Accordingtoonesequenceinthe80thproblem,whichwaspresentedbynumbertheoreticexpert
F.Smarandacheinhisonlyprcblemnotsolutions,thesequenceisdenotedbya().UsingtheEulersum—
marion,Abelequationformulaandotherexistedresultsaboutnumber—theo
reticfunctionaswellasthe
ideaofsection,theasymptoticformulaOS?n()anditsgeneralizationareobtai
ned,thenaseriesofregu—
larresultsisobtained.
Keywords:squareroot;meanvalue;asymptoticformula.
?一?