【word】 浅谈排序不等式的应用

【word】 浅谈排序不等式的应用 浅谈排序不等式的应用 高中数学教与学2011釜 浅谈排序不等式的应用 王勇李燃 (湖北省襄阳市第一中学,441000) 设al?a2?…?0,bl?b2?…?b 为两组实数,C,C,…,c是b.,b,…,b的任 - ~tI-4?!,贝qab+a2b一.+…+ab.(反序和) ?alc】+a2c2+…+anC(乱序和)?alb1+ a2b+…+anb(顺序和),当且仅当a=a= …=a或b:b=…:b时,反序和等于 顺序和. 以j-不等式就是《不等式选讲》选修中所 介绍的排序不等式(又称排序原理),其应用 }广泛灵活,掌握它,对证明不等式,求最 值,比较大小,解应用题等都是大有裨益的. 应用排序不等式的关键是构造有大小顺 序的个数组的反序和,乱序和,顺序和,这 就要根据题日的特点灵活处理.下面分类例 析,旨在探索题型规律,揭示解题方法. 一 ,用于证明不等式 例1已知,b,C均为正数,且a?b?c. 删j:鑫+a+斋a?+†o+†c.DCCD” 分析题目已经明确了o,b,c的大小关 系,故可以直接构造两个数组,利用排序不等 式证明. 证明?.?a?b?C>0, . . .a 5?b?C5 ,? 1 ?一>0, 1111 . „ .?I_?,____?一, ac0aOCC 111 ? „ . ?一 ca ? a,DCD 11】 . „ . ?丁?? ccaaD 由排序不等式中顺序和?乱序和,得 a5br5bc5a5 U23?i+一a3b3 :++.?_『十_了+,3? . 18. 又...a2?6?C2,—了1? I_ 1 ? l , 由排序不等式:乱序和?反序和,得 6cn0r上6 了 C +II_?_丁a__o+_『c00 :+?+.? 由??两式,得 n65111 , b3c3+?一 a +? 评注应用排序不等式解题,首先要把 两个数组的大小关系明确下来,分清楚顺序 和,乱序和及反序和.由于乱序和是不确定 的,根据需要写出其中的一个即可. 例2设al,o2,…,a为1,2,…,n的一个 排列,求证: ++…+?一 at ++…+.+了一一(Z2a 一 3 一 分析由待证不等式町看出一列数为 .,n,…,.;另一列数为a2, 1 , … , 1 ,设出 大小关系,用排序不等式证明. 证明设b1,b2,…,b一l是al,a2,…a—l 的一个排列,且bl<b2<…<b,c1,c2,…, C为a2,a一,a的一个排列,F1?cl<C2< … 一则…>. 由排序不等式:乱序和?反序和,得 ++…+ 02a3an ?+一.+.? C1C2cn— l „ . „ b1?1,b2?2,…,b?n一1,且c1? 2,.2?3,…,CI?n, bIb2 ++ C1C2 bl ???J_—— Cn一 1 第JJ朝 ? 1 ++...+.? 由??两式,得 ++…+? 1 + 2 +…+, u2U3u厶jlL 即.++._.+?+am2.+. 上jfLtl2LL3u 评注排序不等式实质上包含三个不等 式,即顺序和?乱序和;顺序和?反序和;乱 序和?反序和,解题时应根据题目中的形式 灵活地选择应用. 例3设>0,求证: 1+++…+”?(2n+1). 分析本题若用排序不等式证明,就需 要确定1,,,…,之间的大小关系,即明确 与1的大小关系.而条件中只有>0,因而 需要进行分类讨论. 证明(1)当?1时, 1??X2?…?. 由排序不等式:顺序和?反序和,得 1.1+.+.+…+? ?1?+?一+…+-.?+?1. 且U1+++…+”?(T/,+1).? 又因为,,…,,1为序列1,,,…, 的一个排列,于是再次由排序不等式:乱序 和?反序和,得 1.+.+…+n-I.+?1 ?1?+?一?+…+_.?+?1. 即+.+…+32,_.+?(n+1).? 将??相加,得 1+++…+?(2n+1).? (2)当0<<1时, 1>>>…>. ?,?仍成立,于是?也成立. 综合(1),(2)可知,原不等式成立. 评注对含有参数的数组,若不能确定 数组中数的大小关系,就得进行分类讨论.分 类讨论的目的在于明确数组中数的大小顺 序,一定要按此来选择分类的标准. 二,用于求最值 例4已知两组数口l?02?.3??4? .5,6l?b2?63?b4?65,其中nl=2,r上2= 高中数学教与学 7,0,3=8,0,4=9,0,5=12,b1:3,b2:4,b3= 6,6=10,6=11,将6(i=1,2,3,4,5)重新 排列记为cl,c2,c3,c4,C5.计算alc1+.2c2+… +.C的最大值和最小值. 解根据排序:等式的性质”顺序和最 大,反序和最小”,可知所求最大值为 .161+口2b2+a3b3+口4b4+a565 =2X3+7X4+8X6+9×10+12×1l =304. 所求最小值为 .l65264.卜.363+n462+n56|-} =2Xll+1×lU+8×6+9×4+12Xlj :212. 评注本题考查排序不等式的性质”顺 序和最大,反序和最小”的简单直接应用. 例5设?,b,c为任意正数,求__+ 0+C +—的最小值.C+r上n十D 分析题目中没有给出.,6,C的大小顺 序,注意到o,b,c在所求式子中的”地位”是对 称的,不妨设n?b?C>0,再利用排序不等 式求出最小值. 解不妨设n?6?C>0,则.+6?0 一…??. 由排序不等式:顺序和?乱序和,得 r上6c bC+一 Cb++0r上+ ?b++b; +cC+n?+ 血bc + ?bC+ C + b.++00+ 以上两式相加,得 2(++) 即+b __+?吾. 当且仅当=c时, 0C ++ 0 取 十C十口口十 得最小值. . 19. 高中数学教与学2011生 评注作jlj”13. . „ .1gl0<1gll<lg12<Igl3. ?1{1等式:』『序币”>反Jf?,缁 10lgl0+1llg1l+l2Ig12+131g13> 13Jgl0+121g1l+l1lg12+10lg13, . _ .1g(J0×11X12”×l3.) >1g(10×11×12×l3…). 【!IJl0?Xl1X12X13 >10XI1×12?X13m. L!『J-w>V. 例7锐加AABC!边满足关系” <6<c,P=ll_+! ,Q:f)sA+s 疗+”OSC,则Q的火I1,关系为() (A)P>(B),?=Q ((:),?<rJ(D)/f能确定 分析小题山边fi9人小关系得到f『】的人 小火系,利川J余弦数的删刮一个 t?i?,a4{J数,此础f,结合排j/f等式, 余弦定,小等式性质等满求解. 角翠,F锐角AABCffI,n<6<c,0< /1<B<C<—”ii一,((„sA>(:()sB>(-《)sC>0. 二 fI_l排小等:反序和<乱序和,得 n【?()s/I+bcosB+C(~OSC <”?(?llsB+b?(:(1sC+f??(?()sA “+C2一 b6+n一f.一…, _一 }+一(i2 十…一一『J; rz(f?sA+boosB+CCOSC ? 2【】. 以式州朋,得 2(【:()sA+6oSB+c(()sC)<”+6+. . ? . c(}sA+bc0sB+()sc<一十?lf. , 即P>Q.放选 四,用于解应用题 例8:功学,要川:联欢会,要价卡}} 川的礼4I:,5:卡【12彳1,脱:扦』Jl1Ir}, 价为3兀.2和l己的}L品,则伞少纯 少饯?最多要花多少钱? 分析九刈?需要l,I勺卞L『IIIIi披什数j”J 的不同价进行人小排序.接r术接利川J 排小等式的性质木确定需要仡饯的最小 最大仇问题. 解埘需要灭的礼一按件数从小j==lj火排 万I】为:2f?l,4件,5r;x寸商j-lI的礼I披?ff『 从/J,jj人手J}:0为:l几,2庀,31.{Il:J:J 等J_l=的质”顺序和人反,;一ill: 少蛆化的饯数2×3+4X25×{-- 19(几), 最多要花的钱数为2X1+4×2+5×3= 25(). 评注解决?规划坝l:题If1f, 往确定最小他j最大f1J【_,以他f进i 州蛳,合排序小的”埙 “?干?最大,序_和j杖,”,iff,J?他坎徙ll_』0 妙活地解决问题. 例9叫个人到同个』也力?rIf门r 机.u池允电,只一个觅电,4块咀池必 须的充电时fri]分别为I5分钟,l0分钟,20分 钟,8分钟,耍使p1』人获得必需的,心 安排这4个人的JIl~j,使他们等候的总时j』i 少?这个最少总时问为多少? 分析这足一个际州题,将数 ,化.没第?个人允咀需t分钏t,筇1\人屯 电t分钟,1.1个人允电需,分钟, 人充f乜需,分钟,则【JL1个人等候的总的?,…J为 . “一 C2 S+ c 6 +一 +c,二 c一一一上 “H+ <= 第j朝 一 类数列通项的求法 殷峰 (江苏省泰兴市第二高级L}I学,225400) 数列问题中,我们会石ljc到各种各样递 推关系给出的数列.求这类数列的通项公式 的方法电不少,但其中有一类数列我们经常 碰到,这类数列的递推关系为a+.:pa+ qr(P?1),r=1时递推关系为a:p5 . 这类数列{a}求解的问题可以考查等差 数列,等比数列,数列求和等多方面的知识以 及转化和化等数学思想方法,足高;等综合 考查数列识的一个热点. 一 ,递推关系为n=paq(P?1)的 数列{n} 求这类数列的通项有两种方法.一种是 A接运用待定系数法:设a+=P(a+), 通过比较得=一_?.这样就把问题转化为 P一 等比数列{“,.+1.另一种方法是将”,=pa +qj”=p5l+q两式卡H_』J”得n+I—n= ,(5一n.),这样就把问题转化为等比数列 ;血+l一0}. 例1已知数列{a}满足a=2,4a= +1,求数列{a,}通项公式; 解法1没.+=?(n+),贝0 4,l+3,2+2z3+,4,现在要考虑tI,t2,t3,t4满足 什么条3a,+1, 及4a=3a+1,? ?,?两式相减,得 4(a+l一0,)=3(a一a一1), . ? . : 3 a,一 口一 I斗 即数列{“一n}是首项为nz一.=一寺,公 比为丢的等比数列. . ? . 一 一 1 an+lan?t,.?.?一==一J? 由?得.=3+1,代人上式,整理得 电,四个人等候的总时问最少. 此时tl=8,t2=10,t3=15,t4=20, 所以4,】+32+2屯+t4=1l2(分钟). 故最少总时间为112分钟. 评注将实际问题数学化是解应用题的 关键.通过阅读分析,建数学模型,确定考 查要点,应用题便叫迎刃而解. ? 2l?